2.5. Применение принципа возможных перемещений к исследованию равновесия механизмов

Принцип возможных перемещений очень эффективен при исследовании равновесия плоских механизмов, т.е. таких, звенья которых движутся в плоскостях, параллельных какой-то неподвижной плоскости. Упрощённо можно считать, что все точки и звенья его движутся по плоскости самого рисунка.

Считая, что все соединения звеньев механизма, как и внешние связи, являются идеальными, мы исключаем из рассмотрения их реакции. Это и определяет преимущества принципа возможных перемещений по сравнению с методами геометрической статики (уравнения равновесия).

Пример 5

Пренебрегая трением, найти соотношение между силами P и Q, при котором кривошипно-ползунный механизм будет находиться в равновесии, если сила перпендикулярна OA (рис. 2.8).

Рис. 2.8

Сообщив механизму возможное перемещение, и приравнивая к нулю сумму работ сил P и Q на этом перемещении, получим

PS_В – QS_А = 0,

откуда

,

где S_A и S_B – модули возможных перемещений точек А и В.

Перемещение S_A перпендикулярно OA, S_B направлено по прямой OB. Для определения зависимости между S_B и S_A найдём МЦС звена АВ. Он лежит на пересечении перпендикуляров и к направлениям возможных перемещений точек А и В. Эти перемещения находятся в такой же зависимости, как скорости точек А и В, т.е.

,

поэтому

.

Введя обозначения углов  и , из по теореме синусов находим

,

откуда

.

Зависимость между возможными перемещениями S_A и S_B можно определить, используя теорему о проекциях скоростей точек A и B на прямую АВ. По этой теореме можно записать:

S_A cos[90 – (  )] = S_Bcos,

откуда

.

Рассмотренную задачу можно было бы решать, применяя методы статики твёрдого тела. Для этого нужно составить уравнения равновесия для каждого звена механизма (кривошипа ОА, шатуна АВ, ползуна В); при этом пришлось бы принять во внимание неизвестные реакции связей (реакции в шарнирах А и В и реакцию направляющих, в которых движется ползун).

При решении задач подобного рода преимущество принципа возможных перемещений очевидно; этот метод позволяет исключить из рассмотрения неизвестные реакции связей, т.к. эти реакции в условие равновесия системы, выраженное принципом возможных перемещений, не входят.

2.6. Применение принципа возможных перемещений к определению реакций связей

В формулировке принципа возможных перемещений силы реакции не фигурируют. Тем не менее, принцип возможных перемещений можно эффективно применять для определения этих сил, и чем сложней конструкция, тем больше преимущества принципа возможных перемещений по сравнению с методами, применяемыми в геометрической статике (составление и решение уравнений равновесия).

Статические сооружения (конструкции) имеют нулевую степень подвижности, т.е. находятся в равновесии благодаря наличию внешних и внутренних связей. Связь в виде жесткой заделки, наложенная на тело, ограничивает любые его перемещения, поэтому реакцию представляем в виде двух составляющих, направленных по осям координат, и реактивного момента. Шарнирно-неподвижная опора ограничивает перемещение тела по двум взаимно перпендикулярным направлениям, ее реакцию представляем в виде двух составляющих по осям координат.

Применяя принцип освобождаемости от связей, можно отбросить отдельно взятую связь, ограничивающую перемещение тела в одном направлении, заменив ее силой реакции.

В тех случаях, когда связь препятствует перемещению тела в нескольких направлениях (неподвижная шарнирная опора, жесткая заделка), она заменяется другим типом связи, допускающим перемещение в направлении той реакции, которую хотим определить.

Для определения реактивного момента в жесткой заделке она заменяется неподвижной шарнирной опорой и искомым реактивным моментом (рис. 2.9).

Рис. 2.9

Для определения горизонтальной или вертикальной составляющей реакции жесткой заделки она заменяется связью типа стержень в направляющих и искомой реакцией (рис. 2.10, 2.11).

Рис. 2.10

Рис. 2.11

Таким способом можно последовательно определить реакции всех связей. При этом каждый раз отбрасывается та связь, реакцию которой требуется определить, и механическая система получает одну степень свободы.

