Теорема о базисном миноре

Теорема. В произвольной матрице А каждый столбец (строка) является линейной комбинацией столбцов (строк), в которых расположен базисный минор. Таким образом, ранг произвольной матрицы А равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) в матрице. Если А- квадратная матрица и detA = 0, то по крайней мере один из столбцов - линейная комбинация остальных столбцов. То же самое справедливо и для строк. Данное утверждение следует из свойства линейной зависимости при определителе равном нулю

11

Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений.

Процесс решения состоит из двух этапов. В первом систему приваодят к ступенчатому виду. Во втором решают ступенчатую систему. Если ступенчатая система оказывается треугольной, то исходная система имеет единственное решение.

12

Формулы Крамера.Решение неоднородной системыуравнений снеизвестными, имеющей невырожденную основную матрицу системы, находится по формулам

,

где - определитель системы;- определитель матрицы, получаемой из основной матрицы системы заменой её-го столбца столбцом свободных членов.

Примеры

1. Решить систему уравнений

Решение.Будем решать методом Гаусса. Выпишем расширенную матрицу системы и преобразуем её, вычитая первую строку, умноженную на 2, 3 и 1 соответственно из 2-ой, 3-ей и 4-ой строк:

.

Далее вторую строку, умноженную на 2 и 3, вычтем соответственно из третей и четвёртой строк:

Последняя матрица эквивалентна следующей ступенчатой системе:

30

Полученная упрощённая система представляет собой систему из двух уравнений для четырёх неизвестных. Следовательно, два из неизвестных можно выбрать за главные, а два - за свободные, через которые будут выражены главные. В качестве главных неизвестных можно выбрать любую пару, если определитель, составленный из коэффициентов, стоящих перед ними, отличен от нуля (базисный

минор). В данной задаче в качестве главных неизвестных можно выбрать .

Действительно, определитель, составленный из их коэффициентов, отличен от нуля:

.

Теперь из второго уравнения выразим через. Затем подставим его в первое уравнение и найдёмчерез. В итоге получим

Переменные принимают произвольные значения. Положив, общее решение системы можно записать в виде

.

13

Совокупность уравнений

относительна неизвестных x₁,x₂, ...,x_n-1,x_nназываетсясистемой линейных алгебраических уравнений.

Числа a_ij—коэффициенты системы,b_i—правые части системыi= 1, 2, ...,m; j = 1, 2, ...,n.

Совокупность значений неизвестных, удовлетворяющая всем уравнениям системы, называетсярешением системы.

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. Система, у которой нет решений, называетсянесовместной.

Каждое решение совместной системы называется частным решением. Совокупность всех решений совместной системы называетсяобщим решением.

Если среди правых частей b_iсистемы есть хоть одна, отличная от нуля, то система называетсянеоднородной системой линейных уравнений.

Если все правые части системы равны нулю, то система называетсяоднородной.

Система линейных уравнений может быть записана в матричной форме A·x=b:

Здесь A— матрица системы,b— правая часть системы ,x— искомое решение системы.

Иногда удобно записывать систему линейных уравнений в другой матричной форме:

A⁽¹⁾x₁ + A⁽²⁾x₂ + ... + A⁽ⁿ⁾x_n = b. Здесь  A⁽¹⁾, A⁽²⁾, ... , A⁽ⁿ⁾ — столбцы матрицы системы.

Матрица Apназываетсярасширенной матрицей системы.

Если исследуется неоднородная система A·x=b,b ≠ 0, то системаA·x=0 называетсяприведеннойоднородной системой для системыA·x=b.

Две системы относительно одних и тех же неизвестных эквивалентны, если множества их решений совпадают.

Системы A·x=bиB·A·x= B·bэквивалентны, если матрицаBневырождена