Машинные константы:

Pi (=  = 3,14159…) , ехр(1) (= e = 2,7182818…) , I (= ) , infinity (= +) , – infinity (= –) .

Встроенные функции (почти все пишутся с маленькой буквы).

exp(x),ln(x),log10(x),log[n](x),sqrt(x),surd(x,n),abs(x),n! ,signum(x),

sin(x),cos(x),tan(x),cot(x),arcsin(x),arccos(x),arctan(x),arccot(x),

sinh(x), cosh(x), tanh(x), arcsinh(x), arccosh(x), arctanh(x),

Heaviside(x),Dirac(x),floor(x) – целая часть отх , frac(x) – дробная часть отх .

Примечание. arctan(x,y) вычисляется какarctan(x/y) .

Список всех встроенных функций можно получить по команде >?inifcns

По каждой функции можно получить справку командой >?функция

Множества (порядок элементов не имеет значения) задаются фигурными скобками

>A: = {1,2,3,4,5}; B: = {3,4,5,6,7};

Операции над множествами: объединение АВ, пересечение АВ, разность А\В

>E: = A union B; E: = {1,2,3,4,5,6,7} .

>C: = A intersect B; C = {3,4,5} ,

>D: =AminusB;D: = {1,2} ,

При выдаче на экран элементы множества М упорядочиваются по возрастанию (если они дей­ствительные). По команде >М[n]; можно узнать значениеn - го элемента множества М.

Индексные величины (векторы) задаются квадратными скобками: А: = [1,9,3,5] .

Такие величины называются списками(list). В них важен порядок элементов. По команде >A[n]; можно узнать значениеn - й координаты списка А.

Присвоение (assignment).

Команда «Обозначим через А уравнение ln(2x²+3)=5» имеет вид

>A: =ln(2*x^2+3)=5;

Несколько присвоений можно писать в строчку через ; или через :

>x: =t+2;y: = 5:z: =a;

В первом случае присвоение выводится на экран, во втором случае – нет.

Одной из форм присвоения является команда >alias(w=F(x)); «в дальнейшем черезwбудем обо­значать функциюF(x)».

!!!Присвоение сохраняется до тех пор, пока оно не будет снято или же не будет заменено другим присвоением!!!

Прежде чем использовать переменную в новой задаче, не забудьте снять с неё присвоение!

Снятие присвоения (unassignment). Используют прямые кавычки.

Если есть присвоение >x: = 2; , то нельзя решать уравнение командой >solve(2*x+5=0,x); , так как вели­чинахуже определена (она равна 2). Нужно

ЛИБО снять присвоение командой >x:=; и уже затем решать уравнение.

ЛИБО снять присвоение командой > unassign(); и уже затем решать уравнение.

Примечание. Эта команда удобна для снятия нескольких присвоений: >unassign();

ЛИБО решать данное уравнение, переписав его в виде >solve(2*+5=0,); .

Аналогично команде >unassign(…); действует команда >restart; («начать новую жизнь»). Она очищает внутреннюю памятьMAPLEи снимает ВСЕ присвоения. Однако эта команда неудобна тем, что она удаляет загрузку всех пакетов. В версии 9.5 кнопкаrestartвыведена в меню!

Задание функции.

Функции f(x)=x² +3x , g(x,y)=x²–y³ задаются командами

>f:=x–>x^2–3*x;

>g:=(x,y)–>x^2–y^3;

Затем можно эти функции дифференцировать, интегрировать, строить графики и вычислять их значения в данной точке: f(2) ,g(3,4). Если же имеется присвоение >F:=x*y; , то это не является заданием функции. Это просто обозначение произведения. Нельзя, например, вычислить значениеF(3,–5), Для превращения этого присвоения в функцию Н(х,у) нужно выполнить команду

>H:= unapply(F,x,y);

Кусочно-заданная функция определяется командой

>f:=x–> piecewise(x<1, x^2, 3–x);

Кусочно-заданная функция определяется командой

>f:=x–> piecewise(x<=1, x^2, x<3 , 3–x, 4/x);

От таких функций можно находить производную, брать определенный интеграл, строить их графики командами >diff(f(x),x); >int(f(t),t=a..b); >plot(f(z),z=a..b);

При наличии в последней команде опции discont=trueграфики строятся без вертикальной черты в точках разрыва и даже с указанием значения, которое функция принимает в точке разрыва.

Задание последовательности.

Числовая последовательность a_n=ln(2n+3) задается командой

>a[n]: =ln(2*n+3);

Множество значений этой последовательности можно затем получить командой

>a[n]$n=1..7;

График этой последовательности (ломаная линия) строится командами

>with(plots): подгрузка графического пакета

>listplot([a[n]$n=1..7]); построение графика последовательности дляn=1, 2, …, 7.

Предел заданной последовательности находится командой

>limit(a[n],n=infinity);

Операции оценивания >evalf( ) , evalc( ) , value( )

>evalf( )– вычисляет в виде десятичных дробей величины, заданные точно.

>evalf(sqrt(2)); 1,414213562 (десять знаков по умолчанию).

Количество знаков можно изменить, если до вычисления выполнить команду >Digits:=n; либо добавить в командуevalfопцию числа знаков

>evalf(sqrt(2),15); 1,41421356237310 (15 знаков).

Если же аргументы функций заданы в десятичной форме, то оценка происходит автоматически:

>sqrt(2.0); 1.414213562

>sin(1.0); .8414709848

>evalc( )– вычисляет в точном виде значения комплексных функций

>arcsin(2); arcsin(2)

>evalc(%); ½ –I ln(2+)

>sin(1+I); sin(1+I)

>evalc(%); sin1 ch1+I cos1 sh1

>evalf(%); 1.29… + .634…I

Тот же результат можно получить, задавая аргумент в десятичном виде

>sin(1.0 + I); 1.29… + .634… I

>value( )– вычисляет в точном виде результат ОТЛОЖЕННОЙ (inertformof…) команды.

>Int(sqrt(x),x=1..2); (отложенная команда)

>value(%); точное значение интеграла

>evalf(%); 1.218951415 десятичное значение интеграла

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Подстановка.

>subs(x=a,f(x)); – подставить х=а в выражениеf(x).

>subs(x=a,y=b,f(x,y)); – подставить х=а,y=bв выражениеf(x,y).

>F:=x^2+y^2;G:=2*x+3*y; предварительное задание функций

>A:=subs(x=3,y=2,[F,G]);A=[13, 12] результат подстановки

Величина А – это список, т.е. векторная величина. Командами >A[1]; >A[2]; можно вывести на экран значения её элементов.

>B:=subs(x=3,y=2,{F,G}); B={12, 13}

В данном случае В – это множество (порядок не важен). Его элементы упорядочиваются по возрастанию (в комплексном случае элементы печатаются в порядке их вычисления в команде). Элементы множества В выводятся на экран командами >B[1]; >B[2]; .

Приведение подобных членов.

>collect(P,Q); – приведение подобных членов в выражении Р по переменной (выражению)Q.

>P: = 2*x^2+3*x*y+4*y^2+5*x+6*y;

>collect(P, x); 2x² + (3y+5)x + 4y²+6y

>collect(P, y); 4y² + (3x+6)y + 2x²+5x

Нахождение в явном виде переменной (функции) из данного уравнения.

>P:= 2*ln(x)*exp(x) –3*exp(y)+7=10*ln(x) – exp(y);

>ln(x)=solve(P, ln(x));

Если уравнение имеет вид Р = 0, то в этом случае ноль можно не писать

>y=solve(2*x*y+3*x+4*y+5, y);

Исключение неизвестной x из системы {f(x,y)=0 , g(x,y)=0}

>eliminate({f(x,y),g(x,y)},x); Ответ имеет вид: {x=x(y) , P(y)=0}

Выделение частей равенства, выделение числителя и знаменателя.

>lhs(a/b=m/n);a/bвыделение левой части равенства

>numer(%);aвыделение числителя

>rhs(a/b=m/n);m/nвыделение правой части равенства

>denom(%);nвыделение знаменателя

Команда >COMBINE( );

1) Объединение интегралов и пределов в отложенной форме (Int,Limit) в одно целое:

Пример.

>A: =Int(x^2,x=2..5);B: =Int(x^3,x=2..5);

>combine(7*A– 4*B);

Пример.

>A: =Limit(x^2,x=3):B: =Limit(x^5,x=3):C: =Limit(sin(x),x=3):

>combine(7*A*B– 10*C/B);

2) Опция trig. Преобразование многочленаP(sinx,cosx) в суммуsin(nx) ,cos(nx).

>combine(sin(x)^3+sin(x)*cos(x)^2+cos(x)^4, trig); sin x + (1/8)cos4x+(1/2)cos2x+3/8

Примечание.В версии 9.5 опциюtrigможно не писать.

3) Опция ln. Потенцирование (В версии 9.5 опциюlnможно не писать).

>combine(2*ln(3)+3*ln(2)–ln(12) , ln); ln(6)

>combine(2*ln(x)+3*ln(y)–5*ln(z), ln, symbolic);

4) Опция ехр. Умножение и деление экспонент. (В версии 9.5 опцию expможно не писать).

>combine(A,exp); e^{2x + 3y – 5z}

Команда >EXPAND(…);

1) Раскрытие всех скобок

>expand((x–1)*(x–2)*(x–3)); x³ – 6x² + 11x – 6

>expand((x–1)*(x–2)/(x–3));

Раскрытие всех скобок кроме одной, указанной в опции

>expand((x+y)*(a+b), x+y); (x+y)a + (x+y)b

>expand((x+y)*(a+b),a+b); (a+b)x+ (a+b)y

2) Экспонента от суммы – в произведение или частное

>expand(exp(a – n*b + ln(c)));

3) Сведение тригонометрических выражений к синусам и косинусам простых аргументов

>expand(tan(x – y)*sin(x + y));

>expand(sin(3*x)); 4 sin x cos²x – sin x

Команда разложения на множители >FACTOR( ).

