15.2. Резонансные цепи с сосредоточенными параметрами

Как уже отмечалось, основным узлом усилителя, выполняющего функции фильтрации сигнала, является резонансная система. Самые распространенные резонансные системы – это колебательные контуры.

Колебательный контур рис. 15.4 образует последовательное соединение индуктивности и емкости. Потери энергии в контуре учитывают, включая сопротивления.

Рис. 15.4. Последовательный колебательный контур

Резонансной частотой ₀колебательного контура называется частота, при которой реактивная составляющая полного сопротивления колебательного контураравна нулю, т. е.

.

Другими словами, резонансной частоте соответствует равенство реактивных сопротивлений индуктивности и емкости.

Характеристическим сопротивлением называется сопротивление полной индуктивности или емкости контура на резонансной частоте

,

поэтому, учитывая ,

.

Добротностью контура Qназывается отношение напряжения на индуктивностиU_Lили на емкостиU_Ск напряжению на активном сопротивлении при резонансе. Поскольку при резонансе напряжение на активном сопротивлении равно ЭДС, действующей в контуре, добротность равна

.

Величина, обратная добротности, называется затуханием контура

.

Можно дать другое определение добротности. Умножив числитель и знаменатель на квадрат амплитуды тока в контуре, можно получить

.

Следовательно, добротность в 2раз больше отношения энергии, запасенной в контуре, к энергии, рассеиваемой за один период колебаний. Это определение добротности справедливо не только для контуров с сосредоточенными индуктивностями и емкостями, но и для контуров с распределенными параметрами, о которых речь ниже.

Величина, обратная добротности, называется затуханием контура:

.

В последовательном колебательном контуре амплитуды напряжения на реактивных элементах при резонансе значительно превосходят амплитуду колебания u_вх. Поэтому говорят, что в последовательном контуре наблюдается резонанс напряжений.

Частотная характеристика последовательного колебательного контура – это зависимость от частоты отношения комплексной амплитуды напряжения на реактивном элементе к комплексной амплитуде напряжения на входе. Нетрудно установить, что в окрестности резонансной частоты модуль АЧХ последовательного колебательного контура

,

где =-₀– расстройка частоты входного колебания относительно резонансной частоты.

Фазочастоная характеристика (ФЧХ) последовательного контура – аргумент комплексной частотной характеристики – определяется как

где .

АЧХ и ФЧХ последовательного колебательного контура изображены на рис. 15.5, а) иб) соответственно.

Рис. 15.5. АЧХ и ФЧХ последовательного колебательного контура

На резонансной частоте реактивные сопротивления элементов контура равны по величине и противоположны по знакам. Поэтому эквивалентное сопротивление контура чисто активное. При расстройке относительно резонансной частоты характер сопротивления контура меняется. При более низких частотах большее влияние на полное сопротивление последовательной цепи оказывает емкость и сопротивление носит емкостный характер. На частотах выше резонансных преобладает индуктивное сопротивление.

Резонансным сопротивлением параллельного контура рис. 15.6 называют полное сопротивление контура на резонансной частоте.

Рис. 15.6. Параллельный колебательный контур

Обозначая полное активное сопротивление потерь в контуре r=r_L=r_Cи учитывая, что характеристическое сопротивление много больше активного, можно установить, что эквивалентное сопротивление контура на резонансной частоте

.

Поскольку сопротивление контура при резонансе чисто действительная величина, обычно вместо Z₀применяют обозначениеR₀. Кроме того, справедливы и используются другие формы представления сопротивления контура при резонансе:

.

В параллельном колебательном контуре наблюдается резонанс токов: ток в контуре при резонансе значительно превышает ток, отдаваемый генератором, а именно . Поэтому и частотная характеристика параллельного контура определяется как отношение комплексных амплитуд токов в контуре и в подводящей цепи рис. 15.7,а) иб).

