Шпора (Word)
.docТеорема: Для того, чтобы имела в т. предел, необходимо и достаточно чтобы существовали односторонние пределы: .
Функция называется непрерывной в т. , если .
Замечание: элементарные функции непрерывны в точках, где определены.
Точка , называется точкой разрыва первого рода если: 1) 2) Существуют конечные односторонние пределы, но они не совпадают, т.е. не существует предела.
Точка , называется точкой разрыва второго рода если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.
№7. Предел функции в бесконечности. Наклонная асимптота графика функции. Горизонтальная асимптота графика функции.
: Число называется пределом функции в бесконечности, если , , т.ч. для всех : .
Прямая на плоскости, к которой неограниченно приближается график функции, называется асимптотой графика.
Прямая является наклонной асимптотой, если существуют оба предела: , . Пояснение между графиком функции и прямой. По определению асимптоты: , . Рассмотрим , .
Горизонтальная асимптота – это частный случай наклонной асимптоты, если угловой коэффициент .
№11. Производная обратной функции. Производные обратных тригонометрических функций.
I. Если (D – область определения) поставлен в соответствие , говорят, задана функция . Если это взаимно однозначно, то можно рассмотреть функцию , которая ставит в соответствие x.
Теорема: Пусть и взаимно обратные функции, тогда или . Доказательство. Пусть обе функции дифференцируемы в некоторой точке. Тогда, , т.к. обе функции дифференцируемы непрерывны, т.е. при . Тогда, .
а) , , тогда ,
б) , , ,
в) , , ,
г) , , .
№12. Производные и дифференциалы высших порядков.
I. Производной 2-го порядка от функции называется производная от ее первой производной: . Вообще, производной n-го порядка называется производная от производной порядка n-1: .
II. Пусть функция дифференцируема, тогда приращение функции , следовательно - дифференциал I-го порядка.
Рассмотрим 1-й случай, когда x – независимая переменная. Тогда - число. Предполагая, что функция дифференцируема дважды в т. x, найдем дифференциал от дифференциала I-го порядка при : , - полученное выражение при называется дифференциалом II-го порядка. Аналогично: , .
Рассмотрим 2-й случай, когда , а - соответственно сложная функция. Тогда - дифференциал I-го порядка, а - функция, . Тогда: , , , . Дифференциалы 2-го (и более высокого порядка) не обладают инвариантностью формы (т.е. меняют вид в зависимости от x).
№13. Функции, непрерывные на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
Функция называется непрерывной в точке , если .
Функция называется непрерывной на интервале , если она непрерывна в каждой точке интервала .
Будем говорить, Функция называется непрерывной на интервале , если она непрерывна в каждой точке интервала и , .
Свойства (для интервалов , и ):
1) Если функция непрерывна в точке , то в некоторой окрестности этой точки знак совпадает со знаком .
2) Если функция непрерывна на интервале и , то существует хотя бы одна точка , т.ч. .
3) Если функция непрерывна на интервале , то она достигает на этом интервале наибольшее и наименьшее значения, т.е. , т.ч. и .
4) Если функция непрерывна на интервале , то она ограничена.
№14. Основные теоремы дифференциального исчисления (Ролля, Лагранжа, Коши), геометрический смысл.
Теорема Ролля: Пусть функция непрерывна на отрезке , дифференцируема хотя бы на отрезке и значение функции на концах отрезка совпадает, т.е. , тогда существует хотя бы одна точка , т.ч. .
Доказательство. 1) Пусть наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке совпадают, т.е. и функция постоянна тогда производная . 2) Пусть функция непостоянна, тогда она достигает на интервале наибольшего и наименьшего значения. Причем функция не может достигать и на концах отрезка, т.к. и функция была бы постоянна. Значит, внутри интервала есть точка экстремума , .
Геометрический смысл. Если все условия теоремы выполнены, то на графике функции существует точка , через которую проходит касательная к графику функции, параллельно оси x.