1) Разложение на множители числителя и знаменателя

>factor((x^2 – 1)/(x^2+x– 6));

2) Разложение на множители с последующим сокращением

>factor((x^3–y^3)/(x^2–y^2));

3) Разложение многочлена на множители с рациональными коэффициентами

>factor(x^4 + 4); (x²–2x+2)(x²+2x+2)

4) Если коэффициенты многочлена содержат радикалы, то команда производит разложение на множители с аналогичными коэффициентами

>factor(x^3+x–3*sqrt(2));

5) Возможные радикалы, которые появятся в разложении, можно задать в виде опций

>factor(x^4+1, {sqrt(2)});

6) Опции можно задавать в виде корня wмногочленаP(x), используя функциюRootOf (P(x))

>alias(w=RootOf(x^2+4*x+1)); w

>factor(x^2+4*x+1, w); (x – w)(x + w + 4)

7) Если коэффициенты многочлена заданы десятичными дробями, то команда производит разложение на множители с приближенными коэффициентами.

8) При наличии опции complexпроизводится разложение с приближенными комплексными корнями.

Команда >NORMAL( );

1) Раскрытие скобок и приведение подобных членов

>normal(x^2+5*x+(2*x–3)*(1–7*x)); –13x² + 28x+ 3

Однако в команде >normal((2*x–3)*(1–7*x)); скобки не раскрываются. Здесь нужно использовать команду >expand.

2) Сокращение дробей

>normal((x^2+x–2)/(x^2+2*x–3));

3)Приведение дробей к общему знаменателю

>normal(2*x+3+4/(x–1)+5/(x–2));

Если добавить опцию “expanded”, то будут раскрыты скобки в знаменателе

>normal(2*x+3+4/(x–1)+5/(x–2),expanded);

Команда “normal” работает и в том случае, если все приведенные выше выражения нахо­дятся под знаком какой-либо функции, интеграла или предела!

Команда упрощения >SIMPLIFY( );

1) Упрощение числовых и буквенных выражений

>A: =3*(1/4)^(1/2)+5*(1/81)^(1/4);

>simplify(A); 19/6

2) Использование функции предположения assume( );

>A: = sqrt(a^2)+sqrt(b^2);

>simplify(A,assume(a>0,b<0));a~ –b~ (здесьa~ иb~ считаются положительными)

3) Упростить выражение F=x²–y²при условияхx=a+b,y=a–b

>simplify(x^2–y^2, {x=a+b, y=a–b}); 4ab

4) Упрощение тригонометрических формул (в версии MAPLE-9,5 опциюtrigможно не писать)

>simplify(sin(x)^4–cos(x)^4+cos(2*x), trig); 0

Команда преобразования >CONVERT( );

1) Преобразование рациональной дроби в сумму многочлена и простейших дробей

>R: = (3*x^3+2*x^2+x)/(x^2–3*x+2);

>convert(R, parfrac, x);

2) Превращение равенства в неравенство и обратно

>convert(a=b, lessthan); a < b

>convert(a=b, lessequal); a  b

>convert(a<b, equality); a = b (возможны варианты a>b, a<=b, a>=b)

3) Если результат интегрирования содержит непривычные функции arcsinh(x) , arctanh(x) , то для приве­дения результата к привычному виду можно применить команду >convert(%,ln);

Аналогично, гиперболические функции sinh(x), cosh(x), tanh(x) можно выразить через экспо­ненты командой >convert(%,exp);

4) Превращение периодической десятичной дроби в обыкновенную

>convert(%,rational);

5) Превращение множества (set) >M:={a,b,c}; в список (list) >M:=[a,b,c]; и обратно

>convert(M,list); >convert(M,set);

Полный список опций команды «convert» можно получить по команде >?convert. Затем справку по интересующей нас опции можно получить командой >?convert[опция].

Полиномы

Пусть задан полином >P: =a*x^2+b*x+c: Тогда возможны команды

1) Старший коэффициент >lcoeff(P); a

2) Младший коэффициент >tcoeff(P); c

3) Все коэффициенты >coeffs(P,x); c , b , a

4) Все коэффициенты и соответствующие иксы >coeffs(P,x,’s’);s;c,b,a

1 , x,x²

5) Коэффициент при n-ой степених >coeff(P,x,n); или >coeff(P,x^n);

6) Список слагаемых >convert(P,list); [ax²,bx,c]

7) Частное от деления Р на Q>quo(P,Q,x); (остаток не вычисляется)

8) Остаток от от деления Р на Q>rem(P,Q,x);