- •Числовые ряды. Определение сходящегося числового ряда. Геометрический ряд.
- •Свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости.
- •Теоремы сравнения (признаки сравнения).
- •Признаки сходимости Даламбера и Коши.
- •Интегральный признак сходимости. Сходимость обобщенного гармонического ряда.
- •Знакопеременные числовые ряды. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда.
- •Функциональные ряды. Область сходимости. Сходимость ряда xn.
- •Равномерно сходящиеся последовательности и ряды. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда.
- •Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда.
- •Выражения для радиуса сходимости степенного ряда через коэффициенты ряда. Как найти интервал сходимости степенного ряда?
- •Свойства степенных рядов.
- •Ряд Тейлора. Ряд Маклорена.
- •Разложение функций ex, sinx, cosx в ряд Тейлора.
- •Событие. Несовместные, равносильные, достоверные, невозможные, равновозможные и единственно возможные, противоположные события. Полная группа событий.
- •Классическое и статистическое определение вероятности.
- •Размещения, сочетания, перестановки.
- •Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Независимость событий.
- •Теорема сложения вероятностей.
- •Формула полной вероятности. Формула Байеса.
- •Теорема Пуассона. Условие применимости формулы Пуассона для вычисления вероятности в схеме повторных испытаний.
- •Локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа. Условие их применимости для вычисления вероятности в схеме повторных испытаний.
- •Случайная величина. Дискретные и непрерывные случайные величины. Закон распределения случайной величины, ряд распределения. Независимость случайных величин.
- •Функция распределения случайной величины. Свойства функции распределения.
- •Плотность вероятности. Свойства плотности вероятности.
- •Математическое ожидание дискретной и непрерывной случайной величины. Свойства математического ожидания.
- •Дисперсия случайной величины. Свойства дисперсии. Среднее квадратическое отклонение.
-
Равномерно сходящиеся последовательности и ряды. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда.
Равномерно сходящаяся функциональная последовательность.
Последовательность функций сходится равномерно {yn(x)}=F(x) на всех х, если для всех ε>0 существует такое N(ε) для всех n>N, всех xεX, что |fn(x)-F(x)|<ε, для всех точек данного множества.
Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве Х к функции S(x); , если для всех ε>0 существует такое N(ε) для всех n>N, всех xεX,что |.
Признак Вейерштрасса.
Если – сходится и каждый член функционального ряда не превосходит членов численного ряда |fn(x)|≤an, все n≥n0≥1, то все хεХ, сходится равномерно на Х.
-
Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда.
Ряд С0+С1Х+С2Х2+…+СnXn+… (1) или С0+С1(Х-Х0)+С2(Х-0)2+…+Сn(X-Х0)n+… (2), где Сi ε R, - называется степенным.
Теорема Абеля. Если ряд 1 сходиться в х0≠0, то он абсолютно сходится при всех |x|<|x0|. Если ряд расходится в х1≠0, то он расходится при всех |x|>|x1|. Из теоремы следует, что существует число R>0 такое, что при |x|<R – ряд сходиться, а при |x|>R - ряд расходится. Это число называется радиусом сходимости ряда ряда 1, а (-R;R) – интервалом сходимости. Этот интервал может быть найден через признак Д'Аламбера или Коши.
-
Выражения для радиуса сходимости степенного ряда через коэффициенты ряда. Как найти интервал сходимости степенного ряда?
Тип 1.
(Д’Аламбера)
R=
Признак Коши:
R= - функция Коши-Адамара.
Интервал (-R;R)
Тип 2.
, R – такие же. |x-x0|<R <=> (x0-R; x0+R) – интервал сходимости.
- R=0
- R=∞
R – любое.
-
Свойства степенных рядов.
-
Если R – радиус сходимости , то при всех rε(0;R) ряд сходиться равномерно на отрезке (-r;r)
-
Непрерывность суммы. Если R – радиус сходимости , то сумма ряда непрерывна на всем отрезке [-r;r]ε(-R;R).
-
Если R сумма которого = S(x), то на интервале [α;β]ε(-R;R) функция S(x) интегрирована, т.е.
В частности для всех хε(-R;R) функция S(x) интегрирована на [0;x], т.е. Причем полученный ряд имеет тот же R, что и исходный.
-
Если R радиус ряда, сумма которого =S(x), то внутри интервала сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать, т.е. S’(x)=
-
Ряд Тейлора. Ряд Маклорена.
y(x) – представим в виде . Т.е. y(x)=, тогда
y’(x)=
y’’(x)=
y’’’(x)=
…
yk(x)=
Если х=х0, тогда:
у(х0)=С0 С0=у(х0)
у’(х0)=1*С1 С1=у’(х0)/1!
у’’(х0)=1*2*С2 С2=у’’(х0)/2!
…………… …………
уk(х0)=1*2*3*…*k*Сk Сk=уk(х0)/k!
Если у(х) имеет в окрестности точки х0 производные любого порядка, то - называется рядом Тейлора функции у(х).
При х=0 - этот ряд называется рядом Маклорена.
Любой функции можно сопоставить ряд Тейлора, она может как сходиться, так и расходиться, но не обязательно с у(х).
у(х).
Функция разлагающаяся в ряд Тейлора, сходящийся в некоторой окрестности этой функции называется аналитической в этой окрестности.
-
Разложение функций ex, sinx, cosx в ряд Тейлора.
-
f(x)=ex
f’(x)=f’’(x)=f’’’(x)=ex
f(0)=e0=1
f’(0)=f’’(0)=f’’’(0)=e0=1
ex=1+
R=
-
f(x)=sinx
f’(x)=cosx
f’’(x)=-sinx
f’’’(x)=-cosx
f’’’’(x)=sinx
…
f(0)=0; f’(0)=1; f’’(0)=0; f’’’(0)=-1; f’’’’(0)=0…
sinx=
R= сходится при всех хεR
-
f(x)=cosx
f’(x)=-sinx
f’’(x)=-cosx
f’’’(x)=sinx
…
cosx=1
R= сходится при всех хεR
-
Разложение функций (1+x), ln(1+x) в ряд Тейлора.
…
f(0)=1
f’(0)=α
f’’(0)=α(α-1)
f’’’(0)=α(α-1) (α-2)
…
fk(0)=α(α-1)…(α-k+1)
…
Rсх. = 1, т.е. ряд сходится при х=±1, сходимость зависит от α.
Если α=m, то начиная с n=m+1 все f(x)=0.
1-x+x2-x3+x4-…+(-1)nxn+…
при |x|<1 ряд равен:
R=1 сходится при х=±1