1. Метод простой итерации.

Решим сист. Ах=В (1) А=х=В=пусть аij нерав. 0 Х1=β1+£12Х2+£12Х3+…+£1nХn, Хn= βn+£n1Х1+£n2Х2+…+£nn-1An-1 где βi=вi/Aii £ij=Aij/Aii £ii=0 £= β= X= тогда сист.(1)прив. к сист.(2)

Х=β+£х вид(2) наз.методом последов. приближений. За 0-е приближение столбец свобод. членов Х⁰=β, тогда Х¹=β+£ Х⁰ –перв. прибл.Если посл-ть х0,х2… имеет предел, то этим пределом будет решение системы т.е. Хⁱ=βi+(от j=1 до n)£ij*Xj^(K-1). Дост. услов. сходим. 1) ∑(от i=1 до n)|Aij|<1 для люб.Y 2) ∑(от j=1 до n)|Aij|<1 для люб.i Следствие: для сист. метод итер. сходит. если все модули диагонал. коэффициентов для каждого Ур-ия >, суммы модулей всех остал. коэффиц.|Aii|<∑(iнеравно j)|Aij|.

2.Метод Зейделя.

Здесь при вычисл. (К+1)-го приближен. неизвест. Хi учитыв. уже вычеслен. (К+1)-е приближен. х1,х2,… Хi=βi+(∑ отj=1 до n)£ij*xi^K Предпол. что К-е приближ. известны тогда (К+1) иммет вид Xn^(K+1)=βn+(∑ отj=1 до n-1)£niXj^(K+1)+£nnXn^(K).Дост. услов. 1) ∑(от i=1 до n)|Aij|<1 для люб.Y 2) ∑(от j=1 до n)|Aij|<1 для люб.i Следствие: для сист. метод итер. сходит. если все модули диагонал. коэффициентов для каждого Ур-ия >, суммы модулей всех остал. коэффиц. |Aii| < ∑(i≠j)|Aij|.

3.Достат. Услов. Сходим. Итерац. Процесса

Теорема: процесс итерац. для системы сходится к единств. решению если какая либо норма матр. £<1 а^K=£х^(K-1)+β, ||£||<1 Д-во: постр. последов. приближен., таких, что X^K=(£^(K-1) +£^(K-2)+…+ £+E)β+£^KX⁰ Т.к. норма матр.<1,то норма £к→0, при к→бесконеч. E+£+£²+…+£^K-1=(∑ отn=0 до K-1) £n| ||£||<1 |=(E-£)^-1 X=lim(k→бескон)X^к=lim[ (£^(K-1) +£^(K-2)+…+ £+E)β+£^KX⁰ ]=(E-£ )^-1β Т.о. сходим. доказана.

4. Отделение корней.

Может происход. аналитич. или графически. Дано:f(x)=0 x*-решение.Теорема если непр. ф-ция f(x) приним. знач-я разн. знаков , на отрезке [a,b] т.е. f(a)*f(b)<0 то внутри этого отр. содерж. по меньш. мере один корень ур-ия

Метод половин. деления.

f(x)=0, xc[a,b] f(a)*f(b)<0 пусть a0=a, b0=b предпол. что [ai,bi] построен, причем f(ai)*f(bi)<0 т.е. X*c[ai,bi] найдем (.)(C)ai=(ai+bi)/2 Если f(ci)=0 то (ci) точное решен. Если f(ci)нерав.0 то либо 1)f(ai)*f(ai)<0 2) f(ci)*f(bi)<0 если 1), то a(i+1)=ai b(i+1)=ci, если 2),то a(i+1)=ci, b(i+1)=bi В любом сл. получ. интервал вдвое < исход. причем f(ai+1)*f(bi+1)<0 Все заканчив. либо 1) когда f(ci)=0 2) Ci-корень 3)(ai-bi)<E –выбир. любую (.) и приним. ее за решен. ОЦЕНКА точности. f(ai)*f(bi)<0; bn-an=1/2ⁿ X(с чертой)-an<=1/2ⁿ (b-a) k-кол-во шагов k=log₂((b-a)/E)+1. Решение нелин. ур-ий . Решен. осущ. в 2 этапа 1) локализация корней , т.е. нахожд. промежутков [a,b] котор. принадл. корень ур-ия 2)уточнение корней ,т.е. решение с задан. точностью.

Метод хорд.

(x)=0, xc[a,b] f(a)*f(b)<0 Для определенности положем, f(a)<0 f(b)>0 (рис.) Поделим [a,b] в отношен. f(a):f(b) ; (x-a)/(b-a)=(y-f(a))/(f(b)-f(a)); Положем X=X1, y=0; X1=(-f(a)/(f(b)-f(a)))*(b-a)+a по этой ф-ле можно зап. итерац. процесс X1=a+h; h1=-f(a)/(f(b)-f(a)) Докаж. сходим. итер. процесса будем предпол., что корень f(x) определ. и f ^{’ ’}(x) сохр. знак. на [a,b] (рис.) Имеем 2 сл. f(a)>0 и f(a)<0 для a>0 ; X(n+1)=Xn-(f(Xn)/(f(Xn)-f(a)))*(Xn-a) ; для a<0 X(n+1)=Xn-(f(Xn)/(f(b)-f(Xn)))*(b-Xn) Т.е.1) неподвиж. тот конец , для котор. знак ф-ции совпад. со знаком втор. производ. 2)Послед. приближен. Xn лежат по ту сторон. X*, где ф-ция f(x) имеет знак противополож. знаку ее втор. произв. Критерий остановки |X*-Xn|c|X(n+1)-Xn|<E X(с чертой)=Xn+1.