Ответы на экзаменационные вопросы по ОДУ+ряды

∞

+∑1/l ∫ f(t)sin kπ/l x sin kπ/l t dt = =1/2l ∫ f(t)dt +1/π ∑π/l ∫f(t)cos kπ/l (t-x)dt

	Согласно Критерию Коши, так как∞∫ |f(x)|dx
					-∞
сходится→первое слагаемое стремится к 0.
Второе слагаемое можно рассматривать как
интегральную сумму при разбиении, у которого
все отрезки равны π/l.
f(x)=1/π ∫∞dx ∫∞f(t)cos λ(t-x)dt
	0		–∞	∞
		∞
a(λ)=1/π ∫ f(t)cos λt dt, b(λ)=1/π ∫ f(t)sin λt dt
	∞	-∞		-∞	∞
f(x)=∫ (A(λ)cos λx+B(λ)sin λx)dx=					∫ C(λ)eiλxdx
	0				-∞
где С(λ)=1/2π∞∫ f(x)e-iλxdx
			-∞
Разложение на произвольном
промежутке.(a,a+2l).
		∞
f(x)= (a0/2 +∑(akcos πkx/l + bk sin πkx/l)
a+2l		k=1	a+2l
a0=1/l ∫f(x) dx			ak=1/l ∫ f(x)cos πkx/l dx
a	a+2l		a
bk=1/l	∫ f(x)sin πkx/l dx
	a
Неполные ряды фурье.
y=f(x) на (0,l)
f(x)= a0/2 +k=1∑akcos πkx/l
a0=2/l l0∫f(x) dx			ak=1/l 0l∫ f(x)cos πkx/l dx
f(x)= ∑∞		bksin πkx/l
	k=1
bk=2/l ∫l0 f(x)sin πkx/l
Комплексный ряд Фурье.
			∞
f(x) на (-l, l ). f(x)=∑ Ckeiπkx/l
Ck=1/2l ∫l			k=-∞
	f(x)e-iπkx/l dx
-l

cos πx=(eiπx+e-iπx)/2, sin πx=-(eiπx-e-iπx)/2

Формула Эйлера. eiZ=cos z–i sin z

Интеграл Фурье.

f(x) кусочно-гладкая на любом отрезке, её несобственный интеграл сходится на всей числовой прямой.

f(x)=+0∫∞(A(λ)cos λx+B(λ)sin λx)dx

A(λ)=1/π-∞∫∞ f(x)cos λx dx , B(λ)=1/π-∞∞∫ f(x)sin λx dx

Для чётной функции B(λ)=0, для нечётной

A(λ)=0.

Преобразование Фурье.

g(λ)=1//2π ∞∫ f(t)e-i λtdt ,f(x)=1//2π ∫∞g(λ)ei λtdt
-∞	-∞
По косинусам. ∞
g(λ)=/(2/π) ∫ f(t)cos λt dt ,
	0
f(x)=/(2/π) ∞∫g(λ)cos λx dx
0
По синусам.	∞
g(λ)=/(2/π) ∫ f(t)sin λt dt ,
∞	0
f(x)=/(2/π) ∫0g(λ)sin λx dx

Справочный материал.
Формула Эйлера. eix=cos x–i sin x
cos x=(eix+e-ix)/2=Re eix
sin x=–(eix-e-ix)/2= –Im eix
a*cos x + b*sin x=
=/a2+b2			* cos(x-arcsin b//a2+b2)=
=/a2+b2			cos(x - arctg b/a);
sin x		sin y = (cos (x-y)-cos(x+y))/2;
cos x cos y = (cos (x-y)+cos(x+y))/2;
sin x cos y = (sin(x+y)+sin(x-y))/2;
sin x cos x=sin 2x /2;
sin2x=(1 - cos 2x)/ 2;
cos2x=(1 + cos 2x)/ 2;
Дифференцирование.
(uv)’=u’v+v’u
F’(g(x)]=F’(g(x))u’(x)
(u/v)=(u’v-uv’)/v2
(1/v(x))’x=-v’/v2
f		f’		f	f’
x		1		tg x	1/ cos2x
xn		n xn-1		ctg x	-1/ sin2x
x-1		ln|x|		arctg x	1/ 1 + x2
ax		ln a *ax		arcctg x	-1/ 1 + x2
loga x		1/ x *ln a		arcsin x	1/ √1- x2
sin x		cos x		arccos x	-1/ √1- x2
cos x		-sin x		e-x^2	-2xe-x^2

	Интегрирование.
Основная таблица.
∫ kdx=kx+C; ∫xndx=xn+1/n+1, n ≠-1; ∫ 1/x =ln|x|+C;
∫ dx/(1 + x2) =arctg x + C; ∫dx//1-x2 =arcsin x+C;
∫ exdx=ex + С; ∫ ax dx=ax /ln a + C;
∫ sin x dx = -cos x + C; ∫ cos x dx =sin x + C,
∫ sin-2x dx=-ctg x+С; ∫ cos-2x=tg x+С;
∫ sh x=ch x; ∫ ch x = sh x;
∫ dx/ch2x=th x; ∫ dx/sh2x= -cth x;
Замена переменных.
∫ f[φ(t)] φ’(t)dt = ∫ f[φ(t)] dφ(t),
в определённоом интеграле:
f(x) 0 C[a,b], φ(t)0C1[α,β]
b	φ(b)
∫ f(x) dx =	∫ f[φ(t)] dφ(t)
a	φ(a)

Интегрирование по частям.

∫ vdu =uv-∫ udv.

Горяев Алексей, Т3-09, МИФИ, ответы на вопросы по обыкновенным дифференциальным уравнениям, 20 января 2002.

1.Понятие обыкновенного дифференциального уравнения, его порядок. Определение решения уравнения. Задача Коши. Частное и общее решения, частный и общий интеграл. Интегральные кривые.

F(x,y,...,y(n)), в области Ф 0 Rn+2.

F(x,y,...,y(n))=0 обыкновенное дифференциальное уравнение n го порядка относительно y=y(x).

Частный случай- y(n)= f(x,y,...,y(n-1)), f

опреденлена на G 0 Rn+1–оду в нормальной форме. y=φ(x)- решение, если 1) φ(x)-0 Cn<a,b>

2)œ x 0 <a,b> (ПрхФ) точка (x,φ ,...,φ(n))0 Ф

3)При подстановке φ(x) в уравнениеполучается тождество.

Задача Коши– нахождение интегральной кривой φ(x) (частного решения), удовлетворяющего дополнительным условиям: заданы

φ(x0),...производные в этой точке до n-1.

Для первого порядка: y'=f(x,y) (1)

y(x0)=y0 (2)

Общее решение: y=φ(x,c↓), с↓–параметр, φ(x,c↓)– решение, любое решение можно представить в этом виде.

Общий интеграл. Ф(x,y,c)–общий интеграл, если при его разрешении относительно y(x) получается общее решение, а при фиксированном С–частное решение.

p(x,y)↓={1;f(x,y)}.

Векторной линией векторного поля S называется гладкая линия (x=φ(t),y=ψ(t),φ,ψ 0 C1, φ', ψ' ≠0), в

любой точке которой направление касательной совпадает с направлением векторного поля в данной точке. Задача Коши эквивалентна нахождению всех интегральных кривых, проходящих через точку.

2. Уравнения с разделяющимися переменными.

1)y’=f(x)*g(y) –

1)рассмотреть случай g(y)=0 2)dy/g(y)=f(x)dx

3)∫dy/g(y)=∫ f(x)dx+C Ответ в виде: F(x)=G(y)+C 2)m(x)h(y)dy+g(x)f(y)dx=0 1)проверить m(x)=0

2) проверить f(y)=0

3)разделить на m(x)f(y)

3. Однородные и сводящиеся к однородным уравнения.

y’=f(x,y)=f(λx,λy)

в качестве λ взять 1/х. y’=f(1,y/x)= I t=y/x I=g(t)→y(x)=t(x)x

продифференцируем y’=t’*x+t=g(t) dt/(g(t)-t )=dx/x

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0, M и N –однородные функции одной и той же степени.

1)Проверить dx=0, x=const

2)Проверить N(x,y)=0

3)Разделить уравнение на N dx и представить результат в виде

dy/dx =G(y/x)

4)Замена: z(x)=y/x, y=xz ,y’=z+xz’

Если M и N линейные, то G=(kz+a)/(z+b) z+xz’=G(z) , z перенести направо

Если M и N линейные, то xz’=P2(z)/(z+b)

обе части разделить на Р2(z), не забывая

проверить Р2(z)=0.
5)Затем проинтегрировать не забывая про С. В
ответе везде заменить z на y/x
(a1 x+b1 y+C1)dx+(a2 x+b2 y+C2)dy =0
1 случай. a1/a2= b1/b2=k
1)Проверив нули делителя обе части делятся на
dx*(a2 x+b2 y+C2)
замена: z(x)=z(x,y(x))= a2 x+b2 y(x).
y’x=(kz+C1)/(z+C2)=
=g(z)=k+(C1-kC2)/(z+C2)
z’x =a2 + b2 y’x= a2 + g(z)–с разделяющимися
переменными. В ответ вместо z подставить
a2 x+b2 y.
2 случай. Система
a1 x+b1 y+c1=0 a2 x+b2 y+c2=0
имеет единственное решение (X,Y), его надо найти.
a1	x+b1 y+c1= a1	(x-X)+b1(y-Y)
a2	x+b2 y+c2= a2	(x-X)+b2(y-Y)
Поэтому надо сделать замену
t=x-X,u=y-Y–получим однородное уравнение.
“Аналогичную замену проводят в случае если
y’=f( a1 x+b1 y+c1 / a2 x+b2 y+c2 )”
Замечание. Некоторые уравнения приводятся к
однородным заменой y=zm. y’=m zm-1. Подставив y в
исходное уравнение составим систему, которая
выражает, что степени всех членов одинаковые.
4. Линейные уравнения первого порядка.
Линейное однородное уравнение. y’+a(x)y=0
(с разделяющимися переменными)
Ответ: y=Ce-∫ a(x)dx
y’+a(x)y=b(x) (1)
Метод вариации постоянной.
1)решить уравнение y’+a(x)y=0 ,
получить ответ в виде CeA(x)
где A(x)= -∫ a(x)dx
Будем искать решение линейного уравнения в виде
y= C(x)eA(x) (2).
2) Подставить y=f(C(x),x) в линейное уравнение.
c’(x) eA(x)-a(x)c(x) eA(x)+
+a(x)c(x) eA(x)=b(x)→
c’(x)=e-A(x)b(x)
3)Найти C(x)=С(D,x), подставить в (2)
Записать ответ:
y(x)=eAx(D+∫ e-A(x)b(x)dx)=
DeAx+ eAx ∫ e-A(x)b(x)dx =общее решение
однородного+частное решение неоднородного.
Метод вариации двух функций.
Предположим, что y(x)=u(x)*v(x). Тогда y’=u’v+v’u.
1)Подставить это в уравнение. Сгруппировать
слагаемые связанные с u. Получим выражение вида:
u’v + u*f(x,v,v’) = b(x).
2)Найти частное решение уравнения f(x,v,v’)=0 –
v=v(x).
3)уравнение сведено к уравнению
v(x)u’ = b(x).
u(x,C) = ∫ b(x)/v(x)		dx + C

4)Записать ответ y(x)=u(x,С)v(x)

5. Уравнение Бернули и Рикатти. y’ + a(x)*y = b(x)*yn ,n≠0,1– Бернулли.

1)разделить на yn, умножить на (1-n) и сделать замену

z= y1-n. z'=(1-n)*y-n, y=0 является решением при n>0.

Получится линейное уравнение. z’+(1-n)a(x)z=(1-n)b(x)

2)Решив это уравнение в ответе вместо z написать y1-n.

Уравнение Риккати. вида y’=a(x)y+b(x)y2+c(x) и f(x)-

частное решение.

1)сделать замену y(x)=f(x)+z(x) и подставляем в исходное уравнение:

z'+f '=az+ay+bz2+2bzf+bf2+c(x). Так как f ’=af+ bf2+c(x)

получится уравнение Бернулли: z’ = ( a + 2 b f ) z + b(x) z2

6.Уравнения в полных дифференциалах.

Уравнение M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 называется уравнением в полных дифференциалах если существует функция u(x,y) такая, что du/dx=M(x,y), du/dy=N(x,y).В этом случае u(x,y) называется потенциалом, так как векторное поле {M(x,y), N(x,y)} является потенциальным.

1)Найти dM/dy и dN/dx. Если dM/dy=dN/dx то это уравнение в полных дифференциалах {Доказательство критерия Эйлера–Пуассона: dM/dy=∂2u/∂x∂y=(независимость от порядка дифференцирования)=∂2u/∂y∂x=dN/dx , dM/dy–dN/dx=0→ по формуле Грина

Š p dl=0→потенциал ›}. . 2) u(x,y)=∫ M(x,y)dx+f(y)= =в виде G(x,y)+f(y) (1).

3)Продифференцировав (1), выразить du/dy ,

с другой стороны du/dy=N(x,y).Отсюда найти f ’y , затем f(y),не забывая про С.

4)Общий интеграл u(x,y)=G(x,y)+f(y)=C, так как du≡0

7.Интегрирующий множитель. Eсли левая часть не является полным

дифференциалом(dM/dy≠dN/dx), то возникает задача подбора интегрирующего множителя µ(x,y) при умножении на которую левая часть становится полным дифференциалом:

d(µ M)/dy = d(µ N)/dx↔

dµ/dy M+µ dM/dy= dµ/dy N+µ dN/dy

Аналитически µ найти нельзя.

Если известно, что µ зависит только от одной переменной, например от x, то

(dM/dy-dN/dx)/N=обозначим φ(x)- не должно зависеть от y, в противном случае интегрирующий множитель зависит от у.)

µ(x)=e∫φ(x)dx.

Если известно, что µ=µ(z(x,y)), (z-известна) то

d(µ M)/dy=d(µ N)/dx →

M ∂µ/∂y+µ ∂M/∂y= N ∂µ/∂x+µ ∂N/∂x→

(M ∂µ/∂y– N ∂µ/∂y)/µ =∂N/∂x–∂M/∂y, 1/µ =d lnµ → (M ∂ lnµ /∂y– N ∂ lnµ/∂y) =∂N/∂x–∂M/∂y,

(M ∂ lnµ /∂z * ∂z/∂y– N ∂ lnµ/∂z * ∂z/∂x) =∂N/∂x–∂M/∂y

∂ ln µ /∂z=∂N/∂x–∂M/∂y / M ∂z/∂x–N ∂z/∂y

После нахождения интегрирующего множителя решается уравнение в полных дифференциалах.

8. Уравнения первого порядка, не разрешённые относительно производной. Общий метод введения параметра.

F(x,y,y')=0, F 0C1(Ω)dR3. Часто это уравнение не может быть разрешено относительно y', например

(x+y')*(y-y')=0: y'1=-x, y2'=y

Задача Коши. F(x,y,y')=0 y(x0)=y0

y'(x0)=y'0– задаётся не произвольно, F(x0,y0,y'0)=0 ТСЕ. Дана задача Коши.

F(x,y,p) определена в некоторой области Ω 0 R3. F(x,y,p)0 C1(Ω)

F(x0,y0,y'0)=0

∂F/∂p ≠0(на Ω ), то задача Коши имеет единственное решение.

(Другой вариант:

1) F(x,y,y’) непрерывна по всем аргументам

2) производная dF/Dy’ › и ≠ 0

3) › ограниченная производная dF/Dy)

Метод введения параметра: F(x,y,y')=0. F(x,y,P)=0 u,v→x=φ(u,v), y=ψ(u,v), P=æ(u,v).