В тех случаях, когда связь препятствует перемещению тела в нескольких направлениях (неподвижная шарнирная опора, жёсткая заделка), она отбрасывается не полностью, а лишь заменяется более простой. Как это делается, показано на рис. 2.12.

Покажем варианты замены шарнирно-неподвижной опоры при определении её реакций.

Рис. 2.12

Рассмотрим примеры определения опорных реакций составных конструкций.

Пример 6

Определить реакции опор составной балки AD, состоящей из двух балок, соединённых шарниром C, если P₁ = 2 кH, q = 3 кH /м, M = 4 кHм (рис. 2.13).

Рис. 2.13

Данная система имеет нулевую степень свободы, если считать все наложенные связи двухсторонними, удерживающими. Чтобы применить принцип возможных перемещений будем последовательно освобождать систему от той связи, реакцию которой хотим определить. Сила реакции отброшенной связи при этом относится к числу неизвестных, но активных сил, поэтому войдёт в уравнение работ. Заменяем распределенную нагрузку условной равнодействующей Q = q  4.

Определение

Заменим неподвижную шарнирную опору вертикально подвижной опорой и искомой силой . Получившаяся система имеет одну степень свободы (подвижности). Дадим ей возможное перемещение (рис. 2.14).

С₁

Рис. 2.14

Составим уравнение работ:

;

;

. (*)

Зависимость между ₁ и ₂ определим через возможное перемещение точки C – C.

Из рис. 2.14:

С = 4₁; С = 4₂,

отсюда

₁ = ₂.

С учетом этого из уравнения (*) находим:

= –2,96 кН.

Определение (рис. 2.15)

С₁

Рис. 2.15

Отбрасываем горизонтально-подвижную опору В и заменяем ее искомой реакцией R_B. Так как эта система имеет одну степень свободы, дадим возможное перемещение конструкции и составим уравнение работ:

;

;

.

Находим зависимость и . Из треугольников ACC₁ и DCC₁ имеем:

C = AC₁ = 9₁; C = DC₂ = 4₂,

поэтому:

;

;

;

.

Определение (рис. 2.16)

С

Рис. 2.16

Отбрасываем опору D и заменяем ее действие реакцией . Левая часть остается неподвижной, а правая – может повернуться вокруг неподвижной точки С.

Составляем уравнение работ:

;

;

;

;

.

Определение (рис. 2.17)

А

Рис. 2.17

Заменяем опору А шарнирно-подвижной опорой. Сообщим системе возможное перемещение. При этом балка совершит поступательное перемещение на величину , а балка совершит плоское движение, которое будем рассматривать как поворот на угол вокруг МЦС этой балки – точки .

;

.

Зависимость между и определяется через возможное перемещение точки :

;

из м;

кН.

Пример 7

Определить реакцию составной рамы, возникающую от действия сил и . Реакцию будем находить через составляющие и (рис. 2.18).

Рис. 2.18

Определение (рис. 2.19)

Рис. 2.19

Для вычисления заменим неподвижную опору шарнирной подвижной, способной перемещаться в горизонтальном направлении, и искомой силой X_A.

Полученный при этом механизм имеет одну степень свободы. Теперь точка может получить возможное перемещение перпендикулярно к (опора остаётся неподвижной, точка принадлежит правой части рамы).

Учитывая, что шарнир одновременно принадлежит и левой части рамы, и что точка может получить горизонтальное смещение, находим мгновенный центр поворота левой части рамы – точку . Активные силы, приложенные к левой части, включая и неизвестную , совершают работу на повороте полурамы вокруг , а силы, приложенные к правой части рамы, – соответственно на повороте вокруг опоры .

Записываем уравнение работ в виде:

.

Вычисляя моменты сил и связывая между собой повороты и соотношением , получаем

.

Откуда

.

Определение (рис. 2.20)

Рис. 2.20

Для вычисления вертикальной составляющей реакции заменяем неподвижную опору подвижной, способной перемещаться вертикально. И даём системе возможное перемещение, при котором правая часть поворачивается вокруг неподвижной точки В. За счет этого точка С перемещается перпендикулярно ВС. Так как точка А может перемещаться только вертикально, найдем мгновенный центр поворота левой части – точку .

