Розв’язок:
Функція
несхильності до ризику
визначається
у вигляді:
,
де
– відповідно, перша й
друга похідні функції корисності
.
Тоді, двічі послідовно диференціюючи функцію корисності, у цьому випадку знаходимо:
;
.
Отже,
функція
несхильності до ризику
має вигляд:
.
Диференціюючи функцію несхильності до ризику , знаходимо:
.
Тоді одержуємо:
а)
якщо
,
те
,
тобто має місце зростаюча несхильність
до ризику;
б)
якщо
,
те
,
тобто відношення
до ризику фірми визначається
як зростаюча
схильність
до ризику.
Задача №9. Використання функції корисності в задачах прийняття рішень
За умовами контракту можливі два способи дій, які ведуть до різних результатів (таблиця 6). Треба проранжувати ці дії:
а) за математичним сподіванням;
б) за дисперсією;
в) за коефіцієнтом варіації;
г) за очікуваною корисністю.
Побудувати функцію корисності.
Таблиця 6
|
Контракти |
||||||||
I |
II |
||||||||
Величина виграшу |
-5 |
10 |
15 |
25 |
-10 |
0 |
20 |
30 |
|
Імовірність виграшу |
0,3 |
0,3 |
0,2 |
0,2 |
0,2 |
0,2 |
0,3 |
0,3 |
|
Корисність виграшу |
0,1 |
0,3 |
0,4 |
0,6 |
0 |
0,2 |
0,5 |
1 |
|
Розв’язок:
Знайдемо для кожного з контрактів:
а) математичне сподівання
;
б) дисперсію
;
в) коефіцієнт варіації
;
г) очікувану корисність
.
Обчислення внесемо в розрахункову таблицю 6.1.
З розрахунків, наведених у таблиці 6.1, випливає, що за математичним сподіванням більше вигідним є контракт II; по дисперсії й коефіцієнту варіації - більше вигідний контракт I. Однак, використовуючи принцип Неймана-Моргенштейна, доцільно вибрати контракт II, тому що він має більшу очікувану корисність.
Таблиця 6.1
Контракти |
Виграші, їх імовірності та корисності |
M(x) |
D(x) |
V(x) |
M(u) |
||||
I |
Величина виграшу |
-5 |
10 |
15 |
25 |
9,5 |
117,25 |
113,9811 |
0,32 |
Імовірність виграшу |
0,3 |
0,3 |
0,2 |
0,2 |
|||||
Корисність виграшу |
0,1 |
0,3 |
0,4 |
0,6 |
|||||
II |
Величина виграшу |
-10 |
0 |
20 |
30 |
13 |
241 |
119,4167 |
0,49 |
Імовірність виграшу |
0,2 |
0,2 |
0,3 |
0,3 |
|||||
Корисність виграшу |
0 |
0,2 |
0,5 |
1 |
|||||
Запишемо функцію корисності (таблиця 6.2).
Таблиця 6.2. Табличне завдання функції корисності
|
-10 |
-5 |
0 |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
|
0 |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
0,6 |
1 |
Побудуємо графік функції корисності (рис. 2).
Рис. 2. Графік функції корисності