Кроме того dy=pdx, dψ=P dφ→ (пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, P=æ(u,v))→

∂φ/∂u du+∂ψ/∂v dv = æ(u,v)*(∂φ/∂u du+∂φ/∂v dv),

пусть u– искомая функция, v-независимая переменная.

du/dv=[æ*∂φ/∂v–∂ψ/∂v] / [∂ψ/∂u-æ*∂φ/∂u] Получаем: u=f(v,C)

x=φ(u,f(u,C)) y=ψ(u,f(u,C))

Если исходное уравнение можно разрешить относительно y: y=f(x,y’) то

1)Ввести параметр p=y’, получаем y=f(x,p) (1), dy=p dx

Требуется получить x(p). 2)Продифференцировать уравнение (1) (df/dx –p)dx + df/dp dp = 0,

3)если решение этого уравнения имеет вид x=φ(p, C) то решение исходного уравнения запишется в параметрической форме x=φ(p,C), y=f(φ(p,C),p).

Аналогично если исходное уравнение можно разрешить относительно x: x=g(y,y’) то dy=pdx (p dg/dy –1)dy+p dg/dp dp =0 , p=u(y,C)-решение

Ответ: x=g(y,u(y,C).

9. Уравнения Лагранжа и Клеро.

Уравнение Лагранжа. y= x f(y’)+ φ(y’), если f(y')≡y', то это уравнение Клеро.

1)Ввести параметр p=y’. Тогда dy=pdx, y=x f(p)+φ(p)(1) 2)Продифференцировать (1) по x

p=f(p)+x df(p)/dp dp/dx+dφ(p)/dp dp/dx (2) - (p-f(p))dx=x f '(p)dp+φ'(p)dp

∂x/∂p=[f '(p) / p–f(p)] *x + φ(p) / p–f(p)

из него получается x(p,C), подставить в первое уравнение и получить y(p,C)

Получаем общее решение уравнения Лагранжа.

Неравенство Бесселя. Сумма квадратов коэффициентов Фурье не превосходит квадрат нормы. ∑αk2#||f||2 , по этой причине коэффициенты Фурье →0.

Замкнутая система функций. (Возможность разложения со сколь угодно малым отклонением) œ ε >0 › С1,...Сn

таких что ||∑Ck φk-f||<ε .

Неравенство Бесселя превращается в равенство Парсеваля. ∑αk2=||f||2

œ ε › N:ε >||∑Ck φk-f||$(по следствию из доказательства теоремы об экстремальном свойстве частичных сумм ряда Фурье ) $||f||2-∑αk2

Равенство Парсеваля для тригонометрического ряда на [-π,π].

a02/2+∑(ak2+bk2)=1/π ∫ f2(x)dx

37. Признак абсолютной и равномерной сходимости тригонометрического Фурье.

Достаточное условие равномерной сходимости тригонометрического ряда.

f(π)=f(-π), f(x)0 C1(кусочно-гладкая) тогда ТРФ сходится абсолютно и равномерно на [-π,π] к f(x)

Доказательство. Покажем, что a0/2+∑|akcoskx|+|bksin kx| сходится равномерно. Это следует по признаку Вейштрасса из сходимости

∑|ak|+|bk|. Пусть αk, βk– коэффициенты разложения f ' При почленном интегрировании ряда f' можно

показать, что |ak|+|bk| =|αk|/k+|βk|/k, 2*αk*1/k≤(αk2+1/k2), 2*βk*1/k≤(βk2+1/k2), ∑(αk2+βk2)

сходится по равенству Парсеваля, ∑1/k2–по интегральному признаку.

38. Теорема о поточечной сходимости тригонометрического ряда Фурье.

Класс Гёльдера Сα [a,b] :›M>0: œ x1,x20 [a,b]→

|f(x1)-f(x2)|<M*|x1-x2|α .

Лемма Римана. φ(t)–интегрируема по Риману. Утверждается, что lim λ→∞∫ φ(t)sin λt =0 Теорема: f(x)–кусочно-Гёльдерова.

f(x)0 QL2[-π,π], периодически продолжена на всю числовую прямую. œx 0 [-π,π] ТРФ в этой точке сходится к [f(x0-0)+f(x0+0)]/2

Доказательство. В некоторой δ

окрестности x0 f(x) не имеет разрывов, кроме точки x0, в которой разрыв может быть , а может и не быть. В обеих полуокрестностях (x0-δ;x0) и

(x0;x0+δ)

N ая частичная

	сумма ряда Фурье,
	как было доказано
	ранее, выражается
	такπ
	Sn=∫ f(x+t)Dn(t)dt,
ядро Дирихле	-π
	n

Dn(t)=1/2 + ∑ cos kt = =sin[(n+ 1/2)t] /2sin t/2,

про ядро Дирихле также известно, что его ∫ от -π до π =π

|Sn(x0)-f*(x0)|=|1/π ∫π	f(x0+t)Dn(t)dt–
-π
–f*(x) 1/π-ππ∫Dn(t)dt |=разобьём этот интеграл на

сумму трёх интегралов.
I1: от 0 до δ, I2: от –δ до 0
I3 :от -π до π , но на (–δ; δ) функцию
заменим 0. Покажем, что увеличивая N эти
интегралы можно сделать сколь угодно малыми.
I1≤1/π ∫ [f(x+t)–f(x+0)]sin (n+1/2)t / 2 sin t/2 dt≤
δ	из определения класса Гёльдера≤
1/π ∫Mtα /	2sin t/2 dt=M/2 ∫ t/2 / sin t/2 tα /t dt≤
воспользуемся тем, что x / sin x на участке
(0,π/2] достигает максимума в π/2 , который
равен π/2. ≤M/2 ∫ tα-1, он сходится→согласно
критерию Коши о несобственном интеграле
можно подобрать такое δ*<δ что данный
интеграл меньше любого заранее заданного
положительного числа.
I2–аналогично. I3–согласно лемме Римана
можно подобрать N такое, что |I3| будет меньше
наперёд заданного положительного числа.amen.
39. Свойства преобразования Фурье.
Преобразование Фурье. Если функция
непериодическая, её интеграл абсолютно
сходится, то для неё определён образ Фурье.
g(λ)=1//2π ∞∫ f(t)e-i λtdt , f(x)=1//2π ∫∞g(λ)ei λtdt
-∞	-∞

По косинусам. ∞ g(λ)=/(2/π) ∫ f(t)cos λt dt ,

0

1)|ei λ t|=1, |∫f(x) e-i λxdx |≤∫|f(x)|*| e-i λx|dx →образ сходится равномерно по признаку Вейштрасса.

2)Непрерывность образа: e-i λx–непрерывна по λ, cходимость интеграла по λ – равномерная, по теореме про интеграл, зависящий от параметра образ непрерывен.

3)Образ при λ→"∞ стремится к 0.

Разобьём инеграл на три части.

(-∞; -R), (-R; R), (R;∞). R возьмём таким, чтобы при œλ сумма крайних интегралов была меньше ε/2. Про центральный интеграл можно вспомнить лемму Римана.

40. Разложение функции в точке в интеграл Фурье.

Допустим, что на любом промежутке [-l; l] f(x) можно разложить в ряд Фурье, кроме того интеграл f(x) абсолютно сходится на всей числовой

прямой. Разложение на (-l; l)

f(x)= (a0/2 +∞∑(akcos πkx/l + bk sin πkx/l)
k=1	ak=1/l-l∫l
a0=1/l -l∫lf(x) dx		f(x)cos πkx/l dx
bk=1/l -∫ll f(x)sin πkx/l dx
→f(x)=1/2l	∫l f(t)dt +
∞	-l
		cos kπ/l t dt+
+∑1/l ∫ f(t)cos kπ/l x
k=1

33.Основная лемма вариационного исчисления для функций зависящих от двух переменных.

