Інструкційна картка до проведення лабораторного заняття № 21

Тема заняття: Розв’язування СЛАР за методом Крамера при проведенні інженерних розрахунків. Розв’язування нелінійних рівнянь при розрахунках процесів та обладнання.

Мета проведення заняття: вміти розв’язувати системи лінійних алгебраїчних рівнянь, користуючись методами Крамера; знайомство з методами розв’язування нелінійних рівнянь; формування вмінь і навичок роботи з системою MathCAD.

Після виконання роботи студент повинен

знати:

основи роботи з пакетом MathCad

вміти:

розв’язувати СЛАР та нелінійних рівнянь з використанням засобів MathCAD

Матеріально-технічне оснащення робочого місця: ПК, MathCAD

Інструктаж з техніки безпеки: згідно з інструкцією з охорони праці № 1 під час роботи на персональних комп'ютерах у кабінеті інформатики

Короткі відомості з теоретичної частини роботи

Центральним питанням обчислювальної лінійної алгебри є рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАУ). До систем лінійних рівнянь зводиться безліч, якщо не сказати більшість, задач обчислювальної математики.

СЛАУ має єдиний розв’язок, якщо матриця А є невиродженною, тобто її визначник не дорівнює нулеві. З обчислювальної точки зору, розв’язок СЛАУ не представляє труднощів, якщо матриця А не дуже велика. У MathCAD СЛАУ можно розв’язати як у більш наочній формі, так і в більш зручній для запису формі.

Для першого способу варто використовувати обчислювальний блок Given/Find, а для другого - вбудовану функцію lsolve.

• lsolve (А,B) - розв’язання системи лінійних рівнянь;

• А - матриця коефіцієнтів системи;

• B - вектор правих частин.

При цьому матриця Аможет бути визначена кожним зі способів. Вбудовану функцію Isoive допускається застосовувати і при символьному розв’язку СЛАУ.

Розв’язання СЛАУ

Символьний розв’язок СЛАУ

Матричний спосіб розв’язування

Матричний спосіб розв’язування СЛАР досить простий. Обидві частини матричної рівності помножимо ліворуч на зворотну матрицю А^-1. Одержимо

A^-1´A´X=A^-1´B.

Так як A^-1´A=E, де E – одинична матриця (діагональна матриця, у якої по головній діагоналі розташовані одиниці). Тоді розв’язок системи запишеться в наступному виді Х=А^-1×В

Метод Крамера

1. Знаходимо детермінант матриці А: det(А)

2. Знаходимо X=det(X)/Det(А)

3. ЗнаходимоY=det(Y)/Det(А)

4. Знаходимо Z=det(Z)/Det(А)

5. x, y, z –є розвязком СЛАР.

Методи розв’язку нелінійних рівнянь при розрахунках процесів та обладнання

Нелінійним рівнянням називають алгебричне рівняння виду , (1)

де - аргумент, а функція (2) є деякою довільною неперервною алгебраїчною функцією цього аргументу.

Під розв'язком нелінійного рівняння (коренем, нулем відповідної нелінійної функції ) розуміють таке значення аргументу , підставляння якого в рівняння (1) перетворює його у тотожність.

Загальних способів відшукання дійсних коренів довільних нелінійних рівнянь не існує. Нелінійна функція може не мати взагалі дійсних коренів, може мати один, два і навіть нескінченну кількість їх.

Визначити корені даного рівняння f(х)= 0 одним з методів: графічним, аналітичним або метолом послідовного перебору.

Графічний метод. Запустити MATHCAD.

1. В середовищі MATHCAD ввести вираз, котрий відповідає заданому рівнянню.

2. Побудувати графік функції f(х). Відрізок ізоляції вибирають виходячи з характеру графіка та заданої точності.

Уточнення коренів з використанням математичних програм:

1. В середовищі MATHCAD ввести вираз.

2. Замовити потрібну точність E.

3. За допомогою функціі root(f(x),x) уточнити корінь.

4. Виконати наближені обчислення:

5. Записати результати.

Приклад: