Билеты по АналГем
.docЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
1 семестр. Лектор Карамзин Ю.Н.
I. Векторная алгебра
Понятие вектора. Линейные операции над векторами, их свойства.
Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов. Геометрический смысл линейной зависимости.
Базисы на плоскости и в пространстве. Разложение по базису. Линейные свойства координат вектора.
Ортонормированные базисы, их свойства. Проекция вектора на ось. Направляющие косинусы вектора.
Скалярное произведение, его свойства; выражение через координаты сомножителей.
Векторное произведение, его свойства; выражение через координаты сомножителей.
Смешанное произведение, его свойства; выражение через координаты сомножителей.
Декартовы системы координат на плоскости и в пространстве, формулы перехода от одной декартовой прямоугольной системы координат к другой на плоскости (перенос начала координат, поворот осей).
II. Прямая на плоскости. Плоскость и прямая в пространстве.
9. Прямая на плоскости. Различные формы уравнения прямой. Простейшие задачи.
Плоскость в пространстве. Различные формы уравнения плоскости. Простейшие задачи.
Нормальное уравнение прямой на плоскости и плоскости в пространстве. Отклонение точки от прямой (плоскости); Задачи, решаемые с помощью отклонения.
Прямая в пространстве. Общее задание, канонические и параметрические уравнения прямой. Переход от одного задания прямой к другому.
Условия параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве. Вычисление углов между прямыми и плоскостями (в пространстве).
Расстояние от точки до прямой в пространстве. Проекция точки на прямую и плоскость в пространстве.
Расстояние между скрещивающимися прямыми, условие пересечения двух прямых.
III. Кривые и поверхности второго порядка.
16. Эллипс. Вывод канонического уравнения, свойства. Эксцентриситет и директрисы эллипса.
Гипербола. Вывод канонического уравнения, свойства. Эксцентриситет и директрисы гиперболы.·
Парабола. Вывод канонического уравнения, свойства.
19. Общее уравнение кривой второго порядка. Упрощение уравнения
с помощью поворота осей.
20. Общее уравнение кривой второго порядка. Упрощение уравнения
с помощью переноса начала координат. Центральные кривые.
Классификация центральных кривых второго порядка.
Классификация кривых параболического типа.
Центральные поверхности второго порядка: эллипсоиды, гиперболоиды, конус. Их канонические уравнения, исследование по сечениям.
24. Параболоиды и цилиндры второго порядка. Их канонический вид, исследование по сечениям.
IV. Матрицы и определители
25. Прямоугольные матрицы. Сложение и умножение матриц на число.
26. Умножение прямоугольных матриц и его свойства.
27. Перестановки n чисел, четные и нечетные перестановки. Определение определителя.
28. Операция транспонирования матриц и ее свойства. Определитель транспонированной матрицы.
29. Свойство линейности определителя. Операции над столбцами (строками), не меняющими определителя.
30. Дополнительный минор элемента определителя и алгебраическое
дополнение. Теорема о разложении определителя по столбцу (строке).
31. Теорема об определителе произведения двух матриц (б.д.).
32. Единичная и обратная матрица и их свойства.
33. Критерий обратимости матрицы.
34. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре.
35. Линейная зависимость и независимость строк (столбцов) матрицы. Критерий равенства нулю определителя.1
36. Элементарные преобразования строк матрицы и'их применение к вычислению ранга матрицы.1