Если f(x,y)0 C(Ω) и ∫∫Ω f(x,y)g(x,y)dxdy=0 для œ g(x,y)0 C1(Ω), то f(x,y)≡0(Ω)

Доказательство. Допустим, что в некоторой точке f(x0,y0)=m≠0, допустим m>0, в силу непрерывности f(x,y) в некоторой r окрестности точки (x0,y0) (круг,

радиуса r) f(x,y)>m/2. Пусть

g(x,y)=[ r2-(x-x0)2-(y-y0)2] (=-ρ2[(x,y),(x0,y0)]+r2)0 C1 ,

для точек точка внутри окрестности, 0–для остальных точек. ∫∫Ω f(x,y)g(x,y)dxdy>m/2 *πr2>0.

34.Вариационная задача для функционала, зависящего от функции нескольких переменных, уравнение Эйлера-Остроградского.

Уравнение Эйлера-Остроградского для функционала, зависящего от функции двух переменных.

J[z]=∫∫G F(x,y,z(x,y),z’x,z’y)dxdy

G- квадрируемая область.

Рассматраваемый класс функцийдважды непрерывно дифференцируемые, закреплены на границе области G.

Теорема. F 0 C2(G), J достигает экстремума на z,

тогда F’z-∂/∂x F’∂z/∂x-∂/∂y F’∂z/dy=0

Доказательство.

δJ[z]=δ/δt ∫∫F(x,y,z+t δz,...,z’y+t δz’y)dx dy|t=0 = ∫∫(F’zδz+ F’∂z/∂xδz’x+ F’∂z/∂yδz’y)dx dy=

Вариация z на границе области равна 0.

По правилу дифференцирования

произведения функций

∂δz/∂x=∂/∂x(δz*F’∂z/∂x)–∂/∂x(F’∂z/∂x)δz ∂δz/∂y=∂/∂y(δz*F’∂z/∂y)–∂/∂y(F’∂z/∂y)δz, Кроме того: ∂/∂x(F’∂z/∂x)=∂2F/∂x∂p ,

∂/∂y(F’∂z/∂y)=∂2F/∂y∂q где p=∂z/∂x, q=∂z/∂y.

По этому δJ[z]=∫∫(F'zδz-∂2F/∂x∂p δz-∂2F/∂y∂q δz)+ +∫∫∂/∂x (δz*(∂F/∂p)–∂/∂y(– δz*(∂F/∂q) dxdy = =(второе слагаемое можно преобразовать по

формуле Грина, δz можно вынести за криволинейный интеграл по границе, но на границе δz=0),

по необходимому условию экстремума функцианала δJ[z]=0→первое слагаемое равно нулю, независимо от δz, согласно основной лемме вариационного исчисления

получаем то, что требовалось доказать.

Часный случай. J[z]=∫∫ [(∂z/∂x)2+(∂z/∂y)2]dxdy

Уравнение Эйлера Остроградского: ∂2z/∂x2+∂2z/∂y2=0–уравнение Лапласа.

Ряды Фурье.

Дополнительный параграф. Линейное пространство:

Для любых элементов существует сумма. Любой элемент можно умножать на число. x+y=y+x, (x+y)+z=x+(y+z), 1*x=x

Существует нулевой и противоположный элемент. x+0=x, x+(-x)=0

k(mx)=(km)x

(k+m)x=kx+mx

k(x+y)=kx+ky

В евклидовом пространстве есть правило, ставящая в соответствие любым двум элементам их скалярное произведение.

(x,y)=(y,x)

(x, y+z)=(x,y)+(x,z) (kx,y)=k(x,y)

(x,x)$0, (x,x)=0↔x=0

Q-пространство кусочно-гладких непрерывных функций на <a,b>.

1)Скалярное произведения. (f,f)$0, если (f,f)=0→f=0. (f,g)=(g,f)

(k f,g)=k(f,g)

Введён закон скалярного произведения

(f,g)=∫ f(x) g(x)dx

Ортогональность элементовравенство скалярного произведения 0.

Неравенство Коши-Буняковского. (f,g)2#(f,f)(g,g)

∫ f(x)g(x)dx≤/∫ f2(x)dx */ ∫ g2(x)dx Норма. ||f||=/(f,f)

||f||$0

||k f||=k ||f|| ||f+g||#||f||+||g||

Отклонение элементовнорма их разности.

35. Ортонормированные системы функций в евклидовом пространстве. Ряд Фурье по ортонормированной системе функций. Экстремальное свойство частичных сумм ряда Фурье.

Ортонормированная система функций.

{φn} (φi,φj)= δ i,j

Рядом Фурье элемента f в ортонормированной системе функций {φn} называется ∑αk φk , где αk=(f, φk)

О чём идёт речь? Есть линейное пространство V, некоторый элемент этого пространства x, несколько попарно ортогональных элементов этого пространства e1,...,en, норма которых равна 1. Спрашивается: какая линейная комбинация этих элементов ближе всего к элементу x. V=L(e1,...,en)+L┴ (e1,...,en). x=ПРLx+ ПРL┴ x

Наилучшим таким приближением оказывается ПРLx. Nая Частичная сумма ряда ∑Ck φk имеет наименьшее отклонение от f если С= αk=(f, φk)

Доказательство. Рассмотрим квадрат нормы разности функций.=( ∑nCk φk -f, ∑nCk φk -f)=

=∑Ck2-2∑Ck (f, φk)+||f||2= =∑Ck2-2∑Ck αk+∑αk2+||f||2–∑αk2 =

=∑( Ck - αk)2+ ||f||2 – ∑αk2

Следствие.

||∑Ck φk– f||2$||f||2-∑αk2 (1)

36. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля.

Тождество Бесселя. (если в (1) Сk=αk, то неравенство превращается в равенство) ||∑ αk φk– f||2=||f||2-∑αk2

