13.7. Распространение электромагнитных волн по регулярным линиям передачи

На практике наибольшее чаще всего используются отрезки регулярных линий передачи разной длины. Если длина регулярной линии передачи существенно превышает длину волны в линии , то такая линия называется длинной. Характерной особенностью длинных линий является возможность существования в них двух волн, распространяющихся навстречу друг другую. Одна из этих волн образуется подключенным к линии генератором электромагнитных колебаний и называется падающей. Другая волна образуется из-за отражения падающей волны от нагрузки, подключенной к противоположному концу линии, и называется отраженной. Отраженная волна распространяется в направлении, обратном падающей волне. Все разнообразие процессов, происходящих в длинной линии, определяется амплитудно-фазовыми соотношениями между падающей и отраженной волнами.

На рис.13.25. изображена длинная линия (а), нагруженная на сопротивлениеZ_н, и эквивалентная схема элемента ее длиныdz(б).

Рис.13.25. Длинная линия (а) и эквивалентная схема элемента ее длиныdz(б)

Линия передачи имеет погонные параметры: R₁– погонное сопротивление, Ом/м;G₁– погонная проводимость, (Ом^.м)^-1;L₁– погонная индуктивность, Гн/м;С₁– погонная емкость, Ф/м. Погонные сопротивление и проводимость зависят от проводимости материала проводов и качества диэлектрика, окружающего эти провода. Чем меньше тепловые потери в металле проводов и в диэлектрике, тем меньше, соответственно,RиG. Погонные индуктивностьL₁и емкостьС₁определяются формой и размерами поперечного сечения проводов, а также расстоянием между ними. Элементарный участок длиныdzимеет эквивалентную схему рис. 13.25,б. На этой схеме стрелками обозначены направления отсчета напряженияUи токаIв линии;dUиdI– приращения напряжения и тока в линии на элементе длиныdz. Значения параметров схемы определяются соотношениями:

Используя эквивалентную схему, можно записать выражения для приращений напряжения и тока:

Подстановка в значений параметров схемы из , дает:

где , Ом/м;, См/м – погонные комплексные сопротивление и проводимость линии соответственно.

Из следуют уравнения, связывающие токи и напряжения в линии:

.

Эти соотношения называются телеграфными уравнениями. Дифференцируя уравнения по z, можно получить

,

При этом учтено, что

,

что является формальным выражением условия регулярности длинной линии. Соотношения устанавливают неизменность погонных параметров линии вдоль ее длины.

Подставляя в значения производных напряжения и тока из телеграфных уравнений, после преобразований можно получить:

,

где – коэффициент распространения волны в линии,.

Соотношения называются однородными волновыми уравнениями длинной линии. Их решения

,

где A_U,В_UиА_I,В_I– коэффициенты, имеющие размерность соответственно напряжения и тока.

Решения волновых уравнений имеют весьма характерный вид: первое слагаемое A.e^zпредставляет собой падающую волну напряжения или тока, распространяющуюся от генератора к нагрузке, второе слагаемоеВ.e^-z– отраженную волну, распространяющуюся от нагрузки к генератору. Таким образом, коэффициентыА_U,А_I– это комплексные амплитуды падающих волн напряжения и тока соответственно, а коэффициентыВ_U,В_I, – комплексные амплитуды отраженных волн напряжения и тока. Поскольку часть мощности, передаваемой по линии, может поглощаться в нагрузке, амплитуды отраженных волн не должны превышать амплитуды падающих:

.

Направление распространения волн в определяется знаком в показателях степени экспонент: "плюс" – волна распространяется, в отрицательном направлении оси z; "минус" – в положительном направлении осиz(рис. 13.12). Так, например, для падающей волны можно записать:

.

Коэффициент распространения волны в линии в общем случае является комплексной величиной:

,

где – коэффициент затухания волны в линии;– коэффициент фазы.

Используя принятое обозначение, соотношение можно переписать в виде:

.

Коэффициент затухания определяет скорость уменьшения амплитуды волны при распространении вдоль линии. Коэффициент фазыопределяет скорость изменения фазы волны вдоль линии.

Так как при распространении падающей волны на длину волны в линии , фаза волны изменяется на 2, то коэффициент фазы можно связать с длиной волнысоотношением

.

При этом фазовая скорость волны в линии V^ определяется через коэффициент фазы:

.

Коэффициенты АиВ, входящие в решения волновых уравнений, определяются через значения напряженияU_нтокаI_нна нагрузке. Это оправдано, поскольку напряжение и ток на нагрузке практически всегда можно измерить с помощью измерительных приборов.

Из первого телеграфного уравнения при подстановке в него решений относительно напряжения и тока следует, что

.

Сравнив коэффициенты при экспоненциальных членах с одинаковыми показателями степеней, можно установить, что:

,

где – волновое сопротивление линии.

