Способы декомпозиции математических моделей.

1. Передаточная функция - нуминатор и денуминатор

ПФ= нуменатор/денуминатор

H(s)= x(s)/y(s)

3 способа :

1) прямое программирование

2) параллельное программирование

3)последовательное программирование

Умножим числитель и знаменатель на промежуточную фиктивную переменную E(S).

Приравнивая значения знаменателей выражения получим следующее равенство:

Выразим значение E(S) через R(S) из значения E(S)∙S ^{- 1} и E(S)∙S ^{– 2}

и

Операции E(S)∙S ^{- 1}, E(S)∙S ^{– 2}и E(S)∙S ^{– 3} реализуются цепочкой интеграторов с передаточной функцией S^-1.

Модель уравнения по способу прямого программирования.

Приступим к выполнению Л.р.5 [стр.18 Методические Указания к лабораторным работам]

б) Метод элементарных дробей.

Равенство необходимо представить в виде суммы дробно-рациональных функций. Для этого необходимо определить корни (полюса) знаменателя. Используем функцию roots в Matlab Script. Корнями знаменателя являются действительные числа 0, -3, -4.

Из метода элементарных дробей известно, что существуют константы A, B и C, такие, что

Умножение обеих частей последнего уравнения на S(S+3)(S+4) приводит к уравнению

Подставив в (6.3) корень S₁=0 получим

2=12А ; А=1/6

После подстановки S₂=-3

2= -3B; B = -2/3

Подстановка S₃=-4 позволяет определить коэффициент C:

6=4С; С = 6/4 = 3/2

Передаточная функция примет окончательный вид:

Выражения для промежуточных переменных E₁(S), E₂(S) и E₃(S) найдем из следующих равенств:

Отсюда следует выражение для выхода Y(S) :

Система дифференциальных уравнений имеет теперь вид:

Уравнение выхода тогда выглядит следующим образом:

Модель по методу параллельного программирования

Преимущества и недостатки подходов:

а) + легко(не надо думать);

- количество действий с уравнениями разные;

б) + параллельные ветви вычислений;

-нахождение корней, трудоемкость математических операций, на входе производные, то есть требуется дифференциация.

Приступим к выполнению Л.р.6 [стр.22 Методические Указания к лабораторным работам]

Декомпозиция передаточной функции по принципу последовательного программирования.

H(s)=(s²+3s+2) / (s³+7s²+12s)

H(s)=(s+1)(s+2)/ s(s+3)(s+1) = 1/s* (s+1)/(s+3)*(s+2)/(s+4)

Модель по методу последовательного программирования

Уравнение нормальной формы

dz₁/dt= rt

dz₂ /dt= z₁ – 3z₂

dz₃ /dt= z₁ – 4z₃ – 2z₂

Y(t)=2z₃+ dz₃ /dt

При аппаратной реализации в данной структуре будет блок сумматора и из его середины произв вытащить нельзя.

y(t)= –2z₃– 2z₂ + z₁

2й вариант структуры модели

Уравнение системы в нормальной форме:

y(t)=z3

Приступим к выполнению Л.р.7 [стр.25 Методические Указания к лабораторным работам]

Декомпозиция передаточной функции по принципу совместного интегрирования

Рассмотрим передаточную функцию:

Представим выражение в следующем виде:

Вынесем и обозначим выражение в скобках как x₃:

x₃

Тогда выражение принимает следующий вид:

Подставив выражение, получим:

Сгруппируем в левой части члены, содержащие , и вынесем за скобку:

x­₂

Примем выражение в скобках за x₂, тогда:

Обозначим y=x₁

Таким образом, полученная система дифференциальных уравнений имеет вид:

Уравнение выхода: