ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ

Сборник заданий

Омск – 2005

Министерство образования и науки Российской Федерации

Омский государственный технический университет

Составители: В.З. Ковалев, А.С. Татевосян, О.П.Куракина

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ

Сборник заданий.

Омск – 2005

Рецензенты:

В.С. Щербаков, д-р техн. наук, проф., зав.кафедрой автоматизации производственных процессов и электротехники «АПП и Э» Сибирской государственной автомобильно-дорожной академии (СибАДИ),

В.В. Харламов, д-р техн. наук, проф. кафедры электрических машин и общей электротехники Омского государственного университета путей сообщения (ОмГУПС).

В.З. Ковалев, А.С. Татевосян, О.П. Куракина

Электричество и магнетизм:

Сборник заданий. - Омск: Изд-во ОмГТУ, 2005. - с.

Дисциплина "Электричество и магнетизм" рассматривает

Основные определения и понятия.

К основным понятиям теории электромагнитного поля относятся: электрическое поле, магнитное поле и электромагнитное поле.

Электрическое поле является составной частью электромагнитного поля. Оно создается совокупностью электрических зарядов. Электрическое поле обладает способностью воздействовать на помещенный в него электрический заряд механической силой, прямо пропорциональной величине этого заряда. Если заряды, создавшие электрическое поле, неподвижны, то поле называется электростатическим.

Магнитное поле является составной частью электромагнитного поля. Оно создается совокупностью движущихся зарядов. Магнитное поле обладает способностью воздействовать на помещенный в него проводник с током механической силой, прямо пропорциональной силе тока.

Электромагнитное поле есть совокупность электрического и магнитного полей в их взаимной связи. Изменение во времени одного из полей (электрического или магнитного) влечет за собой изменение другого поля. При угасании одного поля, исчезает и другое. Если существует взаимная связь между электрическим и магнитным полями, то существует и электромагнитное поле.

При рассмотрении электромагнитного поля используются следующие его jхарактеристики:

- вектор напряженности электрического поля;

- потенциал электрического поля (скаляр);

- вектор индукции магнитного поля;

- вектор напряженности магнитного поля.

Задача расчета электромагнитного поля заключается в определении характеристик поля в каждой точке рассматриваемой части пространства, где это поле существует. Для решения этой задачи воспользуемся соотношениями связи между расчетными величинами.

• Действующая на точечный заряд сила связана с напряженностью электрического поля соотношением .

• Связь между потоком вектора напряженности электрического поля сквозь замкнутую поверхность S и зарядом q, расположенным внутри S, в однородной среде с диэлектрической проницаемостью устанавливается теоремой Гаусса

• Векторы электрического смещения поляризации и напряженности электрического поля связаны соотношением .

• Постулат Максвелла то есть поток вектора электрического смещения сквозь замкнутую поверхность S равен свободному заряду , охваченному поверхностью S.

• Электрический ток , связанный с электрическим зарядом q соотношением имеет три вида: ток проводимости , ток переноса и ток смещения , плотности которых равны ,

• Принцип непрерывности электрического тока может быть записан в виде , либо как

• Электрическое напряжение между точками А и В определяется соотношением

• Электрическая емкость уединенного проводящего тела , где q и U - его заряд и потенциал соответственно. Электрическая емкость между двумя телами 1 и 2 с зарядами равна , где U1, U₂ - потенциалы этих тел.

• Индукция магнитного поля связана в пустоте с создающим его электрическим током соотношением

• Поток Ф вектора магнитной индукции , равный , проходящий сквозь любую замкнутую поверхность, равен нулю что означает отсутствие аналогичного электрическому q магнитного заряда.

• Формулировка Фарадея пригодна для расчета ЭДС в отрезках контуров.

• Индуктивность L контура определяется как отношение сцепленного с ним магнитного потока к току контура:

• Взаимная индуктивность контуров 1 и 2 определяется как отношение сцепленного с контуром 2 потока созданным током контура 1, к току контура 1:

• ЭДС самоиндукции, обусловленная изменением индуктивности и тока в контуре равна

• ЭДС взаимной индукции в контуре 2, обусловленная изменением тока контура 1 и изменением взаимной индуктивности , определяется изуравнения

• Векторы магнитной индукции , намагниченности и напряженности магнитного поля связаны соотношением , где магнитная проницаемость вещества , χ_М - магнитная восприимчивость.

• Магнитодвижущая сила между точками a и b равна . В выражении называемом законом полного тока, в правой части под током понимают сумму всех трек видов тока: проводимости, переноса и смещения.

Для исследования электромагнитного поля используются законы электротехники, которые могут быть представлены в двух формах записи: интегральной и дифференциальной. Интегральная форма записи законов электротехники применяется для конечных контуров, площадей, объемов проводящих сред и диэлектриков. В интегральной форме записи эти законы имеют вид.

• Закон Ома .

• Закон Джоуля-Ленца .

• Первый закон Кирхгофа

• Второй закон Кирхгофа .

• Закон электромагнитной индукции

• Закон полного тока .

• Теорема Гаусса .

Дифференциальная форма записи законов электротехники применяется для определения характеристик электромагнитного поля.

• Закон Ома .

• Закон Джоуля - Ленца

• Первый закон Кирхгофа

• Второй закон Кирхгофа

• Закон электромагнитной индукции

• Закон полного тока .

• Теорема Гаусса .

Приведенные уравнения законов электротехники являются инвариантными по отношению к любой выбранной системе координат.

Полная система уравнений электромагнитного поля имеет следующий вид:

• ;

• 

• ;

• 

• 

• ;

• 

Поле вектора удовлетворяющее уравнению является безвихревым, то есть потенциальным. В противном случае при поле вектора является вихревым. Аналогично условие потенциальности поля можно применить и для поля вектора когда . В противном случае, когда поле является вихревым.

При поле является соленоидальным, то же относится к полю вектора , если . При этом поле вектора или удовлетворяет тождеству соответственно и

Граничные условия на поверхности S двух сред:

• с магнитными проницаемостями и для поля векторов и

, ,

• с диэлектрическими проницаемостями и для поля векторов и

, , ;

• с электрическими проводимостями и для поля векторов и

, , .

Для частных случаев существования электромагнитного поля полная система уравнений принимает различный вид. В электростатическом поле выполняются уравнения

Электростатическое поле является потенциальным. Поэтому его можно описать потенциалом, если ввести соотношение . В прямоугольной и цилиндрической системах координат имеем:

Уравнение Лапласа имеет в прямоугольной и цилиндрической

системах координат вид:

Для нахождения потенциала U уравнение Лапласа следует дополнить граничными условиями. На поверхностях проводников соблюдается условие , на границе раздела сред 1, 2 с диэлектрическими прони-цаемостями . Решением уравнения Пуассона

является выражение ,

где r - расстояние от точки определения потенциала до точки размещения заряда . Функция потока , вводимая в плоскопараллельном поле и имеющая постоянные значения на линиях напряженности, связана с напряженностью поля соотношениями и и удовлетворяет уравнению Лапласа. Энергия системы заряженных тел определяется выражением . Емкость системы заряженных тел с зарядами и напряжением между ними есть

.

Так, например, емкость между двумя несоосными цилиндрами (длиной , значительно превышающей радиусы цилиндров и расстояние между их осями) рассчитывается по формуле

;

, .

Силу, действующую на заряженное тело, можно найти, пользуясь одним из выражений

,

где - обобщенная координата, по которой может перемещаться тело под действием силы.

Электрическое поле постоянного тока в диэлектрике удовлетворяет уравнениям

.

При этом на поверхности проводника , так как вследствие протекания тока по проводнику на его поверхности Уравнения описывают поле постоянного тока в проводящей среде. Магнитное поле постоянных токов удовлетворяет уравнениям

.

В части пространства, где нет тока, имеем . Для поля вне токов (безвихревое поле) можно использовать скалярный магнитный потенциал соотношением . Введение векторного магнитного потенциала соотношением приводит к уравнению , которое в однородной среде с магнитной проницаемостью в прямоугольной системе координат для составляющих будет

, .

Аналогично решению для потенциала электростатического поля можно записать решение для составляющих векторного магнитного потенциала

, .

Магнитный поток связан с векторным магнитным потенциалом соотношением

.

Выражение позволяет найти энергию магнитного поля токов плотностью , протекающих в объеме v. При этом индуктивность проводников с током определяется выражением

.

Например, индуктивность кругового контура радиусом R (если , где а - радиус провода) и постоянном токе (магнитная проницаемость провода контура, Гн/м – магнитная проницаемость окружающей контур среды) находится по формуле

.

Электромагнитная сила определяется по одному из выражений

Электромагнитная сила, действующая на уединенный контур с током , определяется выражением .

Тематика сборника заданий и примеры их выполнения.

Условия выбора варианта задания.

Задание состоит из четырех групп задач: группа 1 посвящена расчету электростатического поля; группа 2 – расчету электрического поля постоянного тока; группа 3 –расчету магнитного поля постоянного тока; группа 4 – расчету электрического поля путем составления интегрального уравнения и его решения.

Номера задач, которые должны быть решены студентом, определяются шифром задания, состоящим из пяти последовательно идущих цифр. Первые три цифры шифра могут принимать значения от 1 до 5 и определяют порядковый номер задачи соответственно в первой, второй и третьей группах задач. Четвертая цифра шифра может принимать значения 1 или 2 и определяет номер задачи в четвертой группе задач. Последняя (пятая) цифра шифра изменяется от 0 до 9 и соответствует номеру столбца таблицы, в которой заданы исходные данные решаемой задачи. Этот номер столбца в таблицах с выбором исходных данных для всех четырех групп задач остается одним и тем же. Например, если шифр задания равен 24527, то это означает решение второй задачи в первой группе, четвертой задачи - во второй группе, пятой задачи - в третьей группе и второй задачи – в четвертой группе. Исходные данные для всех задач определяются седьмым столбцом соответствующих этим задачам таблиц.

За каждой задачей условием задания закрепляется определенный подход к ее решению. Различные варианты четвертой группы задач представлены в виде двух подгрупп. Первая подгруппа посвящена расчету электрического поля в диэлек-трике, а вторая подгруппа – расчету электрического поля в проводящей среде. Для облегчения выполнения расчетного задания в конце сборника заданий приведены примеры расчетов электрических и магнитных полей.