Волновым сопротивлением линии передачи называется отношение напряжения к току в бегущей волне.

Соотношения позволяют переписать :

Для определения коэффициентов А. иВ. в этих уравнениях следует воспользоваться граничными условиями на конце линии (на нагрузке) приz=0, когдаU(z=0)=U_н;I(z=0)=I_н:

Подстановка полученных значений коэффициентов из в приводит к решениям

При выводе учтены определения функций гиперболических синуса и косинуса:

.

Соотношения для напряжения и тока , так же, как и , являются решениями однородных волновых уравнений. Их отличие состоит лишь в том, что напряжение и ток в линии в соотношении определены через амплитуды падающей и отраженной волн, а в – через напряжение и ток на нагрузке.

Если линия нагружена на сопротивление, для которого |Г|=1, т. е. амплитуда падающей и отраженной волн равны, то,aU_min=0. Напряжение в такой линии изменяется от нуля до удвоенной амплитуды падающей волны. На рис. 13.28 представлен график изменения амплитуды и фазы напряжения вдоль линии при наличии отраженной волны.

Рис. 13.28. Изменение напряжения в линии с отраженной волной:

а– амплитуды;б– фазы

По графику напряжения судят о степени согласования линии с нагрузкой. Для этого вводятся понятия коэффициента бегущей волны k_бви коэффициента стоячей волныk_св.

Эти коэффициенты, по определению, изменяются в пределах .

На практике наиболее часто используется коэффициент стоячей волны, так как современные измерительные приборы (панорамные измерители k_св) на индикаторных устройствах отображают изменение именно этой величины в некоторой полосе частот.

Важной характеристикой длинной линии является входное сопротивление

,

которое определяется в каждом сечении как отношение напряжения к току в этом сечении:

.

Так как напряжение и ток в линии изменяются от сечения к сечению, то и входное сопротивление линии изменяется относительно ее продольной координаты z. При этом говорят о трансформирующих свойствах линии, а саму линию рассматривают как трансформатор сопротивлении.

Различают три режима работы линии: режим бегущей волны, режим стоячей волны, режим смешанных волн.

Режим бегущей волны характеризуется наличием только падающей волны, распространяющейся от генератора к нагрузке. Отраженная волна отсутствует. Мощность, переносимая падающей волной, полностью выделяется в нагрузке. В этом режиме В_U=0, |Г|=0,k_6в=k_св=1.

В режиме стоячей волны амплитуда отраженной волны равна амплитуде падающей |B_U|=|A_U| т. е. энергия падающей волны полностью отражается от нагрузки и возвращается обратно к генератору. В этом режиме |Г|=1,k_св=,k_бв=0.

В режиме смешанных волн амплитуда отраженной волны удовлетворяет условию 0<|B_U|<|A_U| т. е. часть мощности падающей волны теряется в нагрузке; а остальная часть в виде отраженной волны возвращается обратно, к источнику колебаний. При этом 0<|Г|<1, 1<k_св<, 0<k_бв<1. Следует отметить, что режимы бегущей и стоячей волн в чистом виде на практике не реализуются. Возможно приближение к этим режимам, поскольку в реальных линиях передачи всегда имеются неоднородности, от которых отражаются волны.

В линии без потерь погонные параметры R₁=0 иG₁=0. Поэтому для коэффициента распространенияи волнового сопротивленияW

а напряжение и ток

В учтено, что ch(iz)=cos(z); sh(iz)=isin(z).

Интересны конкретные примеры работы линии без потерь на простейшие нагрузки.

Разомкнутая линия. В этом случае ток; протекающий через нагрузку, равен нулю (I_н=0), поэтому выражения для напряжения, тока и входного сопротивления в линии принимают вид:

На рис. 13.29 эти зависимости проиллюстрированы графически.

Рис. 13.29. Ток и напряжение в разомкнутой линии

Из соотношений и графиков следует, что

1. в, линии, разомкнутой на конце, устанавливается режим стоячей волны, напряжение, ток и входное сопротивление вдоль линии изменяются по периодическому закону с периодом ;

2. входное сопротивление разомкнутой линии является чисто мнимым, за исключением точек с координатами ;

3. если длина разомкнутой лини меньше , то такая линияэквивалентна емкости;

4. разомкнутая на конце линия длиной эквивалентна последовательному контуру с резонансной частотойи имеет нулевое входное сопротивление;

5. линия, длина которой лежит в интервале от до;, эквивалентна индуктивности;

6. разомкнутая на конце линия длиной эквивалентна последовательному резонансному контуру на рассматриваемой частоте и имеет бесконечно большое входное сопротивление.

Замкнутая линия имеет напряжение на нагрузке равное нулю (U_н=0), поэтому напряжение, ток и входное сопротивление в линии принимают вид:

На рис. 13.30 эти зависимости иллюстрируются графически.

