21. Ротор векторного поля.Формула Стокса.

Ро́тор, или вихрь — векторный дифференциальный оператор над векторным полем. Показывает, насколько и в каком направлении закручено поле в каждой точке. Ротор поля F обозначается символом rot F , а также  где  — векторный дифференциальный оператор набла.

Математическое определение

Ротор векторного поля — вектор, проекция которого на каждое направление равна пределу отношения циркуляции векторного поля по контуру L плоской площадки ΔS, перпендикулярной к этому направлению, к величине этой площадки, когда размеры площадки стремятся к нулю, а сама площадка стягивается в точку:.

Нормаль  к площадке направлена так, чтобы при вычислении циркуляции обход по контуру L совершался против часовой стрелки.

В трёхмерной декартовой системе координат  вычисляется следующим образом:

Для удобства запоминания можно условно представлять ротор как векторное произведение:

где i, j и k — единичные орты для осей x, y и z соответственно.

Векторное поле, ротор которого равен нулю в любой точке, называется потенциальным (безвихревым).

Основные свойства

Следующие свойства могут быть получены из обычных правил дифференцирования.

• Линейность:

для любых векторных полей F и G и для всех вещественных чисел a и b.

• Если  — скалярное поле, а F — векторное, тогда:

или

• Дивергенция ротора равна нулю:

 или 

При этом верно и обратное: если поле F бездивергентно, оно есть поле вихря некоторого поля G:

• Если поле F потенциально, его ротор равен нулю (поле F — безвихревое):

Верно и обратное: если поле безвихревое, то оно потенциально:

для некоторого скалярного поля 

• Теорема Стокса: циркуляция вектора по замкнутому контуру, являющемуся границей некоторой поверхности, равна потоку ротора этого вектора через эту поверхность:

22.Дифференцирование функции нескольких переменных. Полный дифференциал, его геометрический смысл.

Если каждой точке М(х1,х2,…,хn) из множестваDточек пространстваRпоставлено в соответствие по некоторому закону числоz,то говорят, что на множествеDопределенафункция n переменных.

z=f(x1,x2,…,xn).

Пусть функция u = f(x₁, x₂,  … , x_n) определена в некоторой окрестности точки a = (a₁, a₂,  … , a_n) .

Определение 1. Функция u = f(x₁, x₂,  … , x_n) называется дифференцируемой в точке a = (a₁, a₂,  … , a_n) , если ее полное приращение

Δu = f(a1 + Δx1, a2 + Δx2,  … , an + Δxn) − f(a1, a2,  … , an)

можно представить в виде

Δu = A1 · Δx1 + A2 · Δx2 + … + An · Δxn + α1 · Δx1 + α2 · Δx2 + … +αn· Δxn,

(1)

где A_k — некоторые числа, не зависящие от Δx_k ( k = 1,2, … ,n ), α_k — функции Δx₁,  … , Δx_n , бесконечно малые при Δx₁ → 0,  … , Δx_n → 0 и равные нулю при Δx₁ = 0,  … , Δx_n = 0 .

Определение 2. Если функция u = f(x₁, x₂,  … , x_n) дифференцируема в точке a = (a₁, a₂,  … , a_n) , то линейная относительно Δx₁,  … , Δx_n часть ее приращения называется дифференциалом (или полным дифференциалом) функции u в точке a .

Таким образом