26. Матричная запись системы линейных уравнений (см. В 23). Решение систем в матричной форме (см. В 23)

27. Метод Гаусса решения системы линейных уравнений. (см. В 3)

28. Свойства определителей порядка n. Приведение определителя к треугольной и диагональной форме.

1. При транспонировании матрицы определитель не меняется, то есть . 2. Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей сомножителей, то есть.3. Если в матрице поменять местами две строки, то ее определитель сменит знак.4. Если матрица имеет две одинаковые строки, то ее определитель равен нулю.5. Если строку матрицы умножить на число , то ее определитель умножится на это число.6. Если матрица содержит нулевую строку, то ее определитель равен нулю. 7. Если одна из строк матрицы равна другой, умноженной на число (строки пропорциональны), то определитель матрицы равен нулю.8. Пусть в матрице -ая строка имеет вид. Тогда, где матрицаполучается из матрицызаменой-ой строки на строку, а матрица-- заменой-ой строки на строку.9. Если к одной из строк матрицы добавить другую, умноженную на число, то определитель матрицы не изменится. 10. Если одна из строк матрицы является линейной комбинацией других ее строк, то определитель матрицы равен нулю.

Алгоритм создания нулей в столбце. Пусть требуется вычислить определитель матрицы порядка. Если, то поменяем местами первую строку и любую другую, в которой первый элемент не нуль. В результате определитель, будет равен определителю новой матрицы с противоположным знаком. Если же первый элемент каждой строки равен нулю, то матрицаимеет нулевой столбец и ее определитель равен нулю. Итак, считаем, что уже в исходной матрице. Первую строку оставляем без изменений. Прибавим ко второй строке первую строку, умноженную на число. Тогда первый элемент второй строки будет равенОстальные элементы новой второй строки обозначим,. Определитель новой матрицы равен. Первую строку умножим на числои прибавим к третьей. Первый элемент новой третьей строки будет равенОстальные элементы новой третьей строки обозначим,. Определитель новой матрицы равен. Процесс получения нулей вместо первых элементов строк продолжим дальше. Наконец, первую строку умножим на числои прибавим к последней строке. В результате получается матрица, обозначим ее, которая имеет вид

причем . Для вычисления определителя матрицыиспользуем разложение по первому столбцуТак как, то

В правой части стоит определитель матрицы порядка . К нему применим тот же алгоритм, и вычисление определителя матрицысведется к вычислению определителя матрицы порядка. Процесс повторяем до тех пор, пока не дойдем до определителя второго порядка, который вычисляется по определению.

29. Элементарные преобразования матриц. Методы вычисления ранга матрицы (см. 22)

- перестановка двух строк или двух столбцов;

- умножение всех элементов строки или столбца на любое число, отличное от нуля;

- прибавление ко всем элементам строки или столбца соответствующих элементов другой строки или другого столбца, умноженных на одно и то же число.

  Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы. Иногда к элементарным операциям относят и операцию транспонирования - замена каждой строки столбцом с тем же номером.

30-38. поверхности и их координаты

Сферой называется геометрическое место точек пространства, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром.

Сфера радиуса с центром в точкеимеет уравнение

В сферических координатах – p(ро) = R

Для ее изображения нарисуем сечения сферы плоскостями, проходящими через центр и параллельными координатным плоскостям. Каждое такое сечение будет окружностью радиуса 2 с центром в точке .

Эллипсоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид

(13.3)

где ,,-- положительные числа. Исследуем форму эллипсоида. Из уравнения (13.3) видно, что координаты точек поверхности ограничены: ,,. Эллипсоид обладает тремя плоскостями симметрии, тремя осями симметрии и центром симметрии. Ими служат соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат. Для выяснения формы эллипсоида рассмотрим его сечения плоскостями. Найдем линию пересечения эллипсоида с плоскостью. Так как любая точка плоскостиимеет нулевую третью координату,, то координаты точек эллипсоида на плоскостиудовлетворяют уравнению

(13.4)

Получаем, что линия пересечения является эллипсом с полуосями и. Аналогично, сечение в плоскостидает эллипс

с полуосями и, а сечение плоскостью-- эллипс

с полуосями иНарисованный "каркас" из сечений уже дает представление об эллипсоиде. Но чтобы выяснить, как ведет себя поверхность между нарисованными кривыми, рассмотрим сечение эллипсоида плоскостью. Эта плоскость параллельна плоскостии пересекает осьв точке. Уравнения этой линииОчевидно, что если, то ни одна точка пространства не может удовлетворять этой системе: в левой части первого уравнения стоит неотрицательное число, а в правой -- отрицательное. Если, то сечении получим лишь одну точкуилив зависимости от знака. Пусть. Тогда первое уравнение преобразуем к видуто есть к виду

(13.5)

где,. Уравнение (13.5) является уравнением эллипса, подобного эллипсу, задаваемому уравнением (13.4), с коэффициентом подобия и полуосямии. Ясно, что сечение плоскостьюявляется таким же эллипсом, расположенным симметрично первому относительно плоскости. Нарисуем эти сечения . Таким образом, весь эллипсоид составлен из эллипсов, лежащих в плоскостях, параллельных плоскостии подобных эллипсу в плоскости. Так же, как для эллипса, точки пересечения эллипсоида с координатными осями называются вершинами эллипсоида, центр симметрии -- центром эллипсоида. Числа,,называются полуосями. Если полуоси попарно различны, то эллипсоид называетсятрехосным. Если две полуоси равны друг другу, то эллипсоид называется эллипсоидом вращения. Эллипсоид вращения может быть получен вращением эллипса вокруг одной из осей. Например, если , то все сечения эллипсоида плоскостями,, будут окружностями. Сам эллипсоид может быть получен из эллипсалежащего в плоскости, при вращении его вокруг оси.

Однополостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид

(13.6)

где ,,-- положительные числа. Исследуем форму однополостного гиперболоида. Так же, как эллипсоид, он имеет три плоскости симметрии, три оси симметрии и центр симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат. Для построения гиперболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью. На этой плоскости, поэтомуЭто уравнение на плоскостизадает эллипс с полуосямии. Найдем линию пересечения с плоскостью. На этой плоскости, поэтому

Это уравнение гиперболы на плоскости , где действительная полуось равна, а мнимая полуось равна. Построим эту гиперболу. Сечение плоскостьютакже является гиперболой с уравнениемНайдем линии пересечения поверхности с плоскостями,. Уравнения этих линийПервое уравнение преобразуем к видуто есть к виду

(13.7)

где ,. Уравнение (13.7) является уравнением эллипса, подобного эллипсу в плоскости , с коэффициентом подобияи полуосямии. Нарисуем полученные сечения .

Если в уравнении (13.6) , то сечения гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости, являются окружностями. В этом случае поверхность называетсяоднополостным гиперболоидом вращения и может быть получена вращением гиперболы, лежащей в плоскости , вокруг оси

Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид

(13.8)

где ,,-- положительные числа. Исследуем форму двуполостного гиперболоида. Так же, как эллипсоид и однополостный гиперболоид, он имеет три плоскости симметрии, три оси симметрии и центр симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат. Для построения гиперболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью. На этой плоскости, поэтому

Координаты ни одной точки плоскости не могут удовлетворять данному уравнению. Следовательно, двуполостный гиперболоид не пересекает эту плоскость. Найдем линию пересечения с плоскостью. На этой плоскости, поэтому

Это уравнение гиперболы на плоскости , где действительная полуось равна, а мнимая полуось равна. Построим эту гиперболу