Рис. 13.30. Ток и напряжение в короткоразомкнутой линии

Используя предыдущие результаты, нетрудно сделать выводы о трансформирующих свойствах короткозамкнутой линии. Следует лишь отметить, что в замкнутой линии также устанавливается режим стоячей волны. Отрезок короткозамкнутой линии, длиной меньше , имеет индуктивный характер входного сопротивления, а при длинетакая линия имеет теоретически бесконечно большое входное сопротивление на рабочей частоте. Это свойство короткозамкнутого четвертьволнового отрезка линии широко используется на практике для создания объемных резонаторов, а также для устройства «металлических изоляторов».

Образование стоячих волн связано с тем, что ток и напряжение на нагрузке линии сдвинуты на . Тот же эффект будет и при чисто реактивной нагрузке, когда линия нагружается на емкость или индуктивность.

В линии, нагруженной на активное сопротивление, ток и напряжение на нагрузкеR_нсвязаны соотношениемU_н=I_нR_н. При этом напряжение и ток в любом сечении линии удовлетворяют уравнениям

Из можно найти амплитуду напряжения в линии:

.

Отсюда следует, что можно выделить три случая: 1) R_н=W; 2)R_н>W; 3R_н<W.

В первом случае из |U|=U_н, т.e, напряжение вдоль линии остается постоянным, равным напряжению на нагрузке, что соответствует режиму бегущей волны в линии.

Во втором случае и анализ соотношения показывает, что максимумы напряженияU_maxопределяются из условийи, гдеz_maxпродольные координаты максимумов напряженияПри этом напряжение в максимуме определяется равенствомU_max=U_н. Отсюда следует, что и на нагрузке линии образуется максимум напряжения. Минимумы напряжения определяются из условийигдеz_min– продольные координаты минимумов напряжения:При этом напряжение в минимуме определяется уравнением. Таким образом, приR_н>W.

Рассуждая аналогично применительно к третьему случаю, можно показать, что при в конце линии устанавливается минимум напряжения, и. При этом координаты максимумов напряжения определяются равенством а значение напряжения в максимумах. В этом случае. На рис. 13.31 представлены графики изменения напряжения в линии для всех трех рассмотренных случаев. Из графиков следует, что при работе линии на активное сопротивление в ней устанавливается режим смешанных волн, за исключением случаяR_н=W, в котором устанавливается режим бегущей волны, и вся мощность выделяется в нагрузке.

Рис. 13.31. Напряжение в линии, работающей на активное сопротивление

Входное сопротивление линии, нагруженной на активное сопротивление, можно найти, используя выражения для напряжения и тока :

.

Выделяя действительную и мнимую части, можно найти

Из следует, что при увеличении сопротивления нагрузки они приближаются к эпюрам, соответствующим линии, разомкнутой на конце. Следует обратить внимание на поперечные сечения линии, в которых активная часть входного сопротивления линии равна волновому сопротивлению W, а реактивная часть имеет емкостный или индуктивный в характер. Поперечные сечения линии с такими входными сопротивлениями периодически повторяются через. Из также следует, что в сечениях линии, в которых напряжение достигает максимума или минимума, входное сопротивление чисто активное. Это остается справедливым и для случаяR_н<W.

Работа линии на произвольное комплексное сопротивление. В этом случае часть мощности падающей волны поглощается активной частью нагрузки, а часть – отражается и в линии устанавливается режим смешанных волн. Особенность состоит в фазовом сдвиге, который приобретает отраженная волна в месте включения нагрузки. Этот фазовый сдвиг вызывает сдвиг кривых напряжения и тока без изменения их формы. Для иллюстрации на рис. 13.32 показаны графики изменения вдоль линии напряжения и входного сопротивления при комплексном сопротивлении нагрузки, причем реактивная часть этого сопротивления имеет индуктивный характер.

Рис. 13.32. Напряжение и входное сопротивление линии, натуженной на комплексное сопротивление активное сопоставление

В сечениях линии, где напряжение достигает экстремальных значений (максимума или минимума) входное сопротивление линии чисто активное. Можно показать, что произведение входных сопротивлений, отстоящих один от другого на , равно квадрату волнового сопротивления:

Так как напряжение и ток на произвольной комплексной нагрузке связаны соотношением U_н=I_нZ_н, то из можно получить уравнение, определяющее коэффициент отражения через сопротивление нагрузки:

.

Основные результаты теории линии без потерь.

1. Напряжение, ток и входное сопротивление являются периодическими функциями относительно продольной координаты с периодом , т. е. для любого сечения линииzсправедливы равенства:

2. Режим стоячих волн в линии реализуется при реактивных нагрузках: в разомкнутой и короткозамкнутой линиях, в линиях, нагруженных на индуктивность и/или емкость.

