Неравенства

Строгие неравенства задаются значками < , > , нестрогие – значками <= , >= . Решаются неравенства (и системы неравенств) той же командой, что и уравнения

>solve(1/x>=1,x); RealRange(Open(0),1)

>solve(1/x>=1,{x}); {0 <x,x≤ 1}

Ответ {x=x} означает «при любыхх ». Отсутствие ответа означает, что нет решения

При решении функциональных неравенств MAPLEиногда не учитывает область определения функ­ции. Например

>solve(arcsin(x)<Pi/6, {x}); {x< ½} (должно быть –1≤ х < ½ )

В этом случае следует рассмотреть систему «неравенство + ОДЗ».

Для приближенного решения неравенств используется команда

>evalf(solve(f(x)<g(x),{x})); коэффициенты следует задавать в виде десятичных чисел!

>evalf(solve(exp(x)<2.0*x+1, {x})); {0 < x , x < 1.256431208}

СУММЫ.Вычисляются командами >sum(f(n), n=N1..N2); или >Sum(f(n), n=N1..N2);

Исполняемая команда пишется с маленькой буквы. Результатом команды является значение суммы. Отложенная команда (пишется с большой буквы) выполняется, но ответ не выводится на экран. На экране появля­ется общепринятая запись суммы (это удобно для проверки).

>Sum(f(n),n=3..10);

Команда >value(%); производит затем точное вычисление этой суммы

>Sum(1/n,n=2..5); Отложенная команда

>value(%); 77/60 Точное значение суммы

>evalf(%); 1.283333333 Десятичное значение суммы

Конечные суммы

>sum(p^2,p=1..n); сумма квадратов

>simplify(%);n³/3+n²/2+n/6

>sum(x^p,p=0..n); сумма геометрической прогрессии

Используют также следующие команды суммирования

>add(f(n), n=3..5); f(3)+f(4)+f(5)

>add(f(n), n=[a,b,c]); f(a)+f(b)+f(c)

Бесконечные суммы

>sum(n*x^n, n=1..infinity);

>sum(1/n^2, n=1..infinity);

>sum(1/n^10,n=1..infinity);

ПРОИЗВЕДЕНИЯ. Находятся командами >product(f(p), p=N1..N2); или >Product(f(p),p=N1..N2);

Отложенная команда (пишется с большой буквы) выполняется, но результат не выводится на экран. На экране появля­ется общепринятая запись произведения (удобно для проверки).

>Product(f(p), p=m..n);

Команда >value(%); производит затем вычисление этого произведения в точном виде

>Product(n/(n+1), n=1..100);

>value(%); 1/101

Бесконечные произведения

>Product(1+1/n/(n+2), n=1..infinity);

>evalf(%); 2

Для вычисления произведения используются также следующие команды

>mul(f(n),n=2..5); или >mul(f(n),n=[a,b,c]);

ПРЕДЕЛЫ.

MAPLEочень неплохо вычисляет пределы функций с использованием команд

>limit(f(x),x=а); двусторонний предел в точкех=а ;

>limit(f(x),x=а,left); предел в точкех=а слева;

>limit(f(x),x=a,right); предел в точкех=а справа;

>limit(f(x),x=infinity); предел на плюс бесконечности;

>limit(f(x),x= –infinity); предел на минус бесконечности;

>limit(f(x),x=infinity,real); предел на плюс-минус бесконечности.

Пример. Найти предел

>limit((cos(x)–sqrt(1–x^2))/(x^2–x*sin(x)), x=0); ответ: 1.

Если команду написать с большой буквы (Limit), то это будет отложенная форма команды. Она выполняется, результат запоминается, но не пишется на экран. Вместо ответа на экран выдается запись предела в нормальном человеческом виде. По этой записи удобно проверять правильность введенной команды. Значение предела можно найти затем по команде >value(%);

Пример.