Составляем уравнение работ и находим зависимость между углами поворотов левой и правой части:

.

Из условия получаем

,

откуда .

Применённый метод избавил нас от необходимости решения системы шести уравнений с неизвестными , которую мы получили бы при решении задачи методами статики.

Пример 8

Конструкция, состоящая из 3-х балок, соединенных шарнирами B и D, находится в равновесии под действием произвольной плоской системы сил (рис. 2.21). На неё наложены внешние связи: в точке А – жесткая заделка; в точках С и Е – подвижные шарнирные опоры.

Определить реакции внешних связей.

Исходные данные: P₁ = 12 кH; P₂ = 20 кH; M = 50 кHм; q = 2 кH/м.

^{4 4 4 4 2 2}

Рис. 2.21

Решение:

Упростим расчетную схему нагружения. Распределенная нагрузка действует на две балки ВD и DE, являющиеся абсолютно твердыми телами, поэтому заменим её равнодействующими Q₁ и Q₂, приложенными в середине участков распределения и равными:

Q₁ = q·l_CD = 2·4 = 8 кH;

Q₂ = q·l_DК = 2·2 = 4 кH.

Определение R_E (рис. 2.22).

Рис. 2.22

Подвижная шарнирная опора Е препятствует перемещению точки Е в направлении перпендикулярной опорной поверхности, поэтому для определения её реакции отбросим опору и заменим её действие искомой силой – R_E. Составная балка преобразовалась в изменяемую систему. Дадим системе возможное перемещение. Балка АВ, один конец которой жестко защемлён, останется неподвижной; часть балки ВD могла бы повернуться вокруг неподвижной точки В, но наложенная связь в виде шарнирно-подвижной опоры в точке С, лишает балку ВD подвижности. Возможное перемещение балки DЕ будет представлять собой поворот вокруг точки D на угол δφ.

На этом возможном перемещении составной конструкции совершают работу только силы Q₂; P₂; R_E.

Составим уравнение возможных работ:

.

Так как балка DE совершает поворот вокруг точки D, то суммарную элементарную работу этих сил можно вычислить как

.

(–Q₂·DL – P₂·sin60º·DK + RE·cos30º·DE)·δφ = 0.

Так как δφ  0, то после сокращения на δφ, получим уравнение, из которого находим R_E:

R_E = 11,2 кH.

Определение R_C (рис. 2.23).

Рис. 2.23

В точке С на балку наложена связь в виде шарнирно-подвижной опоры, направление её реакции известно. Отбрасываем эту опору и заменяем её реакцией R_C, которую теперь можно считать активной силой. Система стала мгновенно изменяемой, и ей можно сообщить возможное перемещение, при котором балка АВ останется неподвижной; балка ВD повернётся на угол δφ₁ относительно неподвижной точки В, а балка DE повернётся на угол δφ₂ относительно своего МЦС, совпадающего с точкой Е.

Составим уравнение работ, выражающее принцип возможных перемещений в этом случае

.

(–M + R_C·CB – Q₁·BN)· δφ₁ + (–Q₂·LE – P₂·sin60º·KE)· δφ₂ = 0.

Для решения полученного уравнения находим зависимость между δφ₁ и δφ₂ через перемещение точки D.

δS_D = BD· δφ₁ = ED· δφ₂,

отсюда .

С учетом этого находим R_C = 47,8 кH.

Определение Y_A (рис. 2.24).

Для определения Y_A – вертикальной реакции жесткой заделки – видоизменим её таким образом, чтобы точка А могла перемещаться только вертикально, но при этом исключалась возможность перемещения, при котором балка АВ сместится поступательно на δS_А, например, вертикально вверх. Такое же перемещение получит точка В: δS_В = δS_А.

Рис. 2.24

Балка BD повернется на угол вокруг точки С (МЦС балки ВD). Тело DE повернется относительно точки Е на угол δφ₂.

Составляем уравнение работ:

.

Y_A· δS_А – P₁· δS_А + (M + Q₁·NC)· δφ₁ + (Q₂·LE + P₂·sin60º·KE) δφ₂ = 0.

