23.Экстремум функции многих переменных. Необходимое и достаточное условие.
Определение. Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М0(х0, у0) верно неравенство
то точка М0 называется точкой максимума.
Определение. Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М0(х0, у0) верно неравенство
то точка М0 называется точкой минимума.
Теорема. (Необходимые условия экстремума).
Если функция f(x,y)
в точке (х0,
у0)
имеет экстремум, то в этой точке либо
обе ее частные производные первого
порядка равны нулю 
,
либо хотя бы одна из них не существует.
Эту точку (х0, у0) будем называть критической точкой.
Теорема. (Достаточные условия экстремума).
Пусть в окрестности критической точки (х0, у0) функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Рассмотрим выражение:
1)Если D(x0, y0) > 0, то в точке (х0, у0) функция f(x, y) имеет экстремум, если
-
максимум, если 
-
минимум.
2) Если D(x0, y0) < 0, то в точке (х0, у0) функция f(x, y) не имеет экстремума
В случае, если D = 0, вывод о наличии экстремума сделать нельзя.
24.Понятие устойчивости решения дифференциального уравнения. Асимптотическая устойчивость. Теорема Ляпунова об устойчивости.
Теорема
Ляпунова: Если для
системы дифференциальных уравнений
i=1…n
существует знакоопределенная функция
V(x1,x2..xn),
полная производная которой составлена
в соответствии с системой, есть функция
знакопостоянная знака противоположного
знаку функции V,
то решение этой системы устойчиво. (если
знакопостоянную заменить на знакопеременную,
то решение асимптотически устойчиво)
Рассмотрим
дифференциальное уравнение
Пусть некоторое фиксированное решение y = φ(x) этого уравнения существует при всех x≥ x0 .
Решение y = φ(x) уравнения называется устойчивым по Ляпунову при x ≥ x0 , если для любого ε > 0 существует число δ > 0(зависящее, вообще говоря, от ε ) такое, что:
1) решение y = y(x) задачи Коши с начальным условием y(x0 ) , |y(x0) − φ(x0) | < δ , существует при всех x ≥ x0 ;
2) для всех таких решений справедливо неравенство |y(x) − φ(x) | < ε , при всех x > x0 . Геометрически это означает, что интегральные кривые y = y(x), близкие в момент x = x0 к интегральной кривой y = φ(x), остаются близкими к ней и на всем промежутке [x0, ∞) .
Решение y = φ(x) называется неустойчивым по Ляпунову при x ≥ x0 , если существует число ε > 0 такое, что для любого δ > 0
найдутся решения y = yδ(x) и значение x1 = x1(δ) > x0 такие, что хотя | yδ( x0) − φ( x0) | < δ , но |y( x1) − φ( x1) | ≥ ε .
Рассмотрим
дифференциальное уравнение
Пусть некоторое фиксированное решение y = φ(x) этого уравнения существует при всех x≥ x0 .
Решение y = φ(x) уравнения называется асимптотически устойчивым по Ляпунову при x → ∞ , если
1)это решение устойчиво по Ляпунову при x ≥ x0 ;
2)для любого δ > 0 и для всех решений y = y(x) задачи Коши с начальным условием y(x0 ) , |y(x0) − φ(x0) | < δ , разность |y(x) − φ(x) | → 0 при x → ∞ .
Геометрически это означает, что интегральные кривые y = y(x), близкие в момент x = x0 к интегральной кривой y = φ(x), становятся как угодно близкими к ней при x → ∞ .