>Limit(sqrt(x^2+1)/(x+2), x = – infinity);

>value(%); – 1

Односторонние пределы

>Limit((2*exp(1/x)+3)/(exp(1/x)+1), x = 0, left);

>value(%); 3

>Limit((2*exp(1/x)+3)/(exp(1/x)+1), x = 0, right);

>value(%); 2

Комбинация отложенной и исполняемой команд

>Limit(sqrt(2*ln(x)^2+3)/(3*ln(x)+1),x=0) =limit(sqrt(2*ln(x)^2+3)/(3*ln(x)+1),x=0);

= –

Примечание.Пределы от выражений, содержащих десятичные числа, иногда не вычисляются

Пример. . Следует заменить 0.5 на ½ .

ОШИБКА ПАКЕТА MAPLE. Предел????????

Асимптотика функции на +

>asympt(f(x),x,n); (еслиn не указано, то оно считается равным значению константы, задавае­мой командой >Order: =n; по умолчанию эта константа равна 6).

>asympt(sqrt(x^2+6*x+1),x,3);

>asympt((2*x+3)*exp(1/x),x);

Линейная часть асимптотики даёт асимптоту кривой на +.

Асимптотика функции y = f(x) на –вычисляется двумя командами

>asympt(f(– x), x, n);

>subs(x= –x, %);

Можно эти две команды объединить в одну >subs(x= –x,asympt(f(–x),x,n));

Формула Тейлора-Пеано

По команде >series(f(x),x=a,n); или по команде >taylor(f(x),x=a,n); получаем

Командой >coeff(%, (x–a)^k); можно затем определить коэффициент при (х–а)^к.

Формулу Маклорена можно получить командой >f(x):=taylor(f(x),x,n);

f(x):=

Если n не указано, то по умолчанию оно считается равным 6 либо равным значению кон­станты, задаваемой предварительно командой >Order: =n; .

>taylor(exp(x),x,3); 1+x+x²/2+О(x³)

Превращение формулы Тейлора в полином производится командой

>y:=convert(%,polynom);y: = 1+x+x²/2 (можно строить график!)

>plot({exp(x),y},x= – 2..2); графическое сравнение полинома Тейлора и экспоненты.

Команда >taylor(f(x),x=infinity,n); вычисляет асимптотику функции на +:

>taylor(sqrt(x^2+2*x+3), x=infinity, 3); x + 1 + 2/x – 2/x² + О(1/x³)

Работу со степенными рядами обеспечивает пакет >with(powseries);

Дифференцирование

Отложенная команда >Diff(f(x,y),x,y,y);

Исполняемая команда >diff(f(x,y),x,y,y);

Производные высокого порядка вычисляются командой

>diff(f(x,y),x$5,y$7);

Дифференциал

>y:= sqrt(5–x^2);

>dy:=diff(y,x)*dx;

Численное значение дифференциала >subs(x=2,dx=0.03,dy); – 0.06

>z:= x^2*y^3; z : = x² y³

>dz:= diff(z,x)*dx+diff(z,y)*dy; dz : = 2 x y³ dx + 3 x² y² dy

Численное значение дифференциала >subs(x=1,y=1,dx=0.01,dy=0.01,dz); 0.05

Проверить, что функция z = ln(x²+y²) является гармонической

>z:= ln(x^2+y^2):

>diff(z,x,x)+diff(z,y,y);

>simplify(%); 0

Примечание. Кроме командыdiffдля нахождения производной имеется ещё командаD(y)(x). Результатом этой команды является функция (вместох можно что-то подставлять).

Пример. >y:=x–>x^2;

>diff(y(x),x); 2x. Здесь нельзя вычислятьdiff(y(7),x); Получим ноль!

>D(y)(x); 2x. Здесь можно вычислитьD(y)(7); Получим 14.

Производная от неявно заданной функции.

Пусть неявная функция у=y(x,z) задана уравнением F(x,y,z)=0 .Производная от этой неявной функции находится по команде

>implicitdiff(F(x,y,z),y,z); производная от функцииу=y(x,z) по переменнойz .

>implicitdiff(F(x,y,z),y,z,x); 2-я производная от у=y(x,z) по переменнымz , x .

Интегрирование

1) Неопределенный интеграл.

Отложенная команда пишется с большой буквы. Результат удобен для проверки.

