62, Колебания, совершающиеся под воздействием внешней периодической силы, называются вынужденными.

Внешняя сила совершает положительную работу и обеспечивает приток энергии к колебательной системе. Она не дает колебаниям затухать, несмотря на действие сил трения.

Периодическая внешняя сила может изменяться во времени по различным законам. Особый интерес представляет случай, когда внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону с частотой ω, воздействует на колебательную систему, способную совершать собственные колебания на некоторой частоте ω0.

Если свободные колебания происходят на частоте ω0, которая определяется параметрами системы, то установившиеся вынужденные колебания всегда происходят на частоте ω внешней силы.

После начала воздействия внешней силы на колебательную систему необходимо некоторое время Δt для установления вынужденных колебаний. Время установления по порядку величины равно времени затухания τ свободных колебаний в колебательной системе.

В начальный момент в колебательной системе возбуждаются оба процесса – вынужденные колебания на частоте ω и свободные колебания на собственной частоте ω0. Но свободные колебания затухают из-за неизбежного наличия сил трения. Поэтому через некоторое время в колебательной системе остаются только стационарные колебания на частоте ω внешней вынуждающей силы. уравнение вынужденных колебаний

где – собственная круговая частота свободных колебаний, ω – циклическая частота вынуждающей силы

44,. Взаимная индукция. Если две замкнутые катушки провода расположены рядом, но электрически не связаны друг с другом, то при изменении тока в одной из них в другой наводится ЭДС. Поскольку магнитный поток через вторую катушку пропорционален току в первой катушке, изменение этого тока влечет за собой изменение магнитного потока с наведением соответствующей ЭДС. Катушки можно поменять ролями, и тогда при изменении тока во второй катушке будет наводиться ЭДС в первой. ЭДС, наводимая в одной катушке, определяется скоростью изменения тока в другой и зависит от размеров и числа витков каждой катушки, а также от расстояния между катушками и их ориентации одна относительно другой. Эти зависимости сравнительно просты, если поблизости не располагаются магнитные материалы. Отношение ЭДС, наведенной в одной катушке, к скорости изменения тока в другой называется коэффициентом взаимоиндукции двух катушек, отвечающей их данному расположению. Если наведенная ЭДС выражается в вольтах, а скорость изменения тока – в амперах за секунду (А/с), то взаимоиндукция будет выражена в генри (Гн). ЭДС, наводимые в катушках, даются следующими формулами:

где M – коэффициент взаимоиндукции двух катушек. Катушку, подключенную к источнику тока, принято называть первичной катушкой или обмоткой, а другую – вторичной. Постоянный ток в первичной обмотке не создает напряжения во вторичной, хотя в момент включения и выключения тока во вторичной обмотке кратковременно возникает ЭДС. Но если к первичной обмотке подключается ЭДС, создающая в этой обмотке переменный ток, то переменная ЭДС наводится и во вторичной обмотке. Таким образом, вторичная обмотка может питать переменным током активную нагрузку или другие схемы без прямого подключения их к источнику ЭДС.

34, Пусть в однородное магнитное поле помещена рамка с током (рис. 4.13). Тогда силы Ампера, действующие на боковые стороны рамки, будут создавать вращающий момент, величина которого пропорциональна магнитной индукции, силе тока в рамке, ее площади S и зависит от угла a между вектором и нормалью к площади :

.

Направление нормали выбирают так, чтобы в направлении нормали перемещался правый винт при вращении по направлению тока в рамке.

Максимальное значение вращательный момент имеет тогда, когда рамка устанавливается перпендикулярно магнитным силовым линиям:

.

Это выражение также можно использовать для определения индукции магнитного поля:

.

Величину, равную произведению , называют магнитным моментом контура Рт. Магнитный момент есть вектор, направление которого совпадает с направлением нормали к контуру. Тогда вращательный момент можно записать

.

При угле a = 0 вращательный момент равен нулю. Значение вращательного момента зависит от площади контура, но не зависит от его формы. Поэтому на любой замкнутый контур, по которому течет постоянный ток, действует вращательный момент М, который поворачивает его так, чтобы вектор магнитного момента установился параллельно вектору индукции магнитного поля.

21, Основной характеристикой конденсатора является его электроемкость. Емкость конденсатора прямо пропорциональна заряду на обкладках конденсатора и обратно пропорциональна разности потенциалов между обкладками:

.

Разность потенциалов между обкладками называется напряжением между обкладками:

,

тогда

.

Величина емкости определяется геометрией конденсатора, а также свойствами среды, заполняющей пространство между обкладками.

Найдем выражение для емкости плоского конденсатора. Если площадь обкладки S, а заряд q, то напряженность поля между обкладками равна:

.

Поле между обкладками конденсатора однородно за исключением небольшой области вблизи краев пластин. Поэтому напряжение между обкладками равно произведению напряженности поля на расстояние между ними:

,

где d – величина зазора между обкладками.

Отсюда

.

(2.1)

Емкость реального плоского конденсатора определяется формулой (2.1) с тем большей точностью, чем меньше зазор d по сравнению с линейными размерами обкладок, так как в этом случае можно пренебречь краевым эффектом, то есть искажением однородного поля вблизи краев пластин. Полученная формула применима к плоскому конденсатору, у которого между пластинами вакуум или воздух.

33, Магнитное поле, независимо от того, создается оно проводником с током или постоянным магнитом, проявляет себя в том, что действует на проводник с током или движущиеся заряды с некоторой силой. Максимальное значение силы, действующей на элемент проводника длиной , равно . Оно достигается в том случае, когда угол a между вектором , направление которого совпадает с направлением тока, и вектором магнитной индукции равен . При других значениях этого угла сила

.

Эта сила называется силой Ампера. Направление силы Ампера определяется по правилу левой руки: если магнитные силовые линии входят в ладонь, а четыре выпрямленных пальца совпадают с направлением тока, то отогнутый большой палец указывает направление силы.

В качестве примера рассмотрим силу взаимодействия двух бесконечно длинных параллельных проводников, по которым в противоположных направлениях текут токи и Найдем силу, с которой проводник 2 действует на элемент тока проводника 1. Индукция магнитного поля, создаваемого проводником 2 в точках, где находится проводник 1, равна

,

где d – расстояние между проводниками. Линии этого магнитного поля представляют собой концентрические окружности, перпендикулярные проводнику 1, поэтому сила Ампера

.

Если рассмотреть силу, действующую на элемент тока проводника 2, то получим такое же выражение. Используя правило левой руки, легко показать, что если токи текут в одном направлении, то проводники притягиваются, если в противоположных направлениях – отталкиваются.

Закон взаимодействия токов используется для определения единицы силы тока в системе единиц СИ. По определению единица силы тока в системе единиц СИ – ампер – это сила постоянного тока, который, проходя по двум параллельным проводникам бесконечной длины и ничтожно малого сечения, расположенным в вакууме на расстоянии 1 м один от другого, создал бы между ними силу взаимодействия, равную 2 ? 10–7 Н на каждый метр длины. Отсюда получается значение магнитной постоянной m0:

46, Магнитное поле обладает энергией. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим электрическую цепь, содержащую соленоид, имеющий индуктивность L и сопротивление R (рис. 6.6). При размыкании ключа К ток не сразу падает до нуля. В течение некоторого времени он продолжает течь, поддерживаемый возникающей в катушке электродвижущей силой самоиндукции, и при этом на сопротивлении выделяется тепло, согласно закону Джоуля–Ленца. Возникает вопрос, за счет каких запасов энергии выделяется тепло, ведь цепь разомкнута, и внешний источник отключен.

При уменьшении тока в цепи уменьшается и индукция магнитного поля. Поэтому можно, по-видимому, говорить об энергии электрического тока или энергии магнитного поля, создаваемого током. В случае постоянных токов нельзя однозначно определить, где локализована эта энергия. Ответ на этот вопрос можно дать, изучая переменные магнитные поля или электромагнитные волны. В электромагнитных волнах переменные магнитные поля могут существовать без токов, их поддерживающих. Так как электромагнитные волны переносят энергию, можно заключить, что энергия сосредоточена в магнитном поле.

.

66. Энергия, поставляемая источником электродвижущей силы во внешнюю цепь, испытывает превращения в другие виды энергии. Если в цепи имеется только активное сопротивление, то вся энергия превращается в тепло, выделяемое на сопротивлении . Между током и напряжением сдвиг фаз отсутствует. Кроме того, в течение малого промежутка времени переменный ток можно рассматривать как постоянный. Поэтому мгновенная мощность, развиваемая переменным током на сопротивлении:

.

Хотя ток и напряжение бывают как положительными, так и отрицательными, мощность, равная их произведению, всегда положительна. Однако она пульсирует, изменяясь от нуля до максимального значения с частотой, равной удвоенной частоте переменного тока. На рис. 7.12 показана временная зависимость тока, напряжения и мощности переменного тока, выделяемой на активном сопротивлении. Ясно, что средняя передаваемая мощность меньше максимальной и равна половине максимальной мощности. Среднее значение и за период равно . Это можно объяснить следующим образом: , а за полный цикл среднее значение равно среднему значению . Поэтому среднее значение мощности будет равно

.

65. При протекании токов по электрической цепи, элементы которой соединены последовательно, параллельно или имеют смешанное соединение, могут получаться различные режимы работы этой цепи. Рассмотрим следующие режимы работы электрических цепей: резонанс в цепи с последовательным соединением элементов (резонанс напряжений), резонанс в цепи с параллельным соединением элементов (резонанс токов).