	Все особые решения (если они ›) имеют вид		11. Дифференциальное уравнение n-го порядка:
	y=xf(po)+φ(po), где po –корень уравнения f(po)= po.		определение решения, постановка задачи Коши.
	Подстановка y в уравнение даёт		Методы понижения порядка.
	xp0+φ(p0)=x f(p0)+φ(p0)→xp0=xp0.		F(x,y,...,y(n)), в области Ф 0 Rn+2.
	Для проверки, является ли оно особым надо		F(x,y,...,y(n))=0 обыкновенное дифференциальное
	1)Подставив его в уравнение, выяснить, является ли
	оно решением.		уравнение n го порядка относительно y=y(x).
	2)Проверить нарушение единственности. Для того,		Частный случай- y(n)= f(x,y,...,y(n-1)),
	чтобы решение было особым – она должна		f опреденлена на G 0 Rn+1–оду в нормальной
	нарушаться во всех точках. То есть для каждой точки		форме.
	особого решения существует некоторое решение y,
			y=φ(x)- решение, если 1) φ(x)-0 Cn<a,b>
	такое что y(x) = yособ.(x)
	y'(x) = yособ.'(x)		2)œ x 0 <a,b> (ПрхФ) точка (x,φ ,...,φ(n))0 Ф
	Уравнение Клеро.(Ищенко Артём)		3)При подстановке φ(x) в уравнениеполучается
	y=xy’+φ( y' ) (1)
			тождество.
	p=y’
			Задача Коши– нахождение интегральной кривой
	dy=pdx=p dx+x dp+φ'pdp
			φ(x) (частного решения), удовлетворяющего
	[x+φ’p(p)]dp=0 →p=const или x+φ’p(p)=0
			дополнительным условиям: заданы
	Общее решение: y=Cx+ φ(C)
			φ(x0),...производные в этой точке до n-1.
	Особое решение: (если φ’(p) ≠const) :
	x=- φ’(p), y=- φ’(p)p+ φ(p)		y(n)=f(x,y,...,y(n-1))
	10. Понятие особого решения, методы его
	нахождения.		y(x0)=y0
			. .. ... .. ... ..
	y'=f(x,y)
		2	y(n-1)(x0)=y0n-1
	ТСЕ(лекция) f(x,y)0 C(Ω) Ω d R		Общее решение: y=φ(x,c↓), с↓–параметр, φ(x,c↓)–
	∂f/∂y 0 C(Ω)
			решение, любое решение можно представить в этом
	f и ∂f/∂y–ограничены на Ω.		виде.
	œ (x0,yo)0 Ω ›h>0, такое что œ x 0 [x0-h, x0+h]		F(x,y(k) ,...,y(n))=0.
	›! решение задачи Коши y'=f(x,y)		Взять за новую функцию низшую из производных.
		y(x0)=y0	Должно (на контрольной) получиться уравнение
	Особым решением называется решение, через		первого порядка z(x)=y(k)(x), z’(x)=y(k+1)(x).Если при
	каждую точку которого проходит по крайней мере ещё		решении этого уравнения его приходится на что-то
	одно решение, отличное от него.
			делить, то подставлять нули делителя в исходное
	Ищем множество, где ∂f/∂y=∞. Если это некоторая
			уравнение. Получить решение нового уравнения в
	кривая, то проверяем, является ли это множество		явном виде: z(x,C1). Затем взять интеграл ∫z(x,C1)dx,
	решением.
			не забывая про константу. Возможно, что для разных
	Для уравнения, не разрешённого относительно
			С он берётся по разному - придётся рассматривать
	производной.
			несколько случаев. При интегрировании
	F(x,y,y')=0, y'=f(x,y)– одна из ветвей неявно
			рациональных функций С может влиять на степень
	заданной функции. y'=p		знаменателя, если знаменатель вида x2+C, то
	Предположим, что ›	непрерывные частные	рассмотреть случаи С=0, С=-C12<0, С=C22>0.
	производные F по p и у.		F(y,y' ,...,y(n))=0.
	По теореме о неявно заданной функции, если		Взять за новую независимую переменную y, новой
	∂F/∂y'≠0, то ∂f/∂y=-[∂F/∂y]/[∂F/∂p]≠0
			функцией будет y’=p(y).
	Неободимое условие особого решения ∂f/∂y=∞,
			y’’=dy’/dx=dp(y)/dy*dy/dx=р. y’=p*p’y.
	оно может быть выполнено только тогда, когда
	∂F/∂p=0,		Если уравнение однородно относительно y и её
	F(x,y,p)=0		производных, то есть при замене y на ky, y’ на ky’ и
	∂F/∂P=0		т.д. получается уравнение, равносильное исходному,
			то сделать замену y’=yz, y’’=y’z+yz’, z(x)-новая
	Как нибудь исключив po находим связь Ф(x,y)=0.-		неизвестная функция.
	это р-дискриминантная кривая. Она может иметь		12. Линейное дифференциальное уравнение п-го
	несколько ветвей.		порядка. Однородные линейные уравнения: свойства
	Для нахождения особых решений надо:		решений.
	1)Найти р-дискриминантную кривую		y(n)+a1y(n-1)+...+any=f(x)
	2)Подставить каждую её ветвь в уравнение.		однородное: y(n)+a1y(n-1)+...+any=0
	3)Проверить нарушение единственности.		Множество решений однородного уравнения–
	Огибающая семейства кривых.
	Ф(x,y,C)=0–общее решение уравнения F(x,y,y')=0		линейное пространство размерности n. Общим
	Кривая L называется огибающей семейства		решением является линейная комбинация n линейно
	кривых Ф(x,y,C)=0 (каждому параметру соответствует
			независимых решений. Отмазка–рассказать про
	кривая), если каждый участок L имеет бесконечное
	число (по крайней мере одну) точек касания с		связь с системами:
	кривыми этого семейства. Огибающая кривая
	является особым решением.

y(x)	0
y↓= ........	f↓= 0
y(n-1)(x)	f

y'=Ay↓+f↓

13. Определитель Вронского системы функций, линейная зависимость (независимость) произвольной системы функций и системы решений. Теорема Лиувилля.

y1(x) y2(x).....yn(x) W(y1(x),y2(x),...,yn(x))=det y1’(x)...............

y1(n-1) (x) ...yn(n-1)(x)

То есть из числовых функций делают векторные, дополняя их производыми.

Лемма: Система числовых функций и система вектор функций линейно зависимы одновременно.

Теорема. Для линейной независимости n решений
уравнения Ly=0 необходимо œ t 0 <a,b> W(t) ≠ 0 и
достаточно › t0 0 <a,b>	W(t0) ≠ 0.
Формула Лиувилля.
W(x)=W(x0)e -∫ a1(z)dz	Рассказать про

эквивалентность уравнения и системы и формулу для системы.

16. Метод вариации постоянных, случай неоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.

y(n)+a1y(n-1)+...+any=f(x)

1) Найти общее решение однородного уравнения. yобщ.=С1y1+...+Сnyn

2) Для поиска общего решения неоднородного уравнения, произвольные константы будем считать зависящими от независимой переменной. С1(х)....

Решение ищем в виде y=С1(х)y1+...+Cn(x)yn

Составляем систему уравнений (для обоснования поминуть про эквивалентную систему)

y1C1’+.... ynCn’=0 y1’ C1’+.... yn’Cn’= 0

............

y1 ( n-1) C1’+.... yn (n-1) Cn’= f

Из этой системы находим C1’,..., Cn’.

Затем с помощью интегрирования находятся C1,..., Cn. Если при интегрировании прибавлять константы, то получится общее решение неоднородного уравнения, для нахождения частного

решенияконстанты не нужны. Уравнения со специальной правой частью.

f(x)= f = eαt(Pn(x)cos(βt)+Qm sin(βt)).

Обозначим: c=max(m,n), s-кратность корня

α+βi характеристического уравнения или 0, если α+βi не корень.

Частное решение ищется методом неопределённых коэффициентов в виде

y= xseαt(Nc(t)cos(βt)+Mc sin(βt)),

M, N- полиномы с неопределёнными коэффициентами, степени, не большей с.

Все коэффициенты полиномов обозначить буквами и подставить такое решение в уравнение. После этого можно получить систему линейных уравнений, из которой и находятся коэффициенты полиномов.

17. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Каноническая и нормальная формы системы, порядок системы, решение системы. Сведение канонической системы к нормальной. Постановка задачи Коши для системы.

Fi(x,y1,y'1...,y1m1, ...............,yn,...,ynmn), i=1...n,

относительно y1,...,yn. Fi определена на

Ω d Rm1+...+mn .

Порядок N=m1+...+mn., mi- порядок по yi , Система может быть разрешена относительно

старших производных:

dmiyi/dxmi=fi(x, y1,...,y(mi–1),y2,...,yn,..,yn(mn-1)), i=1..n

Любая такая система может быть сведена к эквивалентной системе, разрешённой относительно первых производных (нормальной системе).

yi'=fi(x,y1,....,yk) fi определены на Ω d Rn+1

Для этого вводят новые независимые переменные.

Для одного уравнения: yn=f(x,y,...,y(n-1))

Вводим новые переменные: y1=(вместо)y',...,yn-1=y(n-1)

Система имеет вид: y1=y',

y2=y1',

........

yn=yn-1' yn'=f(x,y1,....yn)

Решением нормальной системы называется упорядоченный набор функций φi, которые определены и дифференцируемы, где надо, {x, φ1(x),...,φn(x)}0 Ω , при подстановке в систему получается тождество, общим решением называется

набор φi(x,C↓), такое, что при любом С↓ получается решение и любое решение может быть представлено в этом виде.

Векторная форма нормальной системы ОДУ: dy↓/dt=f↓(x,y↓);задача Коши: y↓(x0)=yo↓.

Доказательство. δJ[y]=J[ y + δy ] - J[ y ].

|t|<1, y+t δy 0 Ak.(см. опр. ест. класса).

Рассмотрим производную функционала по направлению δy.

∆J[y]=J[ y+ t δy ] - J[y]=L[ y,t δy] + β(y,tdy) || t δy||1.

(L - линейна по t δy, β →0 при t→0)=(выносим t)= t(L[y,δy] +sign t β(y,t δy)||δy||1). Отсюда вариация

функции пропорциональна t, при смене знака t она должна сменить знак, но ∆[y]- неотрицательна (при min) или неположительна ( при max). Короче если она не равна 0 – получим противоречие.