>Int(exp(sqrt(x)),x);

>value(%);

Исполняемая команда >int(exp(x/2),x); 2e^x/2

Можно сочетать отложенную и исполняемую команды

>Int(x*exp(x),x)=int(x*exp(x),x); .

Примечание. В некоторых случаях программа использует в ответе непривычные обратные ги­перболические функцииarcsinh(x), arccosh(x), arctanh(x). В этом случае для получения резуль­тата в привычном виде можно применить команду >convert(%,ln);

2) Определенный интеграл

Отложенная команда >Int(exp(sqrt(x)),x=0..4);

>value(%); 2e² + 2

>evalf(%) 16.77811220

Исполняемая команда >int(sqrt(x),x=1..2);

>evalf(%); 1.218951415

Их сочетание >Int(sqrt(x),x=1..2)= int(sqrt(x),x=1..2);

3) Двойной интеграл

Отложенная команда >Int(Int(2*x*y,y= –x..x^2),x=0..1);

>value(%);

>evalf(%); – .08333333333

Исполняемая команда >int(int(2*x*y,y= –x..x^2),x=0..1);

Много команд, связанных с интегрированием, находятся в пакетеstudent,который подгружа­ется командой>with(student): .Эти команды носят иллюстративный учебный характер.

4) Замена переменной в неопределенном интеграле. >with(student):

>changevar(x=x(t), Int(f(x), x), t);

Замена переменных может производится также в виде x(t)=x,t=t(x) ,t(x)=t

5) Замена переменной в определенном интеграле. >with(student):

>changevar(x=x(t), Int(f(x), x=a..b), t);

>Int(sqrt(x), x=2..5)= changevar(sqrt(x)=t, Int(sqrt(x), x=2..5), t);

6) Интегрирование по частям. >with(student):

>intparts(Int(f(x),x),u(x)); задается интеграл ии(х).

>intparts(Int(x*exp(x),x),x);

> Int(x*exp(x),x)=intparts(Int(x*exp(x),x),exp(x));

7) Идея формул прямоугольников (результат выполнения команды – рисунок). >with(student): >leftbox(f(x), x=a..b, n , color=black); >rightbox(f(x), x=a..b, n , color=red);

>middlebox(f(x), x=a..b, n , color=green);

Соответствующие этим картинкам ступенчатые площади вычисляются командами

>leftsum(f(x), x=a..b, n); >rightsum(f(x), x=a..b, n); >middlesum(f(x), x=a..b, n);

Ответ дается в точном виде. Далее следует применить команду >evalf(%);

8) Формула трапеций >with(student): >trapezoid(f(x), x=a..b, n);

Ответ дается точный. Далее применяем команду >evalf(%);

9) Формула Симпсона >with(student): >simpson(f(x), x=a..b, 2n);

Ответ дается точный. Далее применяем команду >evalf(%);

10) Двойные интегралы >with(student):

>Doubleint(f(x,y), y = m(x)..n(x), x = a..b);

>value(%);

11) Замена переменных в двойном интеграле >with(student):

>changevar({x=x(u,v), y=y(u,v)}, Doubleint(f(x,y), x,y), [u,v]);

>changevar({x=u*cos(v), y=u*sin(v)}, Doubleint(x*y, x,y), [u,v]);

13) Тройные интегралы >with(student):

>Tripleint(f(x,y,z), z=z₁(x,y)..z₂(x,y), y=y₁(x)..y₂(x), x=a..b);

>value(%);

Замена переменных в тройном интеграле – аналогично двойному интегралу.

14) Криволинейные интегралы 1-го рода >with(student):

>Lineint(f(x,y,z), x=x(t), y=y(t), z=z(t), t = ..);

>value(%);

Пример. Вычислить интеграл

>Lineint((3*x+sqrt(y))/sqrt(4+9*x), x=t^2, y=t^3, t =0..2);

>value(%);

15) Криволинейные интегралы 2-го рода (вычисляются без подгрузки “student”).

Интеграл по дуге АВ:x=x(t),y=y(t),t[a,b] вычисляется так:

>w: =P(x,y)*dx+Q(x,y)*dy; задание подынтегрального выражения

>x: = x(t); y: = y(t); dx:=diff(x,t); dy:=diff(y,t);задание дуги АВ и дифференциалов

>int(w,t=a..b); вычисление криволинейного интеграла.

16) Кривая и касательная к ней (рисунок) >with(student):

>showtangent(f(x), x=a);

Изображается кривая на отрезке [–10, 10] (если она там умещается) и касательная к ней в точке с координатой х = а.

ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ

Подгрузка >readlib(extrema):

Команда >extrema(f(x), {},x, ‘s’);s; дает минимальное и максимальное значения функции и точки, в которых эти значения достигаются.

>extrema(x^3–3*x, {},x, ‘s’);s; { –2 , 2} {{x=1} , {x= –1}}

Условный экстремум функции z=f(x,y) при условииg(x,y)=0

>extrema(f(x,y),{g(x,y)},{x,y},’s’); s;

В ответе получаем наибольшее и наименьшее значения функции и точки, в которых эти значе­ния достигаются.

>extrema(x+y,{x^2+y^2=2},{x,y},’s’); s; {–2, 2} {{x= –1,y= –1},{x=1,y=1}}.

Здесь Z_min= –2 , Z_max= 2 , критические точки (–1, –1) и (1, 1)

Безусловный экстремум функции z=f(x,y) разыскивается командой

>extrema(f(x,y),{},{x,y},’s’);s;

Вычисляются наибольшее и наименьшее значения функции и все критические точки.

>extrema(x^3+y^3–3*(x+y), {}, {x,y},’s’); s;

{–4, 4} {{x=1,y=1},{x= –1,y=1},{x=1,y= –1},{x= –1,y= –1}}

НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ

>maximize(f(x)); – наибольшее значение функцииf(x) в области определения.

>maximize(f(x),x=a..b); – наибольшее значение функцииf(x) на отрезке [a,b].

Опция locationпозволяет узнать не только наибольшее значение функции, но и точку, в которой это значение достигается.

Аналогичным образом действует команда >minimize(…);

Эти команды можно применять также для функции многих переменных, но область в этом случае должна быть прямоугольной типа [a,b][m,n] .

ТФКП

Мнимая единица обозначается через I , комплексное число – черезa+b*I

Арифметика такая же, как и для действительных чисел

>(2+3*I)  (5 – 7*I); >(2+3*I)*(1+I); >(1–I)/(5+6*I);

>z:=solve((1+2*I)/z=(3+4*I)/(5+6*I), z); z:=

Действительная часть >Re(a+b*I);a

Мнимая часть >Im(a+b*I); b

Сопряженное число >conjugate(a+b*I); a–b*I

Модуль >abs(3+4*I); 5

Аргумент >argument(–3 – 5*I); arctg(5/3) – 

Одновременное вычисление модуля и аргумента производится командой >polar( ); , которая подгружается командой >readlib(polar):

>polar(a+b*I); polar( mod(a+b*I) , arg(a+b*I))

>polar(exp(1+4*I)); polar(e , 4–2)

>polar(ln(I));polar(/2 ,/2)

Вычисление значений функций

>exp(2+3*I); e^2+3I

>evalc(%); e²cos3 + I e²sin3

>evalf(%); – 7.315110095 + 1.042743657I

Аналогично вычисляются все прочие функции. При вычислении корней, логарифмов и степе­ней с комплексными показателями вычисляется главное значение.

Конформные отображения смотри в разделе «Графика на плоскости».

Ряды Лорана в полюсе.Загрузить >with(numapprox,laurent):

>laurent(f(z),z=a,n); – ряд Лорана функцииf(z) вполюсе(!) z = a , разложение доn-го по­рядка. Если порядок не указан, то считается, что он равен константе >Order: =n. По умолча­нию эта константа равна 6.

>laurent(f(z),z,n); производится разложение в ряд Лорана в точкеz = 0.

>laurent(1/sin(z)/(exp(z)–1),z);

>coeff(%,z^(–1)); –1/2 (этот коэффициент равен вычету функции в нуле)

Ряд Лорана в существенно особой точке.Загрузить>with(numapprox, laurent):

Если правильная часть ряда Лорана конечна(!), то разложение функции f(z)в сущест­венно особой точке z₀ = a производится двумя командами

>F: = f(z); z0: = a;

>subs(t = 1/(z–z0), laurent(subs(z = z0+1/t, F), t, n));

Пример. Разложить функцию в точкеz₀ = 1.