3. Режим бегущей волны реализуется чисто активной нагрузкой, равной волновому сопротивлению линии: R_н=W, Х_н=0.

4. Режим смешанных волн реализуется остальными нагрузками, кроме перечисленных в п.п. 2 и 3.

5. В сечениях линии, в которых напряжение или ток достигают максимума или минимума, входное сопротивление линии чисто активное.

6. Отрезок линии можно рассматривать как трансформатор сопротивлений, при этом, учитывая , полуволновый отрезок линии имеет коэффициент трансформации, равный единице, а для произвольного сечения zлинии справедливо соотношение:

.

Свойства линии с потерями, разумеется, отличаются от рассмотренных, характерных для гипотетической линии без потерь. Так при наличии тепловых потерь в проводах и диэлектрике коэффициент распространения в линии составит

Принимая во внимание, что потери в реальной линии малы, а круговая частота велика, можно сделать вывод о малости величини.

Разложив в корень в степенной ряд относительно ии ограничившись первыми двумя членами в этих разложениях, можно получить первое приближение:

Так как , из следует, что:

В практических случаях потери в диэлектрике пренебрежимо малы по сравнению с потерями в металле, поэтому в выражение для можно упростить:

.

В табл. 13.3 приведены соотношения, связывающие геометрические и электрические параметра медных двухпроводной и коаксиальной линий

Таблица 13.3

Параметр
С1, пФ/м
L1, мкГн/м
R1, Ом/м
W, Ом

Примечание: _r– относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика; в формулах дляR₁в метрах,r,r₁,r₂– в миллиметрах.

Коэффициент полезного действия (КПД) – это важный параметр линии с потерями. Он определяется как отношение мощностиР_н, выделившейся в нагрузке, к мощностиР_п, подведенной к линий:

.

Длина линии равна l. КПД линии, работающей в режимах бегущей волны и смешанных волн, может быть определен следующим образом.

В соответствии с в режиме бегущей волны

.

Мощность, выделяющаяся в нагрузке, находится из соотношения

Здесь символ звездочка над буквой I* означает операцию комплексного сопряжения.

Подставляя в выражение для значения напряжения и тока из , можно получить:

.

При этом мощность, подводимая к линии длиной lбудет,

,

откуда, с учетом , определяется

.

Подставляя найденные значения Р_ниР_ив , можно получить

.

Если потери малы, т. е. , то последняя формула упрощается, если экспоненту представить в виде ряда по степеням аргумента 2lи ограничиться в этом ряду первыми двумя членами:.

В режиме смешанных волн можно использовать выражение для напряжения и тока в виде , которые с учетом примут вид:

Для определения КПД необходимо определить Р_ниР_п, используя и :

.

Выражение, для мощности, выделяющейся на нагрузке , имеет весьма характерный вид. Первое слагаемое в этом выражении представляет собой мощность падающей волны вместе подключения нагрузки (z=0). Второе слагаемое – это мощность, уносимая отраженной волной в этом же сечении. Их разность определяет мощность, поглощаемую в нагрузке. Таким образом, выражение для КПД в режиме смешанных волн примет вид

.

Зависимость, КПД от l, иллюстрируется графиками на рис. 13.33.

Рис. 13.33. Зависимость КПД линии от потерь при различном ее согласовании с нагрузкой

Из графиков следует, что если потери малы, то КПД слабо зависит от модуля коэффициента отражения. Если же потери значительны, то КПД существенно зависит от степени согласования линии с нагрузкой.

Следует отметить, что формула получена в предположении о несогласованности источника колебаний с линией, т.е. о том, что отраженная от нагрузки волна, достигая источника, полностью от него отражается и вновь направляется в нагрузку. Если же отраженная волна поглощается в генераторе, то

.

Из сравнения этого выражения с следует, что КПД линии при несогласованном генераторе выше, чем для согласованного.

Применимость теории регулярных линий передачи ограничена следующими пределами.

Рассмотренная теория применима к симметричным и несимметричным линиям передачи, если выполняются следующие условия:

1. линий передачи регулярны;

2. линии выполнены так, что можно пренебречь их излучением;

3. основной волной в таких линиях является поперечная электромагнитная волка (волна типа Т).

В местах нарушения регулярности линии возникают волны высших типов, и анализ таких нерегулярностей следует проводить с применением методов прикладной электродинамики.

При наличии излучения электромагнитных волн, распространяющихся вдоль линии, необходим дополнительный учет потерь энергии на излучение. При этом эквивалентная схема участка линии длиной dz(рис. 1.10) оказывается неприемлемой.

Для того чтобы в линии основной волной была бы волна типа Т, порядок связности ее поперечного сечения должен быть больше единицы. При этом размеры поперечного сечения проводников такой линии следует выбирать из условия нахождения волн высших типов в закритическом режиме.