Резонанс напряжений. Резонанс напряжений наблюдается в цепи, в которой последовательно включены все элементы. Исследуем зависимость амплитуды тока и разности фаз между током и напряжением от частоты изменения электродвижущей силы в цепи, содержащей активное сопротивление, индуктивность и емкость. Для этого воспользуемся полученными ранее формулами:

Из приведенных формул видно, что амплитудное значение силы тока и сдвига фаз между током и напряжением зависят от частоты. Графики зависимостей и приведены на рис. 7.14 и 7.15 соответственно. Как видно из приведенных рисунков, при возрастании частоты амплитуда тока сначала возрастает, затем проходит через максимум, и, наконец, асимптотически стремится к нулю. Максимальное значение силы тока, равное , достигается при обращении полного реактивного сопротивления в ноль: . Этому случаю соответствует частота , называемая резонансной частотой. При этой частоте амплитуда тока определяется только активным сопротивлением . Так как для обычных электрических цепей оно невелико, то при резонансе ток может быть очень большим, а напряжения на емкости и индуктивности будут значительно превышать напряжение источника тока. Разность фаз при резонансе .

63, Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы приводит к тому, что при некоторой определенной для данной системы частоте амплитуда колебаний достигает максимального значения. Колебательная система оказывается особенно отзывчивой на действие вынуждающей силы при этой частоте. Это явление называется резонансом, а соответствующая частота – резонансной частотой.

Исследуем поведение амплитуды вынужденных колебаний в зависимости от частоты . Оставляя амплитуду вынуждающей силы неизменной, будем менять ее частоту. При получаем статическое отклонение под действием постоянной силы :

.

При возрастании частоты амплитуда смещения сначала также возрастает, затем проходит через максимум и, наконец, асимптотически стремится к нулю. Из рис. 7.9 видно также, что чем меньше , тем выше и правее лежит максимум данной кривой. Кроме того, чем меньше , тем сильнее изменяется с частотой амплитуда вблизи резонанса, тем острее получается максимум.

Явление резонанса может явиться причиной разрушения мостов, зданий и других сооружений, если собственные частоты их колебаний совпадут с частотой периодически действующей внешней силы. С явлением резонанса приходится считаться при конструировании машин и различного рода сооружений. Собственная частота этих устройств ни в коем случае не должна быть близка к частоте возможных внешних воздействий.

62, Из-за наличия трения свободные колебания постепенно затухают и через некоторое время прекращаются. Чтобы затухания не было, на колеблющееся тело должно периодически воздействовать какое-либо внешнее тело.При этом колебания качелей или буйка перестают быть свободными. Их называют вынужденными.

Колебания, совершающиеся под воздействием внешней периодической силы, называются вынужденными. Внешняя сила совершает положительную работу и обеспечивает приток энергии к колебательной системе. Она не дает колебаниям затухать, несмотря на действие сил сопротивления.

Периодическая внешняя сила может изменяться во времени по различным законам. Особый интерес представляет случай, когда внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону с частотой ω, воздействует на колебательную систему, способную совершать собственные колебания на некоторой частоте ω0. Например, если дергать груз, подвешенный на пружине с частотой , то он будет совершать гармонические колебания с частотой внешней силы , даже если эта частота не совпадает с частотой собственных колебаний пружины.

Пусть на систему действует периодическая внешняя сила . В этом случае можно получить следующее уравнение, описывающее движение такой системы:

где . При вынужденных колебаниях амплитуда колебаний, а, следовательно, и энергия, передаваемая колебательной системе, зависят от соотношения между частотами и , а также от коэффициента затухания .

После начала воздействия внешней силы на колебательную систему необходимо некоторое время ωt для установления вынужденных колебаний. В начальный момент в колебательной системе возбуждаются оба процесса – вынужденные колебания на частоте ω и свободные колебания на собственной частоте ω0. Но свободные колебания затухают из-за неизбежного наличия сил трения. Поэтому через некоторое время в колебательной системе остаются только стационарные колебания на частоте ω внешней вынуждающей силы. Время установления по порядку величины равно времени затухания ω свободных колебаний в колебательной системе. Установившиеся вынужденные колебания груза на пружине происходят по гармоническому закону с частотой, равной частоте внешнего воздействия. Можно показать, что в установившемся режиме решение уравнения записывается в виде:

,

где

Таким образом, вынужденные колебания представляют собой гармонические колебания с частотой, равной частоте вынуждающей силы. Амплитуда вынужденных колебаний пропорциональна амплитуде вынуждающей силы. Для данной колебательной системы (то есть системы с определенными значениями и ) амплитуда зависит от частоты вынуждающей силы. Вынужденные колебания отличаются по фазе от вынуждающей силы. Сдвиг по фазе зависит от частоты вынуждающей силы.