Теорема Лагранжа: Пусть функция непрерывна на отрезке , дифференцируема хотя бы на отрезке , тогда существует точка , т.ч. .
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию непрерывную на отрезке , дифференцируемую хотя бы на отрезке : . Тогда , а , т.е. выполнены все условия теоремы Ролля и существует , т.ч. . Следовательно, , .
Из теоремы Лагранжа следует формула конечных приращений: .
Геометрический смысл. - угла наклона секущей (хорды), стягивающей точки и графика . - угла наклона касательной к графику функции , через точку касания . Если все условия теоремы Лагранжа выполнены, то касательная проходящая через точку , параллельна секущей (хорде), точки и графика .
Теорема Коши: Пусть функция и непрерывны на отрезке , дифференцируемы хотя бы на отрезке , , тогда существует точка , т.ч. .
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию непрерывную на отрезке , дифференцируемую хотя бы на отрезке : . Тогда , , т.е. выполнены все условия теоремы Ролля и существует , т.ч. . Следовательно, , .
№15. Правило Лопиталя для вычисления пределов
Теорема: Пусть и б/м () определенные и дифференцируемые в окрестности т. , за исключением может быть самой т. , причем и , существует . Тогда .
Доказательство. Пусть - конечное число. Доопределим функции и , предполагая, что . Тогда эти функции непрерывны в точке . Рассмотрим интервал , где . Тогда и непрерывны на отрезке и дифференцируемы на интервале . Тогда по теореме Коши , т.ч. , или . Т.к. , то и . Следовательно получим: .
Теорема: Пусть и б/б () определенные и дифференцируемые в окрестности т. , причем и , существует . Тогда .
Т.е. правило Лопиталя годится не только для неопределенностей вида , но и для .
№16-17. Условия возрастания и убывания дифференцируемой функции
Функция на интервале , при , где , называется возрастающей, если и убывающей, если .
Пусть функция дифференцируема на интервале при всех тогда: если , то функция возрастает на , а если , то функция убывает на этом интервале.
Если существует окрестность точки , такая что для всех точек , принадлежащих этой окрестности, выполняется неравенство (или ), то - называется точкой минимума (максимума) этой функции, а - локальным минимумом (максимумом) этой функции.
Точки максимума и минимума функции называются точками локального экстремума.
Теорема (необходимое условие экстремума): Если имеет в точке экстремума производную , то .
Замечание. В точке экстремума:
1) может не существовать производной. Пример: , -минимум, а не существует.
2) . Пример: , -минимум, но
Вывод: если в т. экстремум, то , , не существует.
Теорема (достаточное условие экстремума): Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точки , может быть за исключением самой точки . Тогда, если при переходе через точку , меняет знак с "+" на "–", то в точке - максимум, а если с "–" на "+" – минимум. Если же не меняет свой знак при переходе через точку , то она не является точкой экстремума.
№18. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
Рассмотрим произвольный многочлен степени : .
Где - постоянные числа, коэффициенты многочлена.
Найдем последовательные производные и вычислим :
,
,
Т.е. , (), где мы считаем, что , .
Тогда получим многочлен Тейлора:
Если надо представить многочлен вида: . Где - любое фиксированное число. Проделав аналогичную процедуру получим:
- формула Тейлора для многочлена по степеням .
Любую функцию можно представить в виде многочлена: . Где - многочлен Тейлора, а - остаточный член. Т.е.: , если мало, то .
Остаточный член в форме Лагранжа: , .
Замечание: остаточный член мал, как правило, можно пренебречь по сравнению с предыдущим слагаемым.
Рассмотрим и , следовательно , называется б/м более высокого порядка чем , т.е. - остаточный член в форме Пеано.
Замечание: если взять минимальное число членов формулы Тейлора, то получатся формулы асимптотического разложения.
,
Формула Тейлора даёт более точное разложение: