Коллоквиум по матану (Петрова, Бухарова) / Билет 10

Билет 10. Теоремы о сохранении знака и предельном переходе в неравенствах.

Теорема о сохранении знака. Пусть {x_n} – числовая последовательность x_n>0 и lim(n->)x_n=a => a≥0

● Предположим противное: a<0, тогда для <|a|/2 n₀N n>n₀ |x_n-a|<; a-<x_n<a+ => n>n₀ x_n<a+<0 – противоречит условию (x_n>0) теоремы. ●

Теорема о предельном переходе.

Пусть  lim(n->)x_n=a и  lim(n->)y_n=b и nN x_n≤y_n тогда a≤b

● Рассмотрим разность послед. {y_n-x_n} nN y_n-x_n>0 по арифм. свойствам. lim(n->)(y_n-x_n)=b-a, по теореме о сохранении знака (b-a)≥0; b≥a. ●