15.6. Цифровые фильтры

Процессы, которые сопровождают фильтрацию сигналов, могут моделироваться, а алгоритмы модели – реализоваться на специализированных и/или универсальных вычислительных устройствах. Такие устройства с соответствующим программным обеспечением вычислительного процесса фильтрации, естественно назвать цифровыми фильтрами.

Принцип работы цифрового фильтра состоит в следующем. На его вход подается сигнал s(пt) – последовательность дискретных по времени значений, следующих с интерваломt. При поступлении каждого очередного отсчета сигнала – числаs_вх(пt) – на выходе цифрового фильтра формируется откликs_вых(пt), рассчитанный по некоторому алгоритму. В общем случае числоs_вых(пt) является функцией как нескольких предыдущих значений как входныхs_вх(пt), так и выходныху чисел:

На выходе фильтра вырабатывается последовательность чисел у(пТ), s_вых(пt) следующих с интерваломt. Таким образом, тактовый интервал времениtявляется общим для последовательностей входных и выходных чисел.

Цифровые фильтры делятся на два большие класса: нерекурсивные и рекурсивные. В нерекурсивных фильтрах отклик зависит только от значений входной последовательности

На рис. 15.16 представлена структурная схема алгоритма

,

по которому работает нерекурсивный цифровой фильтр.

Рис. 15.15. Нерекурсивный цифровой фильтр

На схеме обозначены: z^-1– элемент задержки цифровой последовательности на один тактt;b_i – умножители;– сумматор.

Нерекурсивный цифровой фильтр может быть осуществлен практически, если заданная импульсная характеристика содержит сравнительно небольшое число членов, т. е. быстро убывает с ростом п. В противном случае для получения заданной импульсной характеристики требуется очень много ячеек памяти.

В рекурсивных фильтрах отклик зависит как от значений входной последовательности, так и от предшествующих значений выходной последовательности.

Алгоритм цифрового фильтра N-го порядка в виде разностного уравнения соответствующего порядка

которое эквивалентно линейному дифференциальному уравнению N-гoпорядка для аналогового фильтра.

Правая часть уравнения описывает нерекурсивную, левая – рекурсивную части цифрового фильтра. Коэффициенты a₀,a₁, ...,a_Nиb₀,b₁, ….,b_Mопределяются значениями элементов схемы фильтра.

Структурная схема рекурсивного фильтра, осуществляющего обработку в соответствии с алгоритмом , изображена на рис. 15.17.

Рис. 15.17. Рекурсивный цифровой фильтр

Одним из наиболее полезных методов представления дискретных сигнальных последовательностей, с которыми работают цифровые фильтры, является z-преобразование. Для последовательностиs(nt)=s(n)z-преобразование определяется соотношением

,

где z– комплексная переменная.

Комплексная функция определена лишь для тех значений z, при которых степенной ряд сходится.

Если s(n) отлична от нуля только в интервале, тоX(z) сходится вz-плоскости везде, за исключением, может быть точекz=0 иz=.

Из определения z-преобразования последовательности значений сигнала видно, чтоz-преобразование, вычисленное на единичной окружности, т. е. приz=e^i, дает

,

Что совпадает с преобразованием Фурье исходной последовательности s(nt)=s(n).

Передаточная функция цифрового фильтра определяется из как отношение z-преобразований выходной и входной величины цифрового фильтра:

Выражение связывает передаточную функцию фильтра со значениями его элементов. По известной (заданной) передаточной функции Н(z) может быть определена структура и значения коэффициентов цифрового фильтра.

Используя , можно заменить в z^-1наe^-itможно от передаточной функции перейти к комплексной частотной характеристике цифрового фильтраН(i). Также, как и для обычного аналогового фильтра модуль комплексной частотной характеристики является коэффициентом усиления, а аргумент –фазовой характеристикой фильтра, работающего в соответствии с алгоритмом или .

Основным достоинством рекурсивных фильтров является сокращение числа элементов структурной схемы по сравнению с числом таких элементов в нерекурсивных фильтрах. Благодаря этому рекурсивные фильтры позволяют реализовать медленно затухающие импульсные характеристики.

Недостатком рекурсивных фильтров являются большие ошибки округления, нежели в нерекурсивных фильтрах.

Рекурсивные фильтры позволяют реализовать любые алгоритмы типа , т. е. получить весьма разнообразные частотные характеристики при соблюдении следующих условий:

- все полюсы передаточной функции H(z) должны лежать наz-плоскости внутри окружности радиуса |z|=l, т. е. система должна быть устойчивой;

- ошибки округления не должны нарастать в такой степени, чтобы нарушать нормальную работу фильтра.

Приведенные на рис.15.19 и рис 15.20 простейшие схемы цифровых фильтров не являются наилучшими в техническом смысле. Имеются возможности для реализации фильтров с заданными АЧХ при меньшем количестве используемых схемных элементов.