29. Основная лемма вариационного исчисления.

Если для любой g(x)0 C1[a,b], g(a)=g(b)=0 ∫ f(x)g(x)dx=0, f(x)0 C[a,b], то f(x)≡0.

Доказательство. Короче если f(x0)=m≠0, то в δ окрестности x0 f(x)$m/2. Рассмотреть

g(x)=(x-x0+δ)2(x-x0-δ)2 , за пределами [х0-δ,x0+δ] g(x)=0. Показать g 0 C1,

|∫ f(x)g(x)dx |$m/2 ∫x0-δ g(x)dx >0

30. Задача с закреплёнными концами для простейшего функционала, уравнение Эйлера.

Лемма Дюбая-Раймона. Если для любой g(x)0

C1[a,b], g(a)=g(b)=0, ∫ f(x)g’(x)dx=0, f(x)0 C[a,b], то f(x)≡const. Корочепочти предыдущая лемма, но интеграл g(x)=0.

Доказательство. Короче ›N :на

[x1,x1+π/N] f(x)$y1, на [x2,x2+π/N] f(x)#y2,

и [x1,x1+π/N]1 [x2,x2+π/N]={O} g’(x)=sin2 N(x-x1), g’(x)=-sin2 N(x-x2). J[y]=∫ F(x,y,y’)dx

A1={y 0 C1[a,b], y(a)=A,y(b)=B} ∂y(a)=∂y(b)=0

Теорема. F(x,y,y’)0 C2(Ω) Ω 0 R3x.,y,y’

Тогда если J[y] достигает экстремума, на y то она удовлетворяет уравнению F’y-d/dx F’y’(x,y,y’)=0 и если

F”y ’y ’≠0 то y 0 C2

Доказательство. Первая вариация равна 0 из необходимого условия экстремума.

δJ[y]= ∫b {F’y(x,y,y’)δy+F’y’(x,y,y’) δy’}dx=0

a x

введём N(x)=∫aF’y(t,y(t),y’(t)) dt→ F’(y)=dN(x)/dx

δJ[y]=∫ (dN/dx δy) dx+∫ F’y’δy’dx=(первый интеграл берётся по частям, подстановка δyN(x)

на концах, в силу условия постоянства функций на концах, даёт 0, всё остальное объединяем в один интеграл)

=∫ (-N(x)+F’y’)δy’ dx=0, по лемме Дюбая-

Раймона –(N(x)+F’y’)=C, N(x)-это интеграл непрерывно-дифференциуемой функции и

0 C2 [a,b]→F’y’0 C2[a,b]. Теперь берём производную по x

F ’y – ∂/∂x F’y ’ =0→

F’y-(F”y’x+F”y’yy’+F”y ’y’y”)=0

Предположим, что F”y’y ’≠0 ,тогда из этого равенства можно выразить y”.

31. Задача с закреплёнными концами для функционала, зависящего от нескольких функций, система уравнений Эйлера.

J[y]=∫ F(x,y↓,y↓’)dx

A1={yi 0 C1[a,b], на концах функции фиксированы}

Теорема. F(x,y ↓,y’↓)0 C2(Ω) Ω 0 R2n+1x.,y↓,y’↓

Тогда если J[y] достигает экстремума, на y то она удовлетворяет уравнению F’yk-d/dx F’yk’(x,y,y’)=0 Доказательство.

Зафиксируем все функции кроме k той,

∆ J[y↓]=J[y1,y2...,yk+δyk,...,yn]-J[y↓]

По предыдущей теореме F’yk-d/dx F’y’k=0 œ k 0 1...n

32. Задача с закреплёнными концами для функционала с высшими производными, уравнение Эйлера-Пуассона.

J[y]=∫ F(x,y,...y(n))dx

A2n={y(x)0 C2[a,b] и y,...y(n-1) на концах фиксированы}

Если на y достигается экстремум, то

F’y-d/dx F’y’+d2/dx2F’y”-...+(-1)ndn/dxnF’y(n)=0

Доказательство.

δJ[y]=∂/∂t ∫ F(x,y+t δy,...,y(n)+t δy(n))dx|t=0= =∫ F’yδy dx +...+∫ F’y(n)δy(n)dx=0

По очереди, начиная со второго слагаемого будем
интегрировать по частям (∫u dv=uv - ∫ v du) ,
подстановка концов в слагаемое uv будет давать 0,
так как все производные на концах закреплены,
каждое интегрирование меняет знак.
Последнее слагаемое: b		b
∫ F’y(n)δy(n)dx=δ y(n-1)F’y(n)|	a	-∫ d/dx F’y(n) d/dx δyn-2dx=
		a

+∫ d/dx (d/dx F’y(n))d/dx δyn-3dx=...= =(-1)n-2∫ dn/dxnF’y(n)δy dx

Следовательно δJ[y]=∫ (F’y-d/dx F’y’+d2/dx2F”y”+...

+(-1)ndn/dxnF’y(n))δy dx, согласно основной лемме вариационного исчисления теорема доказана.

В этом пространстве вводим интегральный оператор A, Ay↓=y0+∫ f(τ,y↓(τ))dτ. Покажем, что он сжимающий.

1)A отображает шар радиуса b в себя.

||Ay-y0||=||∫ f(τ,y↓(τ))dτ||#| ∫| f(τ,y↓(τ) )| dτ | #

#M|t-t0|#MH<(так как H<b/m). (короче из ограниченности производной)

2)рассмотрим два произвольных y1,y2 из шара.

||Ay1-Ay2||=|| ∫ f↓(τ ,y1↓(τ) )- f↓(τ ,y2↓(τ) )dτ||#

#| ∫ || нормы этой фигни по нер. т-ка || dτ |#

=q||y1-y2||<qH||y1-y2||. H<1/q(см. условие) и
поэтому оператор сжимающий.
То, что решение непрерывно-дифференцируемо,
следует из теоремы про интеграл с переменным
верхним пределом.
Непрерывная зависимость решения задачи
Коши от параметра.
µ –векторный или числовой параметр, всё остальное-
почти как в ТСЕ.
y’=f↓(t0,y↓,µ ), f↓(t0,y↓,µ )0 С(Ω) (1)-непрерывна.
y0(x0)=y0	Ω 0 Rt+Ry+Rµ, |µ-µ0|<α.
по условию липшица#| ∫ q ||y1(τ) – y2(τ)|| d τ | =

Постоянная условия Липшица не зависит от параметра µ. Для œ(t0,y0↓, µ0)0 Ω

œ P(прямоугольник){|t-t0|<a, ||y↓-y0↓||#b, ||µ0-µ|<α}

существует единственное решение задачи Коши Y↓(t0,y,µ) и это решение непрерывно по µ↓ в области

D={ (t,µ ): |t-t0|#H= min(a, b/m,1/q ),||µ0-µ|<α }

Доказательство.

Эквивалентное интегральное уравнение.

y↓(t,µ)=y0↓(µ)+∫ f(τ,y↓( t,µ),µ) dτ(2). Как в ТСЕ вводится сжимающий оператор. Непрерывность решения следует из (далее по Эльстгольцу).

Последовательные приближения являются непрерывными функциями по x и µ, сходятся равномерно.

Непрерывная зависимость решения от начальных условий.

Дана задача Коши: y’=f↓(t,y), y↓(t0)=y0↓(1)

f 0 C(Ω) Ω 0 Rn+1 и удовлетворяет условию Липшица по Y↓. Тогда решение задачи Коши непрерывно зависит от начальных условий (t0,y0↓).

Доказательство. Сведём эту теорему к предыдущей. Введём параметр t=τ +t0 и новую функцию y↓(t)=x↓(τ)+y0↓. Теперь подставим в (1).

dx↓/dτ=F( τ,y↓,t0,y0), x↓(0)=0↓ (2).

Теперь пусть µ =(t0,y0). Из предыдущей теоремы следует что требуется доказать.

Вариационное исчисление.

28. Понятие функционала. Необходимое условие экстремума функционала.

Отображение линейного пространства в действительные числаэто линейный функционал. J: V→R(G).

example. J[y↓]=∫F(x,y↓,y’↓,...,y(n)↓).

Приращение(вариация) функции

δy=yфиксир-yпроизв. Пространство далее рассматриваемых функций –к раз непрерывно

дифференцируемых на [a,b].d/dx δy= y’фик.-y’пр.

k тая норма функциимаксимальное значение, принимаемое ей и её производными до к (включит.)

||y||k=max0#i#kmaxx 0[a,b]|y(i)(x)|

к -тое Расстояние- к-тая норма разности функций. ρk(y1,y2)=|| y1-y2||k.

k той ε окрестностью функции y0 называется множество функций y : ρk(y0,y)<ε.

Вариация функционала. J[y]: ∆J[y]=J[y+δy]-J[y].

Если приращение функционала представимо в виде:

δJ=L[y,δy]+0(||δy||1), L-линейный функционал по

δy, то вариацией функционала называется L[y,δy]. Теорема о нахождении вариации.

J[y]=∫ F(x,y,y’), F 0 C1(Ω),Ω 0 Rx Ry Ry’.

Тогда функционал имеет вариацию, и

δJ[y]= ∫ {F’y(x,y,y’)δy+F’y’(x,y,y’)δy’}dx

Естественный класс функций. Экстремум функционала.

Естественный класс функций. Ak. 0 Ck и центр масс двух функций с œ неотрицательными весовыми коэффициентами– 0Ak.

Изолированная функция- функция,

принадлежащая М и не имеющая в некоторой окрестности функций этого множества.

Вариация δy функции y из Ак называется

допустимой, если y+δy 0 Ак.

J[y] определён на Ak 0 Сk[a,b].

Он достигает экстремума на функции y00 Ak,

если › окрестность 1(для слабого) или 0 (для сильного экстремума) порядка, такая что œ y из окрестности выполняется

J[y0] <(строгий min),>,#,$(нестрогий max)J[y].

Если достигается сильный экстремум, то достигается слабый экстремум.

Необходимые условия слабого экстремума функционала.

J[y] определена на Ak 0 Сk[a,b] и достигает экстремума на y0. Тогда первая вариация функционала δJ[y]=0.

18. Линейные однородные системы: свойства решений.

Линейной системой дифференциальных уравнений

называется система уравнений в которые неизвестные функции и их производные входят линейно.

y1'(x)=a11(x)y1(x)+...+a1n(x)yn

...........................................

yn'(x)=an1(x)y1(x)+...+ann(x)yn dy↓/dx=A(x)y↓

dydx − Ay 0

Определим линейный оператор L(y)=dy/dx –Ay. Однородную систему можно записать L(y)=0. Основная теорема: множество решений линейной однородной системы представляет линейное пространство размерности n.

Теорема:линейная комбинация решений однородной системыявляется решением.

Определение: система вектор функций числового аргумента x является линейно зависимой если их некоторая нетривиальная линейная комбинация обращается в 0 при любом x.

Лемма: n+1 решение: линейнозависимы.

Пусть даны n+1 решений. y1↓ ,..., yn+1↓.

Рассмотрим y1↓(x0) ,..., yn+1↓(x0). Все эти вектора принадлежат пространству

размерности n, а значит линейно зависимы→Некотарая их нетривисльная линейная комбинация a1y1(x0)+...+an+1yn+1(x0) = 0↓ .

Рассмотрим линейную комбинацию a1y1+...+an+1yn+1 и задачу Коши y↓(x0)=0↓

Единственным решением данной задачи

Коши будет даная линейная комбинация.

Лемма: размерность пространства не меньше n.

Рассмотрим n задач Коши. y(x0)=y1, y2,...,yn

y1↓ ,...yn↓ – линейно независимы.→решения этих задач Коши также линейно независимы. n линейно независимых решений образуют

ФСР.

Теорема об общем решении: общим решением однородной системы является линейная комбинация n линейно независимых решений.

Фундаментальная матрица. Y(x)=(y1↓(x) ,...,yn↓(x) )

det (Y)≠0, Y'(x)=AY(x), yобщ=Y(x)C↓, C↓-произвольная матрица n*1.

19. Определитель Вронского системы векторфункций, линейная зависимость (независимость) произвольной системы вектор-функций и системы решений.

Если y1(x) ,y2(x), ...,yn(x)- линейно зависимы, то W(x)=0 œx из области определения.

Теорема: если для n решений y1 ,y2, ...,yn однородной системы с непрерывными на отрезке [AB] коэффициентами определитель Вронского в некоторой точке X равен 0 , то он везде равен 0. Доказательство:

1 мысль. Так как коэффициенты непрерывнысистема удовлетворяет условиям ТСЕ.

2 мысль: из W=0 →› C1,C2, ...,Cn, одновременно не равные 0 такие, что

C1 y1(X)+C2 y2(X)+ ...+Cn yn(X)=0.

Решение C1 y1+C2 y2+ ...+Cn yn удовлетворяет начальным условиям тривиального решения однородной системы.

Теорема. Определитель Вронского может быть представлен в видеt

W(t)=W(to) *e ∫t0SpA(z)dz

где Sp- ∑диагональных элементов А. Доказательство : dW(t)/dt=

(по теореме о дифференцировании сложной функции нескольких переменных и так как Y'(x)=AY(x)).

=a11W+...annW=SpW,
dW/W=Spdt интегрируем уравнение с
разделяющимися переменными,
∫t	SpA(z)dz
W(t)=C *e t0	, C=W(t0).
20. Фундаментальная система решений (ФСР).
Теоремы о существовании фундаментальной
системы решений и построение
фундаментальной системы решений для систем
с постоянными коэффициентами.
Теорема об общем решении: общим решением
однородной системы является линейная комбинация
n линейно независимых решений.
Доказательство: 1)Любая линейная комбинация
решенийрешение.
2)Множество решений –линейное пространство
размерности n.
3)Любое решение представимо в виде линейной
комбинации ФСР. Коэффициенты можно найти из
начальных условий, сослаться на ТСЕ.
X’↓=An*nX↓.
Ищем решения в виде h↓e λt.
h↓ λ e λt= e	λt Ah↓→ λh↓ = Ah↓.

Это означает, что h↓ собственный вектор линейного оператора A, отвечающий собственному значению λ.

По второму семестру (A-λE)h↓=0, det(A-λE)=0–

условие существования нетривиального решения. Найти корни характеристического уравнения det(A-λE)=0. Это уравнение имеет n корней, с учётом кратности и включая комплексные.

Если все корни различны, то каждому корню соответствует свой собственный вектор hi↓.

ФСР: yi↓=hi↓*eλi*t, i=1..n

В прошлом семестре было доказано, что паре комплексно-сопряжённых корней характеристического уравнения соответствует пара комплексно–сопряжённых векторов. Кроме этого ea+bI =ea (cos b- i sin b). Каждую пару комплексных решений можно заменить на их полусумму и полуразность, делённую на i. Каждое такое преобразование невырожденное, но полученная таким образом ФСР состоит только из действительных решений. В случае кратных корней, когда геометрическая кратность совпадает с алгебраической, то строится ФСР (A-λE)h↓=0, и каждый вектор умножается на eλt. В случае, когда геометрическая кратность g меньше алгебраической

r, то x↓ ищется в виде

xi↓=hi↓eλt, i=1..g, xi+1=(γ0↓+γ1↓*t)eλt

..............
xr=(Pr-m↓(t)eλt
Вопрос длинный, так что разберём систему из трех
уравнений.
Если rang (A-λE)=2, то координаты собственного
вектора находятся:
1)находят пару непропорциональных строк.
2) координаты собственного вектора-
алгебраические дополнения к третьей строке.
Если rang (A-λE)=1, то есть все строки A-λE
пропорциональны,
первая строка –	a b c
Собственные вектора –
(-b a 0) и (-с, 0, a)		(если один из них нулевой-
заменить его на	(0	с -b) )

Характеристическое уравнение может иметь 1)Три действительных некратных корня.

2)Один действительный и пару комплексных корней.

Этой паре соответствует

Xp↓=Re eλpγp↓=

=eat(Re γ↓*cos bt + Im γ↓*sin bt). Xp+1↓=Im eλpγp↓=

=eat(Re γ↓*sin bt – Im γ↓*cos bt). 3)Пару действительных корней, один из них кратности 2.

Разберём случай, когда корню λ кратности 2 соответствует один собственный вектор γ↓. Запишем исходную систему в виде X↓’=AX↓ Первое решение: X1↓= γ↓eλt

Второе решение ищется в виде

X2↓=(β1↓t+β0↓)eλt, причём β1↓≠0↓. x2’↓=β1↓eλt +λ(β1↓t+β0↓)eλt= =eλt[(β1+λ β0)+λ β1t]

После подстановки X2↓ и X2’↓ в исходное уравнение

получим eλt[(β1+λβ0)+λ β1t]=(A β0↓+A β1t)eλt,

откуда получаем систему уравнений: t1 : A β1↓=λ β1↓

t0: A β0↓=λ β0↓+β1. →

→ β↓ –собственный вектор, отвечающий собственному значению λ. β1=γ↓. Подставляем его во второе уравнение.

(A-λE)β0↓= γ↓. Годится любое решение.

21. Неоднородные линейные системы: свойства решений, теорема об общем решении.

Принцип суперпозиции. Пусть y1(x)↓ –решение y'=Ay↓+f1↓(x) y2(x)↓ –решение y'=Ay↓+f2↓(x)

Тогда y=y1+y2 решение уравнения y'=Ay↓+f1↓(x)+ f2↓(x)

Доказательство: y'–Ay=y1'+y2'-Ay1-Ay2= =(y1–Ay1)+ (y2–Ay2)=f1+f2=f↓

Теорема об общем решении.

Общее решение представимо в виде суммы частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения.

Доказательство.

1)Подстановка в уравнения суммы некоторых частных решений уравнений y'=Ay↓+f1↓(x)

и y'=Ay↓ даёт решение. 2)Подстановка в однородное уравнение

разности частных решений y2-y1 даёт тождество. (y1-y2)'=(Ay2+f)–(Ay1+f)=0. y2=y1+(y2–y1)=некоторое заданное частное

решение–решение однородной системы, то есть представимо в нужном виде.

22. Метод вариации постоянных. y'↓ =Ay↓+f↓

1)Найти общее решение уравнения y'↓ =Ay y=Yn*nC↓, Y(t)–фундаментальная

матрица системы. Y'=AY, ›Y-1

2)пусть С=С(t)

Подставляем: y'↓=Y'c+YC' AYC+YC'=AYC+f

YC'↓=f↓,отсюда можно найти С'(t). Обычно это делается методом Крамера.

Но в общем виде С'↓=Y-1f↓ Интегрированием находим С(t). При

интегрировании берутся некоторые первообразные и подставляются в общее решение. y= Y(t)*C(t)+Y(t)*C↓

Всё про ТСЕ.(23–27)

Норма. Нормированное пространство. Полное пространство. Банахово пространство. Пространство, непрерывных на отрезке функций. Метрическое пространство.

Определение сходимости в линейном нормированном пространстве.

{un}-фундаментальна, если œ ε >0 ›N œ n>N и

œ P 0ù

||un+p-un||<ε . Линейное нормированное пространство называется полным если любая фундаментальная последовательность сходится к

элементу этого пространства. Полное линейное

нормированное пространство называется банаховым.

Пример банахового пространствамножество функций, непрерывных на отрезке с нормой – максимальное значение |f|. Сходимость по норме эквивалентна равномерной сходимости. Поэтому пространство непрерывных на отрезке функцийполное.

Покажем, что любая фундаментальная последовательностьсходится. Рассмотрим фундаментальную функциональную последовательность {yn}.

Из фундаментальности .... ||yn+p-yn||<ε. Выпишем определение РС к функции из этого пространства.

yn À y ↔ œ ε >0 › N(ε) œ n>N œ x0[a,b]

||yn(x) -y(x)||<ε ↔ Условие Коши РС. Следовательно y 0 C[a,b] →полнота→Банахово.

Множество элементов произвольной природы называется метрическим если каждой паре ставится в соответствие метрика ρ и

1) ρ(x,y)$0. 2) ρ(x,y)=0 ↔ x=y. 3)ρ(x,z)+ρ(z,y)$ρ(x,y)

Любое линейное нормированное пространство является метрическим.

21. Принцип сжимающих отображений.

Сжимающий оператор.1)Определён во всём пространстве. 2)Отображает пространство в себя. 3)›q<1 такое что ρ(Ax,Ay)#q ρ(x,y)- оператор уменьшает расстояние.

Точка x называется неподвижной точкой оператора А если Аx=х.

Теорема. У сжимающего оператора A (A: M→M), действующего в полном пространстве существует единственная неподвижная точка x, любая

последовательность xn=Axn-1, xo 0M. сходится к этой точке. ρ(x,xn)# ρ(xo,x1) qn/1-q

Доказательство:{xn}-фундаментальна.

ρ(xn,xn+1)#....#qn-1ρ(x1,x2)# qnρ(x0,x1). так как А

переводит x0,x1 в x1,x2 соответственно и т.д. Поэтому, пользуясь неравенством треугольника и формулой суммы бесконечноубывающей геометрической прогрессии сделаем оценку

ρ(xn,xn+p)#∑ρ (xk,xk+1)#

∑ qn+iρ(x0,x1)#дополним до беск.уб геом.прогр.# ρ(xo,x1) qn/1-q. Из сделанной оценки можно указать N(ε), начиная с которого ρ(xn,x)<ε.

N=[logq(ε(1-q)/ ρ(xo,x1). Покажем неподвижность точки lim xn=x.

ρ(Ax,xn+1)= ρ(Ax, Axn)#q ρ(x,xn) limn→∞ρ(Ax, xn)=ρ(Ax, x)<q ρ(x,x)=0

Единственность. Предположим, что › две неподвижные точки x и y. 0<ρ(x,y)<ρ(Ax,Ay)≤q ρ(x,y)<(так как q<1)<ρ(x,y)

Теорема существования и единственности для нормальных, не обязательно линейных систем, оду.

Дана система dy↓/dt=f↓(t,y↓) , y↓=(y1,...,yn) f↓(t,y↓) определена и непрерывна в Ω 0 Rt1 Ryn

(а значит ограничена некоторым числом m). f↓(t,y↓)0 ÷↓(Ω)

Условие Липшица. Для любых y1↓,y2↓ выполняется

||f(t,y1↓)- f(t,y2↓)||<q||y1↓-y2↓|| q- параметр Липшица. Для любых начальных условий (t0,y0↓) на области ›! y↓(t) определённая в области

(to-H; to+H), где H=min(a, b/m,1/q )

Комментарий. H<b/m для того чтобы решение (если оно существует, то

Это решение может быть получено методом последовательных приближений.

Итерационная последовательность.

yn↓=y0↓+∫t f↓(τ,yn-1(τ))dτ. При этом справедлива t0

оценка приближения ||yn-y||#αn/1-α ||y1-y0||, α=qH.

Доказательство.

Задача Коши эквивалентна интегральному уравнению.

функция y(x) является решением дифференциального уравнения в том и только том случае, когда y(x)-решение интегрального уравнения.

Пусть dy(x)/dx ≡f( x, y(x) ) в области D.

Проинтегрируем тождество от xo до х, учитывая y(to)=y0. Получим интегральное уравнение. Пусть y=φ(x)-решение интегрального уравнения в области D. Это уравнение можно продифференцировать по x.

Возьмём банахово пространство G↓1[to-H; to+H].

Bb(шар радиуса b )={y↓0 G↓1[to-H; to+H]:|||y-y0||<b}