23. Сети массового обслуживания с простейшими потоками событий. Анализ разомкнутой сети. Примеры объектных систем.

Экспоненциальные стохастические сети – это совокупность СМО, которые используют только простейшие потоки событий. Считается, что данные между компонентами (СМО) передаются в случайные моменты времени, отсюда название “стохастические”.

Рассмотрим линейные экспоненциальные стохастические сети:

1. Сеть состоит из n СМО (компонентов).

2. Каждая СМО_i – СМО без потерь (с неограниченной очередью).

3. .

Данные, поступающие в систему извне, входят и передаются между компонентами с постоянными, неизменными значениями вероятностей.

4. 

5. : для любого малого временного интервала вероятность сети оказаться в j-той системе является линейной суммой вероятностей выхода из разных i-тых систем сети.

Визуальное отображение СМО – граф передач сети (ориентированный граф). Вершины графа отображают компоненты сети. Всего их n+1 – n компонентов + источник заявок S₀. Дуги соответствуют передаче данных из одного компонента в другой. Дуги должны быть взвешены значениями переходных вероятностей.

Для того, чтобы задать СеМО, необходимо задать:

1. n – число компонентов.

2. – число каналов обслуживания для каждой из n СМО.

3. – для каждого канала задается интенсивность потока.

4. – матрица вероятностей передач.

5. в случае разомкнутой сети (РСеМО), z в случае замкнутой сети (ЗСеМО).

В случае РСеМО поступает неограниченное число заявок из внешней среды, параметры входящего потока не связаны с состоянием сети. – интенсивность входящего потока.

В случае ЗСеМО источник заявок замкнутой сети – сама сеть. Количество заявок ограниченно, постоянно и определяется начальным условием.

– коэффициент передачи входящего потока. Смысл – среднее число появлений заявки из входящего потока на входе i-той СМО (компонента), то есть среднее число обслуживаний заявки i-той СМО.

Необходимо определить эти коэффициенты.

Сократив на получим:

Получили систему линейных уравнений, которая имеет единственное решение и для замкнутой, и для разомкнутой сети.

Исследование разомкнутой сети.

Условие существования стационарного (установившегося) режима в разомкнутой сети для одного компонента:

Но , поэтому:

Условие существования стационарного (установившегося) режима в разомкнутой сети для всех компонентов:

Если установившийся режим существует:

– время однократного ожидания в i-том компоненте.

24. Сети массового обслуживания с простейшими потоками событий. Анализ замкнутой сети. Примеры объектных систем.

Экспоненциальные стохастические сети – это совокупность СМО, которые используют только простейшие потоки событий. Считается, что данные между компонентами (СМО) передаются в случайные моменты времени, отсюда название “стохастические”.

Рассмотрим линейные экспоненциальные стохастические сети:

6. Сеть состоит из n СМО (компонентов).

7. Каждая СМО_i – СМО без потерь (с неограниченной очередью).

8. .

Данные, поступающие в систему извне, входят и передаются между компонентами с постоянными, неизменными значениями вероятностей.

9. 

10. : для любого малого временного интервала вероятность сети оказаться в j-той системе является линейной суммой вероятностей выхода из разных i-тых систем сети.

Визуальное отображение СМО – граф передач сети (ориентированный граф). Вершины графа отображают компоненты сети. Всего их n+1 – n компонентов + источник заявок S₀. Дуги соответствуют передаче данных из одного компонента в другой. Дуги должны быть взвешены значениями переходных вероятностей.

Для того, чтобы задать СеМО, необходимо задать:

6. n – число компонентов.

7. – число каналов обслуживания для каждой из n СМО.

8. – для каждого канала задается интенсивность потока.

9. – матрица вероятностей передач.

10. в случае разомкнутой сети (РСеМО), z в случае замкнутой сети (ЗСеМО).

В случае РСеМО поступает неограниченное число заявок из внешней среды, параметры входящего потока не связаны с состоянием сети. – интенсивность входящего потока.

В случае ЗСеМО источник заявок замкнутой сети – сама сеть. Количество заявок ограниченно, постоянно и определяется начальным условием.

– коэффициент передачи входящего потока. Смысл – среднее число появлений заявки из входящего потока на входе i-той СМО (компонента), то есть среднее число обслуживаний заявки i-той СМО.

Необходимо определить эти коэффициенты.

Сократив на получим:

Получили систему линейных уравнений, которая имеет единственное решение и для замкнутой, и для разомкнутой сети.

Исследование замкнутой сети.

Интенсивность входящего потока зависит от состояния сети => это – производная характеристика.

z – число обслуживаемых заявок, константа, определяется начальными условиями.

Условие z = const гарантирует наличие установившегося режима в данной сети.

z – m_i – максимальная длина очереди.

Состояние сети оцениваем состоянием всех ее компонентов (СМО):

Состояние замкнутой сети определяется совокупностью: ()

Должно выполняться условие . Тогда таких совокупностей конечное число.

A(z, n) – множество допустимых состояний замкнутой сети.

Вероятность определенного состояния замкнутой сети:

– вероятность i-той системы обрабатывать заявок.

– суммирование по допустимым комбинациям. Знаменатель используется для нормирования вероятности.

Существуют специальные таблицы .

Тогда:

Поскольку произведение и не зависит от , можно вынести его в знаменателе за знак суммы и сократить с числителем. Получим:

Вычислим среднее число занятых каналов обслуживания:

– вероятность того, что в i-том компоненте находится ровно r заявок, а оставшиеся z-r заявок распределены любыми возможными сочетаниями во всех оставшихся компонентах, то есть все подходящие из имеющихся комбинаций, в которых в i-том компоненте r заявок: