Домашняя работа

НА

Определенные интегралы

(2-Й семестр)

ЗАДАЧА 1. Оценить интеграл .

а) Находим критические точки подынтегральной функции

> solve(diff(f(x),x),x);

и выбираем из них точки, лежащие на отрезке [a,b] .

б) Вычисляем значения функции в этих точках и на концах отрезка при помощи команды подстановки

> subs(x=a,f(x));

в) Выбираем из этих значений наименьшее m и наибольшее М и строим три гра­фика: > plot({m,M,f(x)},x=a..b);

Уметь находить на этом чертеже три площади, соответствующие оценке!

г) Пишем оценку для интеграла

д) Вычисляем численное значение интеграла ДВУМЯ командами

>Int(f(x),x=a..b);

>evalf(%);

и проверяем справедливость оценки (тройного неравенства) из пункта г).

ЗАДАЧА 2. Площадь области, ограниченной кривыми у=, у=х² , у=х²/8 .

а) Строим кривые

> plot({sqrt(x),x^2,x^2/8},x=0..5,y=0..3,color=black);

б) Определяем точки пересечения, приравнивая функции. Затем находим площадь области по формуле

> S:=int(x^2-x^2/8,x=0..1)+int(sqrt(x)-x^2/8,x=1..4);

в) Изображаем тело вращения. Для этого сначала задаем верхнюю и нижнюю границы области S командами

> y2:=x->piecewise(x<1,x^2,sqrt(x)); y1:=x->x^2/8;

а затем строим две поверхности, ограничивающие объем вращения, командой

>plot3d({[y2(u)*cos(v),u,y2(u)*sin(v)],[y1(u)*cos(v),u,y1(u)*sin(v)]},u=0..4,v=Pi/2..2*Pi);

Примечание. Здесь объем получился в разрезе, т.к. круговая координата vменяется от /2 до 2 (три четверти оборота). Для получения полного объема она должна меняться от 0 до 2 , но тогда картинка будет менее наглядной.

Объем тела вращения вычисляется затем при помощи MAPLE по формуле

ЗАДАЧА 3. Объем усеченной призмы.

В MAPLE точка М пространства задается так M:=[a,b,c];

Примечание. Наименования D, I, О запрещены. Можно употреблять d, i, o .

Пусть дана плоскость

> z:=32.8-3*x+0.8*y;

Зададим точки для построения рёбер призмы и её сечения

> o:=[0,0,0]:A:=[1,0,0]:A1:=[2,0,0]:A2:=[3,0,0]:B:=[1,1,0]: B1:=[2,2,0]:B2:=[3,3,0]:C:=[1,2,0]:C1:=[2,4,0]:C2:=[3,6,0]:P:=[1,1,subs(x=1,y=1,z)]:P1:=[2,2,subs(x=2,y=2,z)]: P2:=[3,3,subs(x=3,y=3,z)]:Q:=[1,2,subs(x=1,y=2,z)]: Q1:=[2,4,subs(x=2,y=4,z)]:Q2:=[3,6,subs(x=3,y=6,z)]:

Строим ребра и грани призмы командой (буквы команды и опций заглавные!)

>PLOT3D(POLYGONS([o,A2],[o,B2],[o,C2],[A,C],[A1,C1], [A2,C2],[B,P],[B2,P2],[C,Q],[C2,Q2],[B1,P1,Q1,C1], [P,P2,Q2,Q]),THICKNESS(2));

После получения рисунка нужно щелкнуть по нему правой мышью, в появив­шемся окне выбрать color  Z(Grayscale) чтобы рисунок был черно-белым. Так его удобнее печатать (не у каждого есть цветной принтер).

Затем щелкнуть по рисунку левой мышью и ввести систему координат (третья строчка меню, третья кнопка с красным пятном, считая слева,).

Точка (2,0,0) и (3,0,0) на чертеже это, конечно же, точки (t,0,0) и (2,0,0). Точке (t,0,0) соответствует сечение тела, имеющее форму трапеции с высотой t и с осно­ваниями, которые можно вычислить, если в уравнение плоскости подставить ко­ординаты точек (t, t) и (t, 2t)

>b1:=subs(x=t,y=t,z); b2:=subs(x=t,y=2*t,z);

Затем находим площадь сечения и объём тела

> S:=t*(b1+b2)/2; V:=int(S,t=1..2);

Ответ. Объем усеченной призмы равен V = 45.

