Диффуры
.docФункциональные ряды
1. Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности и функционального ряда. Необходимый признак равномерной сходимости функционального ряда. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда.
2. Почленный переход к пределу в функциональной последовательности и функциональном ряде. Непрерывность в точке и на отрезке предельной функции функциональной последовательности и суммы функционального ряда.
3. Теорема Дини о равномерной сходимости монотонной последовательности непрерывных функций и знакоположительного ряда непрерывных функций.
4. Предельный переход под знаком интеграла в функциональной последовательности и почленное интегрирование функционального ряда. Предельный переход под знаком производной в функциональной последовательности и почленное дифференцирование функционального ряда.
5. Степенные ряды. Множество сходимости степенного ряда. Ряд Тейлора (Маклорена). Разложение функций ех, cos x, sin x, ln(l + х), (1 + х)а в ряд Тейлора (Маклорена).
6. Евклидово пространство. Ортогональные и ортонормированные системы в евклидовом пространстве. Ряды Фурье. Минимальное свойство коэффициентов Фурье. Неравенство Бесселя.
7. Базис в евклидовом пространстве. Критерии ортонормированного базиса. Равенство Парсеваля и обобщённое равенство Парсеваля. Почленное интегрирование ряда Фурье по ортонормированному базису в Q0L2[a,b].
8. Тригонометрические ряды Фурье. Ядро Дирихле. Лемма Римана. Поточечная сходимость тригонометрического ряда Фурье.
9. Равномерная сходимость тригонометрического ряда Фурье. Метод Фейера, ядро Фейера. Равномерная сходимость сумм Фейера.
10. Базисность тригонометрических систем в Q0L2[-п, п].
11. Интеграл Фурье. Представление регулярной функции интегралом Фурье. Преобразование Фурье. Косинус-преобразование Фурье и синус-преобразование Фурье.
Дифференциальные уравнения
1. Основные понятия, относящиеся к ОДУ 1-го порядка:
частное и общее решения, частный и общий интеграл, интегральные кривые.
Задача Коши и ее геометрический смысл. Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи Коши (ТСЕ) для ОДУ 1-го порядка.
2. Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним.
3. Линейное уравнение первого порядка и уравнение Бернули.
4. Уравнения в полных дифференциалах.
5. Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной. ТСЕ для таких уравнений.
6. Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной. Метод введения параметра. Уравнения Лагранжа и Клеро.
7. Особые решения ОДУ 1-го порядка, методы их нахождения.
8. Основные понятия относящиеся к нормальным системам ОДУ 1-го порядка: порядок системы, общее и частное решения, интегральная и фазовая кривые. Задача Коши, ее геометрический смысл. Формулировка ТСЕ.
9. ТСЕ для системы линейных ОДУ 1-го порядка (сведение к интегральному уравнению и доказательствово существования его решения).
10. ТСЕ для системы линейных ОДУ 1-го порядка (сведение к интегральному уравнению и доказательство единственности его решения).
11. Однородные и неоднородные системы линейных ОДУ 1-го порядка. Линейно зависимые (л.з) и линейно независимые (л.н.з.) системы вектор-функций. Свойство линейности решений однородной системы.
12. Теорема о линейной зависимости (n+1) решения линейной однородной системы.
13. Теорема о линейной независимости n решений линейной однородной системы. ФСР. Теорема об общем решении линейной однородной системы.
14. Фундаментальная матрица и ее свойства.
15. Определитель Вронского системы вектор-функций. Свойства вектор-функций и решений линейной однородной системы, связанные с равенством нулю определителя Вронского. Критерий л.н.з. решений линейной однородной системы.
16. Формула Лиувиля для определителя Вронского решений линейной однородной системы.
17. Неоднородные линейные системы ОДУ 1-го порядка. Теорема об общем решении. Теорема о частном решении. Принцип суперпозиции.
18. Линейные системы ОДУ 1-го порядка с комплексными коэффициентами. ТСЕ.
19. ФСР однородной системы линейных ОДУ с постоянными коэффициентами в случае простых собственных значений матрицы системы и в случае ее диагонализуемости.
20. Построение вещественной ФСР однородной системы линейных ОДУ с постоянными вещественными коэффициентами.
21. Сведение линейного ОДУ n-го порядка к системе линейных ОДУ 1-го порядка. Задача Коши для линейного ОДУ n-го порядка. ТСЕ.
22. Однородное линейное ОДУ n-го порядка. Свойства решений. ФСР. Теорема об общем решении.
23. Определитель Вронского системы функций. Свойства определителя Вронского решений однородного линейного ОДУ n-го порядка.
24. Неоднородное линейное ОДУ n-го порядка. Теорема
об общем решении. Метод вариации постоянных. Принцип суперпозиции.
25. ФСР однородного линейного ОДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами в случае простых корней характеристического уравнения.
26. ФСР однородного линейного ОДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами в случае кратных корней характеристического уравнения.
27. Построение вещественной ФСР однородного линейного ОДУ n-го порядка с постоянными вещественными коэффициентами.
29. Метрическое пространство. Утверждение о замкнутом шаре. Полнота пространства С[а,Ь].
30. Принцип сжимающих отображений.
31. Локальная ТСЕ для нелинейной системы ОДУ 1-го порядка.
32. Глобальная ТСЕ для нормальной системы ОДУ n-го порядка
33. ТСЕ для нелинейного ОДУ n-го порядка.
34. Непрерывная зависимость задачи Коши от начальных условий.
35. Основная лемма вариационного исчисления. Задача с закрепленными концами для простейшего функционала, уравнение Эйлера. Лемма Дюбуа-Раймона.
36. Функционалы на нормированных пространствах. Необходимое условие экстремума функционала.
37. Задача с закрепленными концами для функционала, зависящего от нескольких функций, система уравнений Эйлера.
38. Задача с закрепленными концами для функционала с высшими производными, уравнение Эйлера-Пуассона.
39. Основная лемма вариационного исчисления для функций, зависящих от двух переменных.
40. Вариационная задача для функционала, зависящего от функции нескольких переменных. Уравнение Эйлера-Остраградского.
41. Непрерывная зависимость решения задачи Коши от параметра.