Билеты по дифференциальным уравнениям

экзаменационные вопросы по курсу "обыкновенные дифференциальные уравнения(оду)"

1простейшие типы оду

1) понятие обыкновенного дифференциального уравнения,его порядок.Определение решения уравнения.Задача Коши.Частное и общее решение,частный и общий интеграл.Интегральные кривые.

2)интегрирование оду первого порядка с разделяющимися переменными и однородных

3)интегрирование линейных оду первого порядка и уравнение бернулли.Уравнение рикатти.

4)Интегрирование оду первого порядка в полных дифференциалах.Интегрирующий множитель и методы его нахождения

5)Уравнения первого порядка,не разрешенные относительно производной.Общий метод введения параметра.Уравнения Лагранжа и клеро.

6)Понятие особого решения.Методы его нахождения

7)Дифференциальное уравниение п-ого порядка:определение решения,постановка задаи коши.Методы понижения порядка.

2системы оду

8)системы оду.Каноническая и нормальная формы системы.Порядок системы.Сведение канонической системы к нормальной.Общее и частное решение,общий и частный интеграл.Задача коши для нормальной системы,ее геометрическая интерпритация

9)нормальная форма системы линейных оду,скалярная и векторная запись.Задача коши для системы линейных оду.Теорема существования иединственности решения задачи коши для системы линейных оду

10)линейно зависимая и независимая системы вектор функйий.Критерий линейной зависимости.Достаточные условия линейной завистимости

11)фундаментальная система решений(фср) однородной линейной системы оду.Теорема существования фср

12)фундаментальная матрица однороднойлинейной системы одуСвойства фундаментальной матрицы

13)теорема об определителе вронского решений линейной однородной системы оду

14)теорема об общем решении нормальной системы линейных однородных оду

15)теорема об общем решении нормальной системы неоднородных линейных оду

16)метод вариации постоянных для нахождения частного решения нормальной системы неоднородных линейных оду

17)линейные системы оду с комплекснвми коэфициентами.Следствие для однородной системы с вещественными коэфициентами

18)построение фср для системы однородных линейных оду с постоянными вещественными коэфициентами в случае простых действительных корней характеристического уравнения

19)построение фср для системы однородных линейных оду с постоянными вещественными коэфициентами в случае когда все корни характеристического уравнения простые,но имеются комплексные корни

20)Принцип супперпозиции при решении неоднородной линейной системы.Нахождение частного решения неоднородной линейной системы со специальной правой частью

3 линейные оду

21)Линейное оду п-ого порядка,определение его решения.Постановка задачи коши.Редукция линейного оду п-ого порядка к нормальной линейной системе оду.Теорема существования и единственности решения задачи коши для линейного оду п-ого порядка

22)однородное линейное оду п-ого порядка.Свойства его решений.Фундаментальная система решений фср однородного линейного од п-ого порядка.Теорема существования фср

23)теорема об определителе вронского решений однородного линейного оду п-ого порядка

24)теорема об общем решении однородного линейного оду п-ого порядка

25)теорема об общем решении неоднородного линейного оду п-ого порядка

26)метод вариаци произвольных постоянных для отыскания частного решения неоднородного линейного оду п-ого порядка

27)линейные уравнения п-ого порядка с комплексными коэфицентами.Следствие для однородного уравнения с вещественными коэфициентами

28)построение фср для однородного линейного оду п-ого порядка с постоянными коэфициентами в случае простых корней характерестического уравнения,действительных или комплексных

29)построение фср для однородного линейного оду п-ого порядка с постоянными коэфициентами в случае,когда имеются кратные корни характеристического уравнения

30)нахождение частного решения неоднородного линейного оду п-ого порядка с постоянными коэфициентами и специальной правой частью

4теоремы существования и единственности

31)теорема о сжимающем операторе

32)теоремы существования и единственности решения задачи коши для нормальной системы оду (локаоьная)

33)продолжаемы и непродолжаемые решения.Глобальная Т.С.Е. решения задачи коши для нормальной системы оду

34)теоремы существования и единственности решения задачи коши для уравнения y ' =f(x,y)

35)продолжаемые и непродолжаемые решения Т.С.Е. решения задачи коши для уравнения y ' =f(x,y) (глобальная)

36)теоремы существования и единственности решения задачи коши для оду п-ого порядка y^(n-1)=f(x,y,...y^(n-1))) (локальная)

37) продолжаемы и непродолжаемые решения.Глобальная Т.С.Е. решения задачи коши для оду п-ого порядка

38)непрерывная завистимость решения задачи коши от параметров для нормальной системы одупервого порядка

39)непреывная зависимость решения задачи коши от начальных данных для нормальной системы оду первого порядка.Понятие корректности задачи коши

5вариационное исчисление

40) основные понятия вариационного исчисления:функционал,линейность,непрерывность,вариация

41)лемма о сушествовании вариации у простейшего функционала

42)слабый(сильный)экстремум функционала.Теорема о необходимом условии слабого экстремума функционала

43)основная лемма вариационного исчисления и ее обобщение

44)лемма дюбуа-реймона

45)задача с закрепленными концами для простейшего функционала.Уравнение эйлера

46)задача с закрепленными концами для функционала с высшими производными.Уравнение эйлера-пуассона

47)задача с закрепленными концами для функционала,зависящего от нескольких функций.Система уравнений эйлера

48)основная лемма вариационного исчисления для функций,зависящих от двух переменных

49)вариационная задача для функционала ,зависящего от функций нескольких переменных.Уравнение эйлера-остроградского.

6ряды фурье

1критерий коши равномерной сходимости функциональной последовательности и ряда

Необходимы признак равномерной сходимости функционального ряда.Признак вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда

2 почленный переход к пределу в функциональной последовательности и ряде.Непрерывность в точке и на отрезке суммы функциональногь ряда и предела функции фундаментальной последовательности.

3 теорема дени о равномерной сходимости монотонной последовательности непрерывный функций и знакоположительного ряда непрерывных функций

4 предельный переход под знаком интеграла в функциональной последовательности и почленное интегрирование функционального ряда.Предельный переход под знаком производной в функциональной последовательности и почленное деференцирование функционального ряда

5Степенные ряды,множество сходимости степенного ряда.Ряд тейлора-маклорена.Разложение e^x,sinx,cosx,ln(1+x),(1+x)^a в ряд тейлора

6 эвклидово пространтво.ортогональные и ортонормированые пространства.ряды фурье .минимальное св-во коэфициента фурье.нер-во бесселя

7 базис в эвклидовом пространстве.критерий ортонормированностии базиса.Равенство парсеваля и обобщенное равенство парсеваля.почленное интегрирование ряда фурье по ортонормированному базису в QL2[a,b]

8 тригонометрический ряд фурье.Ядро дирехле.Лемма римана.поточечная сходимость тригонометрического ряда фурье

9 равномерная сходимостьтригонометрического ряда фурье.Метод фейера,ядро фейера.равномерная сходимость сумм фейера

10 базисность тригонометрических систем в QL2[-П,П]

11 интеграл фурье.представление функций инетгралом фурье.преобразование фурье.косинус и синус преобразования.