Все лекции по аналитический геометрии

, , , , ,

! , ,

… .

,

«!»

(1 , 2005 ), "

# ". $ , "

- ,

... % #

",

& [e-mail] [e-mail]

& ": «'()*+' !(,», «-.$/-» . . 0

, , "

& ( ..

.. ) . ( &

, "/" 1232.

$ 4 (, 2 (

1232 !1-01.

1

I.

§1.

R .

- z = x + iy = x + yi , x, y R ; i2 = −1 .

Im

y	z = x + iy

Re

0x

: x = Re z - z , y = Im z - z .

:

1.Im z = y = 0 z = x + 0 y = x - ,

2.Re z = x = 0 z = 0 + iy = iy - .

I.

z1 + z2 = (x1 + iy1 ) + (x2 + iy2 ) = (x1 + x2 ) + i( y1 + y2 ) . II.

z1 z2 = (x1 + iy1 )(x2 + iy2 ) = x1 x2 − y1 y2 + i(x1 y2 + x2 y1 ) .

! .

": z1 z2 = z2 z1 ,	( )
z1 (z2 z3 ) = (z1 z2 )z3 ,		(!)
(z1 + z2 )z3 = z1 z3 + z2 z3 .		( )

Im

z1 + z2

z1

z2

0

Im

,

.

Re

:

# z = x − iy

y	z = x + iy	z = x + iy .
		":

$ z z = (x + iy)(x − iy) = x2 + y2 = z 2 .

xRe

0
	" z z = z 2 , z = x2 + y2 .
− y
z = x − iy	z z = z 2 >0, z ≠ 0 .

2

z

z−1 =

1

=

z

= 1

z

. z z ≠ 0 .

2

2

z

z

z

x − iy

1

=

. %,

1

= −i

.

x + iy

x2 + y2

i

III. &

z1

1

=

z1

= z

z2

.

z2

1

z2

z

2

2

":

z = 2 + 3i

1

=

1

=

2 − 3i

=

2 − 3i

=

2

−

3i

.

+ 3i

z 2

4 + 9

13

13 13

": (2 + 3i)(

2

−

3i

) =

4

+

6i

−

6i

+

9

= 1 .

13

13

13

13

13

13

	Im		:
		Z = x + iy	r = x2 + y2 =				z		- z ( ).
	y		ϕ = arg z - z .
			ϕ - , -
	ϕ	Re	z Re
	0	x	( , 2π k ).
	' 0 ≤ ϕ < 2π −π < ϕ ≤ π		( ϕ !).
	(r,ϕ) .
	3 :	x = r cosϕ
		y = r sin ϕ

" z :

z = x + iy = r cosϕ + ir sin ϕ = r(cosϕ + i sin ϕ).

" .

( ) : z = r(cosϕ + i sin ϕ )

z1 z2 = r1 (cosϕ1 + i sin ϕ1 ) r2 (cosϕ2 + i sin ϕ2 ) =

=r1r2 (cosϕ1 cosϕ2 − sin ϕ1 sin ϕ2 + i(sin ϕ1 cosϕ2 + cosϕ1 sin ϕ2 ) =

=r1r2 (cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )) - ) z1 z2 .

: " ,

.

z1							=	r1 (cosϕ1 + i sin ϕ1 ) r2 (cosϕ2 − i sin ϕ2 )
	= z		z2						=
z2	1	z				2		r22
				2

= r1 (cosϕ1 + i sin ϕ1 ) r2 (cos(−ϕ2 ) + i sin(−ϕ2 )) =

r22

3

=r1 (cos(ϕ1 −ϕ2 ) + i sin(ϕ1 −ϕ2 )). r2

: " , .

zn = z ... z = r ... r (cos(ϕ + ... + ϕ) + sin(ϕ + ... + ϕ)) =
n	n	n	n

= r n (cos nϕ + i sin nϕ). - * +.

y

1

x

0

,- ) ! y = ex , x ( .1)... ,

):

eit = cos t + i sin t, x R.	(1.1)

" ) (1.1) eit ( #).

.1

/ ) :

eit + e−it

eit − e−it

cos t =

sin t =

, t R.

(1.2)

2

2i

&.

eit

= cos t + i sin t,

e−it = ei ( −t ) = cos(−t) + i sin(−t) = cos t − i sin t,

'+ '

eit + e−it = 2 cos t

→

cos t =

eit + e−it

,

2

'− '

eit − e−it = 2i sin t

→

sin t =

eit − e−it

.

2i

': (1.1) (1.2).

* (1.1) (1.2) 0, (1.1)

) ( ), ) (1.2) – (1.1).

1.	ei 0 = 1,
2.	eit1 eit2 = ei (t1 +t2 ) , t , t								2	R,
						1
3.		d	eit = ieit ,
		dt
4.		eit dt =					1	eit + C = −ieit + C,
							i
5.		eit			= 1,		t ,
6.	ei (t +2π k )					= eit , t R,			k Z . ( 2π - ).

&.

1) ei 0 = cos 0 + i sin 0 = 1+ i 0 = 1.

4

2)eit1 eit2 = (cos t1 + i sin t1 )(cos t2 + i sin t2 ) = = cos(t1 + t2 ) + i sin(t1 + t2 ) = ei (t1 +t2 ) .

d

eit =

d

(cos t + i sin t) =

d

cos t + i

d

sin t =

3)

dt

dt

dt

dt

= − sin t + i cos t = i(cos t + i sin t) = ieit .

4)

$

d

(−ieit ) = −i

d

(eit ) = −i2eit = eit ,

dt

dt

−ieit - eit . ' eit dt = − ieit + C .

5)	eit	=	cos t + i sin t	= cos2 t + sin2 t = 1.

6)ei (t +2π k ) = cos(t + 2π k ) + i sin(t + 2π k ) = cos t + i sin t = eit .

1-4 , 5-6

.

:

Im

	eit = cos t + i sin t.
1	(		z		= 1 t .
Z
t	% - :

1R e

eπ i = −1

e2π i = 1 .

! "

) : z = r(cosϕ + i sin ϕ) = reiϕ . % r - , ϕ - :

z = r eiϕ

!

, ) ! ex , cos x sin x

x R ( ():

ex = 1+

x

+

x2

+

x3

+ ...,

1!

2!

3!

cos x = 1−

x2

+

x4

−

x6

+

x8

− ...,

2!

4!

6!

8!

sin x = x −

x3

+

x5

−

x7

+

x9

− ...,

3!

5!

7!

9!

n! = 1 2 3 ... n .1

0 , ) ! . (:

eit = 1+

it

+

(it)2

+

(it)3

+

(it)4

+

(it)5

+

(it)6

+

(it)7

+

(it)8

1!

2!

3!

4!

5!

6!

7!

8!

1 1 ):

0! ≡ 1

+ ... =

1! ≡ 1 2! ≡ 1 2 = 2 .

5

= 1+

it

−

t 2

−

it3

+

t 4

+

it5

−

t6

−

it7

+

t8

+ ... =

1!

2!

3!

4!

5!

6!

7!

8!

= (1−

t 2

+

t 4

−

t6

+

t8

+ ...) + i(

t

−

t3

+

t5

−

t7

+ ...) =

2!

4!

6!

8!

1!

3!

5!

7!

= cos t + i sin t.

- . /:

x2 − 2 = 0

x

= ±

1)

2 - .

1,2

x

2)

x2 +1 = 0

= ± −1 = ±i

- .

1,2

- . 2 A > 0 , ±

− A = ±

Ai2 = ±i

A - ,

− A (": (±i A)2

= (i2 A) = − A ).

$ & :

ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0)

(1.3)

−b ± b2 − 4ac

−b ± D

* :

x

=

=

, D = b2 − 4ac - .

1,2

2a

2a

!:

1)

D > 0

x =

−b ±

b2 − 4ac

1,2

2a

2)

D = 0

x = −b

2a

3) D < 0 x =

−b ± b

2

− 4ac

=

−b ± i 4ac − b

2

-

1,2

2a

2a

: ", 3

x1 x2 (1.3).

:

a(x − x1 )(x − x2 ) = 0

: ,

!

- .

":

x2 − 6x +15 = 0

x = 3 ± −6 = 3 ± i 6

1,2

": (3 ± i 6)2 − 6(3 ± i

6) +15 = 9 ± 6 6 − 6 −18 6 6 +15 = 0

§2. ( )

* " . . " & "

". $ « » " & ("

").

6

#$

1 n ) x

		P(x) = a xn + a xn−1 + ... + a		n−1		x + a		n	,
	0		1
a0 , a1 , a2 ,..., an−1 , an			- ( a0 ≠ 0 ),				a0 , a1 , a2 ,..., an−1 , an - )) ! .
"		a0 ≠ 0	deg P(x) = n		.
+ ,										)) ! .
% :										P(x) ≡ Q(x) .

' !:

•, ;

: xk xm = xk +m

•& :

" P(x) Q(x) - , Q(x) ≠ 0 . (

T (x) R(x) ,

P(x) = Q(x) T (x) + R(x) , deg R(x) < deg Q(x) .

%: P(x) - , Q(x) - , T (x) - ( ) , R(x) - .

', R(x) ≡ 0 , P(x) Q(x) ( . . P(x) ! Q(x) ). 1 : « »:

":	x3	− 2x2	+ 3x − 4			x2 −1
−
	x3	− x					x − 2
	−	−2x2	+ 4x − 4
		−2x2	+ 2
			4x − 6

": x3 − 2x2 + 3x − 4 = (x − 2)(x2 −1) + (4x − 6)

$ ) n:

P(x) = a xn + a xn−1		+ ... + a	n−1	x + a	n	,	a ≠ 0 .
0	1						0

c (c C c R)

P(c) = a0cn + a1cn−1 + ... + an−1c + an .

# c P(x) , P(c) = 0 . * c, Q(x) = x − c - .

P(x) = (x − c) P (x) + β , β - ( ).

1

" #

% c P(x) (x − c) .

&. P(c) = (c − c) P (c) + β = 0 + β = β.