Находим зависимость между возможными перемещениями балок АВ, ВD и DЕ:

δS_В = δS_А; δS_В = ВС· δφ₁; δS_D = CD·δφ₁; δS_D = DЕ·δφ₂.

Так как ВС = 4 м; DC = 4 м; DE = 4 м, то .

С учетом этих зависимостей определяем Y_А = –16,2 кH.

Определяем Х_А (рис. 2.25).

Рис. 2.25

В этом случае видоизменяем жесткую заделку так, как это показано на рис. 2.12. Полученной системе сообщаем возможное перемещение, при котором балки АВ и BD будут смещаться поступательно на δS, например, вправо, а балка DЕ повернется относительно МЦС (точка P_V) на угол δφ.

Составляем уравнение работ:

.

Х_A· δS + (–Q₂·DL – P₂·cos60º·DP_V – P₂· sin60º·DK)·δφ = 0.

Зависимость между возможными перемещениями:

δS = DP_V·δφ.

Учитывая это, находим Х_А=15,6 кH.

Определение m_A (рис. 2.26).

Рис. 2.26

Для определения реактивного момента в жесткой заделке заменяем её шарнирно-неподвижной опорой, ограничивающей любые перемещения балки, кроме её вращения относительно шарнира А. Дадим балке АВ возможное перемещение, в результате которого она повернётся на угол δφ₁, против хода часовой стрелки, балки BD и DE повернутся при этом относительно точек С и Е (эти точки являются мгновенными центрами скоростей балок ВС и DE) на углы δφ₂ и δφ₃ соответственно.

Составляем уравнение работ

.

(m_A – P₁·AО)·δφ₁ + (M + Q₁·CN)· δφ₂ + (Q₂·LE + P₂·sin60º·KE)·δφ₃ = 0.

Находим зависимость между δφ₁, δφ₂ и δφ₃.

По рис. 2.26 имеем:

δS_В = АВ·δφ₁ = CВ·δφ₂,

δS_D = CD·δφ₂ = ЕD·δφ₃.

Так как АВ = 8 м; ВС = 4 м; CD = 4 м; ЕD = 4 м, получаем:

δφ₂ = 2·δφ₁, δφ₂ = δφ₃.

Выполним проверку правильности решения задачи, для чего составим известное из статики уравнение равновесия для всей конструкции в целом (рис. 2.27).

Рис. 2.27

: Y_A – P₁ + R_C – Q₁ – Q₂ – P₂·sin60º + R_E·cos30º = 0,

–16,2 – 12 + 47,8 – 8 – 4 – 20·0,866 + 11,2·0,866 = 0,

0 = 0.

: Х_А – R_E·sin30º = 0,

15,6 – 11,2·0,5 = 0,

0 = 0.

:

Y_A·AО + P₁·OB – M + m_A + R_C·BC – Q₁·BN – Q₂·BL –P₂·sin60º·OK + + R_E·cos30º·BE = 0,

после подстановки всех заданных величин получаем 0 = 0.

Реакции опорных устройств найдены верно.

Пример 9

Рис. 2.28

Плоская рама, состоящая из 3-х тел, соединённых шарнирами В и С, находится в равновесии под действием произвольной плоской системы сил (рис. 2.28). Определить реакции внешних опорных устройств, применяя принцип возможных перемещений. Выполнить проверку правильности решения. Исходные данные: F1 = 25 кН; F2 = 20 кН; M = 40 кНм; q = 1,0; sin = 0,6. Линейные размеры принять непосредственно из рисунка, выполненного в указанном масштабе.

Решение

Заменяем распределённую нагрузку равнодействующей, равной Q = q4 = 104 = 40 кН, приложенной в середине участка.

Определение _Д (рис. 2.29).

Рис. 2.29

Заменим шарнирно-подвижную опору Д вертикально-подвижной шарнирной опорой и приложим к ней искомую силу Д. Изменённой таким способом системе сообщаем возможное перемещение, при котором точка Д перейдёт, например, в положение Д . Так как шарнир Б остаётся неподвижным, то стержень ВС повернётся на некоторый угол  вокруг этой точки. При этом точка С получит возможное перемещение Sc, перпендикулярное ВС. В итоге тело СД сместится поступательно вверх на Sc = Sд.

