2.2. Принцип возможных перемещений

Рассмотрим механическую систему, состоящую из точек, на которые наложены идеальные геометрические стационарные удерживающие связи, Пусть к точкам системы приложены некоторые силы. Разделим их на силы активные ( ) и силы реакции ( ). Будем считать, что рассматриваемая система находится в равновесии. Выделим из неё одну точку под номером . Она находится в равновесии. Поэтому

+ = 0. (а)

Здесь под подразумевается равнодействующая всех активных сил, приложенных к выделенной точке (например, сила тяжести её, сила трения, сила давления со стороны другого тела и т.п.), а под – равнодействующая сил реакций всех связей, наложенных на точку .

Дадим системе любое возможное перемещение. При этом выделенная точка получит какое-то своё возможное перемещение . Вычислим суммарную возможную работу, совершаемую всеми силами, приложенными ко всем точкам системы на их возможных перемещениях:

.

С другой стороны:

,

так как реакции идеальных связей не совершают работу на любом возможном перемещении точки их приложения.

Итак, для равновесия системы, на которую наложены идеальные, стационарные удерживающие связи, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ активных сил, приложенных к точкам системы, на её любом возможном перемещении равнялась нулю.

Это и есть принцип возможных перемещений. Математическая запись полученного результата (без уточнения характеристик наложенных связей):

п ри равновесии системы . (2.1)

Уравнение (2.1) называется уравнением возможных работ. Покажем, что выполнение его является необходимым и достаточным условием равновесия рассматриваемого класса систем.

При выводе (2.1) исходим из того, что система находится в равновесии, т.е. необходимое условие равновесия выполнено.

Теперь о достаточности (2.1) для равновесия системы. Предположим, что (2.1) выполняется, но равновесия нет, и какая-то хотя бы одна точка движется с ускорением. При рассматриваемых связях (стационарные, удерживающие) действительное перемещение этой точки совпадает с одним из возможных. Мы давали системе любое возможное перемещение. Для рассматриваемой (не находящейся в равновесии) точки, оно (возможное перемещение) могло совпасть с её действительным перемещением. В этом случае избыток активных сил, приложенных к точке, совершит положительную работу, и сумма окажется больше нуля. Мы пришли к противоречию, т.к. исходили из того, что (2.1) выполняется. Следовательно (2.1) является и достаточным условием для равновесия системы.

2.3. Применение принципа возможных перемещений к выводу уравнений равновесия в статике

Уравнение (2.1) можно использовать для вывода аналитических уравнений равновесия материальной точки и абсолютно твёрдого тела под действием различных систем сил. Сразу сделаем оговорку: точка и тело освобождены от связей и действия последних, как обычно в статике, учитывается силами реакций. Но поскольку точка и тело – свободные, то и все силы, приложенные к ним, являются активными (т.е. силы реакций переведены в разряд активных, искусственным приёмом, основанном на аксиоме связей).

Пример 1

Пусть на свободное твёрдое тело, находящееся в равновесии, действует система сходящихся рис. 2.1.

Т очка А приложения сил имеет 3 степени свободы (тело свободное).

В качестве обобщённых координат этой точки примем координаты Так как они независимы между собой, то можно сообщить точке возможное перемещение на , сохранив неизмен-ными е

Рис. 2.1

ё координаты и На этом возможном перемещении точки приложенные силы совершают работу, причём .

Отсюда (т.к. ):

или

. (а)

Аналогично получаются и другие уравнения равновесия:

. (б)

Пример 2

На тело, которое находится в равновесии, действует произвольная плоская система сил (рис. 2.2). Не нарушая общности можно считать, что плоскость действия сил совпадает с плоскостью рисунка, а вместо тела рассматривается сечение его этой плоскостью – плоское материальное тело. Такое тело обладает тремя степенями свободы. В качестве обобщённых координат примем (как это было в кинематике) координаты некоторой точки А тела и угол поворота тела вокруг этой точки, т.е.

Д

Рис. 2.2

А

ля вывода уравнений равнове-сия воспользуемся тем, что обобщённые координаты независимы между собой и зададим телу такое возможное переме-щение, при котором изменяется только, например, на величину Это означает, что тело «перемещается»

поступательно в направлении оси на это расстояние, (на самом деле тело находится в равновесии и это «перемещение» – лишь воображаемое нами (см. рис. 1.1).

Так как тело находится в равновесии, то на основании (2.1) получаем:

.

Отсюда (т.к. ):

. (в)

Аналогично получается и второе уравнение равновесия:

. (г)

Чтобы получить третье уравнение, зададим телу такое возможное перемещение, при котором и остаются неизменными, а q₃ =   0. То есть тело «поворачивается» на бесконечно малый угол вокруг точки

Согласно (2.1):

(суммарная элементарная работа сил,

приложенных к вращающемуся телу).

Так как , то

. (д)

Уравнения (в), (г) и (д) – искомые аналитические уравнения равновесия свободного твёрдого тела под действием произвольной плоской системы сил.

Пример 3

Вывести условие равновесия рычага под действием сил , приложенных к нему и действующих в плоскости рисунка (рис. 2.3, а).

Рычагом называется твёрдое тело, способное поварачиваться вокруг неподвижной оси и находящееся под действием системы сил, лежащих в плоскости, перпендикулярной к этой оси.

Дадим рычагу возможное перемещение поворотом на угол , например, против часовой стрелки (рис. 2.3, б), так как он обладает одной степенью свободы (см. параграф 1.4).

а)	б)
Рис. 2.3

Суммарную возможную работу активных (заданных) сил, приложенных к рычагу, найдём по формуле:

.

Так как в соответствии с принципом возможных перемещений , а , то

.

Это и есть искомое условие равновесие рычага.