Сечение плоскостьютакже является гиперболой, с уравнением

Найдем линии пересечения поверхности с плоскостями ,. Уравнения этих линий

Очевидно, что ни одна точка не может удовлетворять этим уравнениям, если . Еслиили, то плоскость имеет с исследуемой поверхностью только одну точкуили. Эти точки называютсявершинами гиперболоида. Пусть . Первое уравнение преобразуем к видуто есть к виду

(13.9)

где ,. Уравнение (13.9) является уравнением эллипса, подобного эллипсу в плоскости , с коэффициентом подобияи полуосямии. Нарисуем полученные сечения .Если в уравнении (13.8) , то сечения гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости, являются окружностями. В этом случае поверхность называетсядвуполостным гиперболоидом вращения и может быть получена вращением гиперболы, лежащей в плоскости , вокруг оси.

Конусом второго порядка называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид

(13.10)

где ,,-- положительные числа.

        Замечание 13.1   С математической точки зрения поверхность (13.10) лучше определять с помощью уравнения

(13.11)

так как в нем меньше параметров, но при этом, во-первых, теряется аналогия с уравнениями предыдущих поверхностей, а во-вторых, если считать, что величины ,,,,имеют размерность длины, то в уравнении (13.11) размерности правой и левой части не согласуются. Исследуем форму конуса. Так же, как эллипсоид и гиперболоиды, он имеет три плоскости симметрии, три оси симметрии и центр симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости, координатные оси и начало координат. Для построения конуса найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью . На этой плоскости, поэтомуКоординаты только одной точки плоскостимогут удовлетворять данному уравнению, а именно, начала координат. Найдем линию пересечения с плоскостью. На этой плоскости, поэтомуЭто уравнение пары прямыхна плоскости. Построим эти прямые. Сечение плоскостьютакже является парой прямых с уравнением. Нарисуем и эти прямые.

Найдем линии пересечения поверхности с плоскостями,. Уравнения этих линий

Первое уравнение преобразуем к виду то есть к виду

(13.12)

где,. Уравнение (13.12) является уравнением эллипса. Нарисуем полученные сечения. Точка пересечения конуса с плоскостью называетсявершиной конуса. Если в уравнении (13.10) , то сечения конуса плоскостями параллельными плоскостиявляются окружностями. В этом случае поверхность называетсяпрямым круговым конусом и может быть получена вращением прямой, лежащей в плоскости , вокруг оси. Именно с таким конусом мы имеем дело в шкЭллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид

(13.13)

где и-- положительные числа. Исследуем форму эллиптического параболоида. Он имеет две плоскости симметрии и ось симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости,и координатная ось. Для построения эллиптического параболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью. На этой плоскости, поэтомуКоординаты только одной точки плоскостимогут удовлетворять данному уравнению, а именно, начала координат. Найдем линию пересечения с плоскостью. На этой плоскости, поэтомуЭто уравнение параболы на плоскости Сечение плоскостьютакже является параболой. Найдем линии пересечения поверхности с плоскостью. Уравнения этой линииОчевидно, что только одна точка (начало координат) удовлетворяет этим уравнениям, если. Эта точка называетсявершиной параболоида. Пусть . Первое уравнение преобразуем к видуто есть к виду

(13.14)

где ,. Уравнение (13.14) является уравнением эллипса. Нарисуем полученное сечение (рис. 13.19). При плоскость поверхность не пересекает.

Рис.13.19.Сечения эллиптического параболоида координатными плоскостям.

Найдем сечения параболоида плоскостями , параллельными плоскости. Линии этих сечений удовлетворяют уравнениями являются параболами, такими же, как в плоскости, только сдвинутыми вверх на величину, их вершины при таком сдвиге лежат на параболе, получившейся в сечении плоскостью.

Следовательно, вся поверхность может быть получена движением параболы, лежащей в плоскости. Парабола должна двигаться так, чтобы ее плоскость была параллельна плоскости, а вершина скользила по параболе в плоскости. Если в уравнении (13.13) , то сечения плоскостями, параллельными плоскости, являются окружностями. В этом случае поверхность называетсяпараболоидом вращения и может быть образована вращением параболы, лежащей в плоскости , вокруг оси.

Гиперболическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид

(13.15)

где и-- положительные числа. Исследуем форму гиперболического параболоида. Так же, как и эллиптический параболоид, он имеет две плоскости симметрии и ось симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости,и координатная ось. Для построения гиперболического параболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью. На этой плоскости, поэтому

Это уравнение определяет на плоскости пару прямых. Найдем линию пересечения с плоскостью. На этой плоскости, поэтомуЭто уравнение на плоскостизадает параболу, ветви которой направлены вниз. Построим ее. Сечение плоскостьютакже является параболойно ее ветви направлены вверх. Нарисуем и ее.

Найдем линии пересечения поверхности с плоскостью,. Уравнения этой линииПервое уравнение преобразуем к видуто есть к виду

(13.16)

где ,. Уравнение (13.16) является уравнением гиперболы. Ее действительная ось параллельна оси , а мнимая -- оси. Полуоси равны соответственнои. Найдем линии пересечения с плоскостями, параллельными плоскости. Уравнения этих линийПервое из этих уравнений является уравнением параболы, такой же, как и в сечении плоскостью, только сдвинутой вдоль осина величинувверх. Эти параболы изображены на рисунке.

Так как-- произвольное число, то вся поверхность может быть получена движением параболы, лежащей в плоскости. Передвигать параболу нужно так, чтобы ее плоскость оставалась параллельной плоскости, а вершина скользила по параболе в плоскости. Плоскость,, пересекает поверхность по гиперболе, но в отличие от гиперболы (13.16), ее действительная ось параллельна теперь оси , а мнимая -- оси.

Рис.13.25.Дополнительное сечение

Цилиндрической поверхностью называется геометрическое место параллельных прямых, пересекающих данную линию. Эта линия называется направляющей, а параллельные прямые -- образующими. Рассмотрим уравнение вида

(13.17)

и покажем, что оно определяет цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси . Пусть-- некоторая точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (13.17). Поскольку в это уравнение не входит явно переменная , ему будут удовлетворять координаты всех точек, где-- любое число. Следовательно, при любомточкалежит на поверхности, определяемой уравнением (13.17). Отсюда следует, что на поверхности целиком лежит прямая, проходящая через точку параллельно оси. А это означает, что поверхность, определяемая уравнением (13.17), составлена из прямых, параллельных оси , то есть она является цилиндрической поверхностью. Заметим, что на плоскостиуравнение (13.17) определяет направляющую рассматриваемой цилиндрической поверхности. Итак, делаем вывод, что если уравнение поверхности не содержит в явном виде какой-либо переменной, то это уравнение определяет в пространстве цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси отсутствующего переменного и направляющей, которая в плоскости двух других переменных имеет то же самое уравнение.

Поверхность, которая в некоторой декартовой системе координат задается уравнением

(13.18)

называется эллиптическим цилиндром, поверхность, которая задается уравнением

(13.19)

называется гиперболическим цилиндром, а которая задается уравнением

(13.20)

называетсяпараболическим цилиндром. Для того чтобы построить поверхность, задаваемую уравнением (13.18), или уравнением (13.19), или (13.20), достаточно нарисовать на плоскости направляющую, уравнение которой на этой плоскости совпадает с уравнением самой поверхности, и затем через точки направляющей провести образующие параллельно оси. Для наглядности следует построить также одно-два сечения плоскостями, параллельными плоскости. В каждом таком сечении получим такую же кривую, как и исходная направляющая. Изображения этих цилиндров сечениями приведены на рисунках 13.27, 13.29 и 13.31, а их объемные изображения -- на рисунках 13.28, 13.30 и 13.32.

Изображение эллиптического цилиндра с помощью сечений

Изображение гипербоического цилиндра с помощью сечений

Изображение параболического цилиндра с помощью сечений

0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000