1

. # c P(x) , P(x)

(x − c) .

&. c – P(x) P(c) = 0 β = 0 P(x) (x - c). %: ?

- , !,

, , .

7

": P(x) = x2 +1,	x = ±i .
	1,2
" P(x) = a xn + a xn−1			+ ... + a	n−1	x + a
	0	1				n

.

" deg P(x) ≥ 1 , c ,

, P(c) = 0 .

0 P(x) :

1)	" c - P(x) P(x) = (x − c )P (x) , deg P (x) = n −1
	1	1	1	1
2)	2 n ≥ 2, deg P (x) ≥ 1 c - P (x)
	1	2	1
	P(x) = (x − c1 )(x − c2 )P2 (x),	deg P2 (x) = n − 2

n)cn - Pn−1 (x) P(x) = (x − c1 )(x − c2 )...(x − cn )Pn (x)

deg Pn (x) = n − n = 0 Pn (x) − . Pn (x) = a0 .

" :

	P(x) = a0 (x − c1 )(x − c2 )...(x − cn )	, a0 ≠ 0	(2.1)
: n n ,

. .

# c P(x)				k ,		P(x) (x − c)k , 3 P(x) (x − c)k +1 .
' :
	P(x) = a (x − c )k1 (x − c )k2 (x − c )km .					(2.2)
	0	1	2	m
% m, k1 , k2 ...km ,			k1 + k2 + ... + km = deg P(x) = n .
c1 , c2 ...cn − ,				k1 , k2 ...km − .

. ) : n ≥ 1 n

, 3 .

% -&'

$ P(x) = a0 xn + a1 xn−1 + ... + an−1 x + an , )) !

( . . a0 , a1...an R ),

( c = α + β i - P(x) ), c = α − βi P(x) . &. / :

1) a = a a R,

+

=

2) z

z

z

+ z

C.

1

2

1

2

z , z

1

2

3) z1 z2 = z1 z2

$ P(

) = a

n + a

n−1

+ ... + a

+ a

=

(cn ) +

(cn−1 ) + ... +

+

=

c

c

c

c

n

a

a

a

c

a

0

1

n−1

0

1

n−1

n

= a cn

+ a cn−1 + ... + a c + a =

P(x).

P(c)

= 0 =0.

c

0

1

n−1

n

", (2.2) -

.

(x − c)(x − c ) = (x −α − βi)(x − a + βi) = (x −α )2 − βi2 =

=x2 − 2α x + α 2 + β 2 = x2 + px + q, D = p2 − 4q < 0 .

( : (x − c)k (x − c )k = (x2 + px + q)k

: & , -3 ,

(x − c)k (x − c )k (x2 + px + q)k .

8

II.

§3.

$ .

B		| AB | - ,
	C	AB - ,
		A - ,
A
		B - ! .

D% ,

3 .

, ,

( ), .

1 AB = CD , ABCD - .

- ( ).

	AB = CD = EF = a
	#$
	" :		" :
	a + b		b
			a + b
	b		a
	a
	$
	λ > 0	λ < 0
			a
	α = λa	α	= λa
	a

" | α |=| λα |=| λ || α | .

%

' , ! ( . . AA = BB = ... = 0 = 0 ).

! . 1:

•λ | a + b | = λa + λb ,

•a + b = b + a ,

•0 a = 0 ,

…

':

1)- ,

( );

2),

( );

\\

3)" F1 , F2 ...Fk - ) . λ1 , λ2 ...λk − ) .

P= λ1F1 + λ2 F2 + ... + λk Fk F1 , F2 ...Fn ;

4)1 " ,

!

( “ ,

” ).

9

' .

. &.

C

c

1. " a, b, c − . p -

pP

. 3 0,

:

a = OA , b = OB , c = OC , p = OP

2. & :

O			b	B	PQ || c , QR || b , :
R					OP = OQ + QP = OR + RQ + QP ;
		Q
	a				QP || c	, QP = λc	;

A

RQ || b , RQ =ν b ;

( OR = µa , λ,ν , µ - ;

p = µa +ν b + λc - !. ", . & :

	" p = µ a				+ν b + λ c			- .
				1	1		1
	", )) ! ( λ1 ≠ λ ). (:
	µ a +ν b + λ c = µa +ν b + λc ,
	1	1		1
	(λ − λ)c = (ν −ν					)b + (µ − µ )a ,			( λ − λ ≠ 0 ),
	1				1			1	1
		ν −ν			µ − µ
	c =		1	b +		1	a -	! a, b		c . ( ,
		λ − λ			λ − λ
		1			1

. , .

: &, (3, 3)

.

§4. ( )

u :

e. .

a	' & ,
l	,
	.
: a - a ≠ 0, a e, a ↑↑ u .
1 .
	e -
1 :			= 1		e - u.	z
		e

" &" 4:

•) O – ;

•$ : i , j , k , :

=j = k = 1 i j k i ;i

• i , j , k - * ";	i
• # O Ox, Oy, Oz

k

o	j	y

i , j , k .	x
" ! &" 4.
- ?

10