8. Потоки событий. Основные понятия и определения. Простейший поток событий и потоки Эрланга.

Событие – это переход системы из одного состояния в другое. Поток событий – это последовательность событий.

Частная реализация потока событий наглядно изображается последовательностью точек на оси времени:

Интенсивность потока событий  – это среднее число событий, попадающее на единичный временной интервал (может быть постоянной или переменной).

1. Поток событий называется детерминированным или регулярным, если события в нем появляются через определенные моменты времени (T_1­, T₂, …, T_i). В частном случае T_1­ = T₂ = … = T_i, но не обязательно.

2. Поток случайных событий – стационарный, если его интенсивность – величина постоянная.

3. Поток случайных событий без последействия – это поток, у которого для любых двух непересекающихся временных интервалов ₁, ₂ количество событий, попадающих на ₁, не зависит от событий, попадающих на ₂, то есть события независимы.

4. Поток случайных событий – ординарный, если события в нем появляются поодиночке, а не группами.

5. Поток случайных событий – пуассоновский, если количество событий, попадающих на произвольный временной интервал , подчинено закону Пуассона:

где a – среднее число событий, попадающих на временной интервал .

– вероятность того, что m событий попадет на временной интервал .

Если пуассоновский поток является стационарным, то есть  = const, то a=.

Если пуассоновский поток является нестационарным, то есть  = (t), тогда

6. Поток случайных событий – простейший, если он:

• Стационарный

• Ординарный

• Не имеет последействия

Простейший поток является пуассоновским

Простейший поток соответствует нормальному распределению в теории вероятностей.

Функция распределения простейшего потока (при T – СВ, интервал времени между соседними событиями в стационарном пуассоновском потоке):

– вероятность того, что на не появится ни одного события.

Функция плотности распределения равна производной от функции распределения, и для простейшего потока выглядит так:

Коэффициент вариации или мера случайности величины

Рассмотрим детерминированный регулярный поток (события – в строго определенное время):

Другая крайность. Обычно .

Поток случайных событий называется рекуррентным, если он – стационарный, ординарный, и интервалы между соседними событиями имеют произвольное, но одинаковое распределение.

На рисунке представлен поток Эрланга 3-го порядка, то есть события в количестве K-1 задерживаем в простейшем потоке, и фиксируем каждое K-тое (в данном случае – каждое третье).

Простейший поток – поток Эрланга 1-го порядка.

- интенсивность простейшего потока.

- интенсивность потока Эрланга k-того порядка – в k раз меньше интенсивности простейшего потока.

Поток Эрланга получается путем просеивания ( - интервал времени между соседними событиями в стационарном потоке).

Коэффициент вариации или мера случайности величины

При k->∞.

Поток Эрланга ∞ порядка – регулярный поток.

Таким образом, потоки Эрланга покрывают все пространство от простейшего до регулярного потока.