2

t

ЗАДАЧА 4 делается ВРУЧНУЮ с использованием формулы для длины дуги

. Дополнительно следует по этой же формуле численно подсчитать на MAPLE длину периметра области из ЗАДАЧИ 2.

ЗАДАЧА 5. Метод трапеций, замена переменной в определенном интеграле.

Дан интеграл и дан шаг расчетаh=0,1.

а) Строим график подынтегральной функции

> plot(sqrt((5*x-19)/(5*x-14)),x=3.8..4.8,color=black);

На этом графике нужно вручную провести вертикальные линии и изобразить те трапеции, сумму площадей кото­рых мы будем вычислять.

б) Задаем точки деления отрезка и значения подынтегральной функции в этих точках

> x[n]:=3.8+0.1*n;

> y[n]:=subs(x=x[n],sqrt((5*x-19)/(5*x-14)));

в) Вычисляем эти значения функции в точках деления

> y[n]$n=0..10;

г) Вычисляем приближенное значение интеграла по формуле трапеции («шаг на сумму всех ординат, первая и последняя – с коэффициентом ½ »)

> INT=0.1*(sum(y[n],n=1..9)+1/2*0.7071067812);

д) Вычислить точное значение интеграла ДВУМЯ командами

> Int(sqrt((5*x-19)/(5*x-14)),x=3.8..4.8);

> evalf(%);

Объяснить, почему формула трапеций дает ответ с недостатком.

е) Вычислить ВРУЧНУЮ значение интеграла, сделав замену

.

Решая это уравнение относительно х при помощи команды >solve, находим х(t). Затем, используя команду >diff находим dx=x’(t)dt . Определяем интервал изменения новой переменной t ,т.е. новые пределы интегрирования. Заменяем в подынтегральном выражении корень на t. а dx – на x’(t)dt . Получим интеграл от рациональной функции, которую представляем в виде суммы простейших дробей

.

Находим коэффициенты (можно при помощи MAPLE , см. ниже задачу 6). Получаем A=B=C=1 , D= –1.

Интегрирование этих простейших дробей производим ВРУЧНУЮ.

ЗАДАЧА 6. Интегрирование рациональной дроби.

Пусть требуется вычислить интеграл

а) У данной подынтегральной дроби следует разложить знаменатель на неразложимые со­множители (в нашем примере он уже разложен) и представить эту дробь в виде суммы простейших дробей 1-го, 2-го и 3-го типов с неопределенными коэффициентами. Получившееся равенство обозначим буквой Q

> Q:=2*(x^2+x+1)/(x-1)/(x-2)^2/(x^2-2*x+2)=A/(x-1)+

B/(x-2)+C/(x-2)^2+(D*x+E)/(x^2-2*x+2);

Умножим это равенство на знаменатель. Получим тождество R

> R:=Q*(x-1)*(x-2)^2*(x^2-2*x+2);

Упростим получившееся тождество и результат обозначим через eq

> eq:=simplify(R);

В полученное тождество подставим вместо х пять произвольных значений. Полу­чим систему пяти уравнений для неизвестных A, B, C, D, E .

>eq1:=subs(x=1,eq):eq2:=subs(x=2,eq):eq3:=subs(x=3,eq):eq4:=subs(x=4,eq):eq5:=subs(x=5,eq):

Решим эту систему

> solve({eq1,eq2,eq3,eq4,eq5},{A,B,C,D,E});

После этого все интегралы от простейших дробей (включая дробь третьего типа) следует вычислять ВРУЧНУЮ.

ПРОВЕРКА. Коэффициенты во всех вариантах равны единице или двум.

Примечание. В MAPLE имеется команда преобразования рациональной дроби R(x) в сумму простейших дробей

> convert(R(x),parfrac,x);

Но эту команду разрешается применять ТОЛЬКО для проверки.