Составляем уравнение работ:

.

_Д – S_д – Q2 = 0.

Находим зависимость между S_с и S.

Из прямоугольного треугольника ВСС имеем:

S_с = ВСS = 4.

Подставляя эту зависимость в уравнение работ и сокращая на , находим_Д = 20 кН.

Определение Х_Д (рис. 2.30).

Рис. 2.30

Заменим шарнирно-подвижную опору Д шарнирной горизонтально-подвижной опорой и реакцией ХД. Дадим системе возможное перемещение, при котором точка Д сместится горизонтально вправо на расстояние Sд. Стержень ДС повернётся вокруг точки С (мгновенного центра скоростей тела ДС) на угол . Составляем уравнение работ: . (М + F26) + ХDSд = 0.

Определяем зависимость между возможными перемещениями:

S_д = ДС = 8.

Подставляя в уравнение работ, и сокращая на   0, находим Х_Д = –20 кН.

Определение Y_A (рис. 2.31).

Рис. 2.31

Заменим жесткую заделку в точке А такой связью, которая позволяет этой точке перемещаться в вертикальном направлении, т.е. в направлении искомой составляющей реакции жесткой заделки. Одновременно новая связь, наложенная на систему в точке А, должна препятствовать любым другим перемещениям тела АВ, в частности – повороту вокруг точки А. В результате стержень АВ переместится поступательно, на величину SA = SB, а стержень ВС повернется на угол  вокруг точки С (МЦС тела DC).

Составляем уравнение работ:

.

.

Находим зависимость между перемещениями:

.

Подставляя в уравнение эту зависимость, и сокращая на   0, находим Y_A = 5 кН.

Определение Х_А (рис. 2.32).

Заменим жёсткую заделку в точке А новым типом связи и искомой составляющей реакции жёсткой заделки. Сообщаем системе возможное перемещение, в результате которого точки А и В получат перемещения S_А = S_В. Стержень ДС повернётся на угол  вокруг токи Д, а точка С получит перемещение S_c, перпендикулярное ДС, т.е. тоже горизонтальное. Поэтому стержень ВС переместится поступательно, и S_С = S_В. Точки А и В перейдут в положения А и В при поступательном горизонтальном перемещении тела АВ, т.е. S_С = S_В, АА = ВВ

Рис. 2.32

Составляем уравнение работ . (XA – F1cos)SA + (–M + F22) = 0. Зависимость между возможными перемещениями точек А, В, С и тела ДС: SА= SВ = SС = 8. Учитывая это соотношение, из уравнения работ находим ХА= 20 кН.

Определение m_A (рис. 2.33).

Рис. 2.33

Для определения реактивного момента в жесткой заделке заменим её шарнирно-неподвижной опорой и искомым моментом mA. Сообщим системе возможное перемещение, при котором стержень АВ повернется на угол 1 вокруг неподвижной точке А, а стержень DC повернется вокруг тоже неподвижной точки D на угол 3, а стержень ВС повернется на угол 2 вокруг своего МЦС – точки Р2. Составим уравнение работ: :

Находим зависимость между перемещениями:

δS_В = АB· δφ₁ = ВР₂· δφ₂

δS_С = Р₂С· δφ₂ = DС· δφ₃.

Определив линейные размеры АВ, ВР₂, Р₂С и DС непосредственно по рисунку, получаем:

;

4δφ₃ = 4δφ₂.

Отсюда δφ₁ = 2·δφ₂; δφ₃ = δφ₂.

Подставляя в уравнения работ эти зависимости и сокращая на ₂  0, находим m_а = –15 кНм.

Выполним проверку правильности полученных результатов (рис. 2.34).

Рис. 2.34

Для чего составим уравнение равновесия всей конструкции в целом виде: , ХА2 – А1 + mА – Q3 + M + F24 + ХD6 + Д5 = 0, 0 = 0. Реакции внешних связей конструкции определены верно.