билеты анал.геом

Экзаменационные вопросы по курсу

«Аналитическая геометрия» для потока Т1 (лектор В.Б. Шерстюков)

I. Векторная алгебра.

1. Понятие вектора. Линейные операции с векторами и их свойства.

2. Коллинеарные и компланарные векторы. Теоремы о разложении. Линейно зависимые и независимые системы векторов.

3. Линейные пространства векторов. Базис и размерность. Координаты вектора в базисе. Аффинные и декартовые системы координат.

4. Проекция вектора на ось и на вектор. Определение и свойства скалярного произведения векторов. Координатная запись скалярного произведения. Лемма о скалярном произведении.

5. Упорядоченные ориентированные тройки векторов. Определение, свойства и координатная запись векторного произведения.

6. Определение смешанного произведения трех векторов, алгебраические и геометрические свойства. Теорема о вычислении смешанного произведения векторов через координаты сомножителей.

7. Условия ортогональности, коллинеарности и компланарности векторов.

8. Избранные задачи аналитической геометрии на плоскости и в пространстве (площадь треугольника, объем тетраэдра, деление отрезка в данном соотношении).

9. Преобразование аффинных координат на плоскости.

II. Прямая и плоскость.

1. Задание кривых на плоскости и поверхностей в пространстве. Алгебраические кривые и поверхности.

2. Прямая на плоскости и плоскость в пространстве. Различные виды уравнений. Отклонение и расстояние от точки до прямой (плоскости). Пучок прямых на плоскости.

3. Общее, параметрические и канонические уравнения прямой в пространстве. Схемы перехода от одного типа уравнения к другому.

4. Задачи о прямых и плоскостях (расстояние от точки до прямой в пространстве, угол между двумя прямыми (плоскостями), условие принадлежности прямой плоскости и др.).

III. Кривые второго порядка.

1. Эллипс: вывод канонического уравнения, свойства и построение.

2. Определение гиперболы, вывод канонического уравнения, свойства и построение.

3. Определение параболы, каноническое уравнение, свойства, построение.

4. Исследование кривой второго порядка, заданной уравнением общего вида. Преобразование коэффициентов при параллельном переносе и повороте на некоторый угол. Инварианты кривой второго порядка.

5. Схема упрощения уравнения кривой второго порядка. Классификация кривых.

IV. Поверхности второго порядка.

1. Эллипсоид, гиперболоиды, конусы, параболоиды и цилиндры. Канонические уравнения. Исследование структуры поверхностей методом параллельных сечений.

2. Общее уравнение поверхности второго порядка. Схема приведения к каноническому виду. Классификация поверхностей второго порядка.