Домашняя работа по теме

«Функциональные

Последовательности и ряды»

(2 Семестр)

Из этой работы выполняются задания 3, 4, 5, 6.

Задание 3.Дан степенной ряд.

а) Найти область определения функции f(x), т.е. область сходимости степенного ряда.

Рассматриваем ряд из модулейи применяем к нему признак Даламбера

Отсюда найдем область абсолютной сходимости степенного ряда0 < x < 4 .

Исследуем сходимость степенного ряда в концевых точках. При х=0 получим ряд, эквивалентный гармоническому. Он расходится. Прих=4 получаем знакочередующийся ряд, который сходится по признаку Лейбница. Ответ: область определения функцииf(x) , т.е. область сходимости степенного рядах (0; 4] .

б) Задаем частичные суммы ряда

> S:=k->Sum((x-2)^n*(-1)^n/2^n/(n+1),n=0..k);

На одном чертеже строим графики 1-й, 3-й, 5-й и 20-й частичных сумм. Аргумент х меняется в области сходимости степенного ряда.

> plot({S(1),S(3),S(5),S(20)},x=0..4,color=black);

Задание 4.Вычислить ВРУЧНУЮ интеграл, взяв четыре ненулевых слагаемых стандартного разложения.

> evalf(int(1-x^2+x^4/2!-x^6/3!,x=0..1));

Вычислить затем точное значение интеграла.

> evalf(int(exp(-x^2),x=0..1));

Задание 5.Для функциинаписать ВРУЧНУЮ первые три сла­гаемых разложения Тейлора в точкех₀ =1.

Находим производные f’(x) , f”(x) ,а затем, подставляя в нихх=1 , найдем величиныf(1) , f'(1) , f''(1) . Записываем три слагаемых ряда Тейлора

f(x) = f(1) + f’(1)(x-1) + 0,5f”(1)(x-1)+…

На одном чертеже строим затем гра­фик данной функции f(x) и график многочлена Тейлора с тремя слагаемыми. При этом аргументх меняется в некоторой окрестности точких₀ , но не выходит за границы области определения функцииf(x) .

Задание 6. График полупериода нечетной периодической функции имеет вид ло­маной О—А(1,1)—В(1,2)—С(3,0).

а) Воспользуемся уравнением прямой по двум точкам и запишем уравнения каждого наклонного «куска» ломаной ОАВС .

б) Используя команду для кусочно-заданной функции, объединим два наклонных «куска» в одну функцию

> f:=x->piecewise(x<1,x,3-x);

Построим для проверки график этой функции

> plot(f(x),x=0..3);

Дополним этот график графиком, симметричным относительно начала координат. Получим нечетное продолжение графика на отрезок[–3, 0]. Затем полученный график нужно смещать по оси Х на период 2Т=6. Получим нечетное периодическое продолжение данной функции на всю числовую ось.

в) Вычисляем при помощи MAPLE коэффициенты ряда Фурье по синусам для этой функции по формуле

> b[n]:=;

и представляем нашу функцию в виде ряда Фурье

г) На одном и том же чертеже строим график данной функции и график частичной суммы ряда Фурье с 10-ю слагаемыми. Аргумент х меняется на полупериоде[0; 3] .

>plot({f(x),sum(b[n]*sin(Pi*n*x/3),n=1..10)},x=0..3,color=

black);

Объяснить, к чему сходится ряд Фурье. Ряд Фурье сходится к функции в точках её непрерывности. Для полупериода [0, 3]функция f(x) непрерывна на промежутках [0; 1)и (1; 3]. В точках разрыва скачком (при х=1) ряд Фурье сходится к среднему арифметическому левого и правого пределов (в нашем случае – к 1,5) .

ДОМАШНЯЯ РАБОТА

ПО