>F:= z^2*exp(z/(z–1)); z0:= 1;

>subs(t = 1/(z–z0), laurent(subs(z = z0+1/t, F), t, 5));

Вычеты в полюсе.

>residue(f(z),z=a); Команда вычисляет вычет функцииf(z) вполюсеz=a.

>residue(z/(z^4+1)^2, z=I); 1/8

>residue(1/(z^4+4)^2, z=1+I); –3/256 – I*3/256

>residue(1/(exp(z)–1), z=0); 1

>residue(1/(z–sin(z)), z=0); 3/10

>residue(1/(exp(z)–1–z), z=0); –2/3

Вычеты в существенно особой точке(при конечной правильной части ряда Лорана)

Загрузить >with(numapprox, laurent):

>F:= f(z); z0:= a; n:=6;

>res(F, z=z0):= coeff(laurent(subs(z=z0+1/t, F), t, n), t);

Операционное исчисление, >with(inttrans, laplace):

Преобразование Лапласа >laplace(f(t),t,p); изображениеF(p)

Обратное преобразование Лапласа >invlaplace(F(p),p,t); оригиналf(t)

>laplace(exp(t)*sin(t), t, p);

>invlaplace(2*p/(p–1)^2/(p^2+1), p, t); t e^t – sin t

В качестве оригиналов можно брать Dirac(t), Heaviside(t–а), exp(at+b), sin(at+b), cos(at+b),

sinh(at+b),cosh(at+b), свёртку, производную, линейную комбинацию всех этих функций, а также их произведение.

>F:=Int(exp(t–z)*cos(z), z=0..t);

>laplace(F, t, p);

Решение задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений.

Решить операционным методом задачу Коши y”+y’– 2y=e^t , y(0)=2, y’(0)=3 .

>diff(y(t),t,t)+diff(y(t),t)–2*y(t)=exp(t):

>laplace(%, t, p):

>subs(y(0)=2, D(y)(0)=3, %):

>solve(%, laplace(y(t), t, p)):

>invlaplace(%,p,t);

Решение интегральных уравнений.

Пример 1. Решить интегральное уравнение.

>Int(cos(t–z)*y(z),z=0..t)=t^2*exp(t):

>laplace(%, t, p):

>solve(%, laplace(y(t), t, p)):

>invlaplace(%, p, t); y(t)=2t²e^t + 2e^t – 2

Пример 2.

>y(t)=sin(t)+t*cos(t)+Int(sin(t–z)*y(z),z=0..t):

>laplace(%, t, p):

>solve(%, laplace(y(t), t, p)):

>invlaplace(%, p, t); y(t)=2sin(t)

Интерполяционный полином

Построение интерполяционного полинома по таблице

>interp([x1, x2, x3, … xn],[y1, y2, y3, … yn], x); P_n–1(x)

>interp([1,2,3],[3,7,13],t);t²+t+ 1

ОПЕРАЦИЯ “МАР”

Эта операция позволяет применить данное действие к каждому элементу списка (вектора) или множе­ства. Результат – список (вектор) или множество (элементы множества упорядочиваются).

Примеры.

>f:=x–>x^2; >map(f,{3,1,4}); ответ: {1,9,16} – результат упорядочен

>map(diff,[sin(x), exp(2*x)],x); ответ: [cos(x), 2e^2x]

>map(int, [2*x, 3*x^2],x); ответ: [x²,x³]

>map(limit,[2*x+7, 5*x],x=1); ответ: [9, 5] – результат неупорядочен

>map(laplace, [t, exp(t)],t,p); ответ: [1/p², 1/(p–1)]

>map(invlaplace,[1/p², 1/(p–1)],s,t); ответ: [t, exp(t)]

>map(dsolve, [D(y)(x)=2*x,D(y)(x)=3*x^2], y(x)); ответ: [y(x)=x²+_C1, y(x)=x³+_C1] .