Рис. 15.7. АЧХ и ФЧХ параллельного колебательного контура

АЧХ параллельного и последовательного контура практически совпадают, а ФЧХ – зеркально симметричны. Такая же симметрия характерна и для эквивалентных сопротивлений контуров: для частот ниже резонанса параллельный контур эквивалентен индуктивности, а для более высоких частот – емкости.

Из анализа обобщенной резонансной кривой колебательного контура следует, что при малых расстройках величинамало отличается от единицы. При значительных расстройках спадбудет значительным, по порядку величины.

Диапазон частот колебаний, в пределах которого уменьшение не превышает некоторой оговоренной величины, называется полосой пропускания. Чаще всего этот уровеньвыбирается равным, и обозначается_0,7, как на рис. 15.8.

Рис. 15.8. Определение полосы пропускания контура

Полоса пропускания тем больше, чем больше затухание в контуре и, соответственно, чем меньше добротность. Из условия

используя соотношение определяется

.

В случае применения контуров с сосредоточенными индуктивностями и емкостями можно отдельно рассматривать потери энергии в катушках индуктивности и конденсаторах.

Мощность потерь в катушке пропорциональна ее сопротивлению: Р=I²r, а сопротивление витков катушкиrзависит от площади проводящего сечения проводника. На высоких частотах наблюдается поверхностный эффект (скин-эффект), проявляющийся в том, что плотность тока падает по экспоненциальному закону по мере удаления от поверхности внутрь проводника:

,

где j– плотность тока на глубинех;j₀– плотность тока вблизи поверхности;– эффективная глубина проникновения тока.

Неравномерное распределение тока можно заменить равномерным с эффективной глубиной . В этом легко убедиться, проинтегрировав пох от 0 до. На глубинех=плотность тока падает вераз. Для медного провода эффективная глубина проникновения тока

,

где измеряется в миллиметрах;f – в мегагерцах.

С увеличением диаметра провода его эффективная площадь сечения растет пропорционально первой степени диаметра, а площадь поперечного сечения – как, пропорционально квадрату диаметра. Следовательно, сопротивление и потери энергии на преодоление сопротивления падают во столько раз, во сколько увеличивается диаметр провода. Однако при этом потери на токи Фуко увеличиваются примерно пропорционально диаметру провода.

На рис. 15.9 показаны качественные зависимости мощности потерь вследствие скин-эффекта Р_ск, мощности потерь на токи ФукоР_фи суммарной мощности потерьРот диаметра провода.

Рис. 15.9. Зависимость мощности потерь от диаметра провода

Так как потери вследствие скин-эффекта уменьшаются при увеличении диаметра, а потери на токи Фуко растут, существует оптимальный диаметр провода, зависящий от конструкции катушки, ее размера и частоты, на которой она работает.

Для подстройки индуктивностей применяются подстроечные сердечники катушек. Сердечники изготовляют из магнитного материала с малыми потерями на токи Фуко. Несмотря на то, что введение сердечника увеличивает общие потери, так как к потерям в проводе добавляются потери в сердечнике, добротность катушки с сердечником из феррита выше, чем катушки без сердечника. Это объясняется тем, что при введении сердечника индуктивность возрастает больше, чем сопротивление, в результате чего и отношение увеличивается. Для подстройки катушки применяют также медные или латунные сердечники, уменьшающие индуктивность при введении их в катушки. Такие сердечники не уменьшают добротности катушки на частотах выше 20…30 МГц. На более низких частотах они сильно ухудшают добротность и поэтому не применяются.

Потери энергии в конденсаторах принято характеризовать тангенсом угла потерь tg, где– угол между вектором тока, проходящего через конденсатор, и направлением, которое он занимал бы в отсутствие потерь в конденсаторе.

Обычно тангенс угла потерь конденсаторов, применяемых в высокочастотных резонансных системах, составляет 10^-4…10^-3. Таким потерям соответствует затухание что на один-два порядка ниже, чем затухание на сопротивлении катушки индуктивности. Поэтому добротность контура в основном определяется добротностью катушки индуктивности.