16.Метод наименьших квадратов.

(матем. обработка данных).Пусть в рез-те исслед. некоторой величины Х знач-я Х1,Х2…Хn поставлены в соответствие др. знач-я …Xn→y1,y2…yn; Треб. подобрать вид аналитич. записи y=y(x) связыв. перемен. х и у; В задаче треб. найти некую прямую y=bx; Задача закл. в определен. пост. b; В методе наим. квадр. параметр b опред. из условий min суммы квадратов отклонений эксперим. данных yi от расчетных величин yi*; F=∑(от 1 до бесконеч.)(yi-bxi)²→min; δF/δb =2∑((yi-bxi)*(-xi))=0; b=(∑xiyi)/(∑xi²); В нек. случаях иском. прям. имеет вид y=a+bx; F=∑(yi-a-bxi)²→min; δF/δb=2∑[(yi-a-bxi)(-xi)]; ∑(yixi-axi-bxi²)=0; ∑yixi=∑(axi)+∑bxi²; ∑xiyi=a∑xi+b∑xi²; a= (∑yi-b∑xi)/n; n∑xiyi=∑xiyi-b(∑xi)²+bn∑xi²; b=(n∑xiyi-∑xi∑yi)/(n∑xi²-(∑xi)²).

17. Формула Лагранжа. Будем считать ф-ию f(X) и полином

Qm(x)=ao+a1x+a2x2++anxn близкими, если они совпадают на заданной сис-ме точек. Задача состоит в построении мн-на возможно низшей степени М, принимающий в данных точках известные значения /по основ-ой т.Алгебры М положить М=N/ Из условия задачи М записать лин-ую сис-му ур-ний

/ АО+а1хо+а2хо2++аnхоn=уо cис-ма линейн. и М

| АО+а1х1+а2х12++аnх1n=у1 ее решить по ф-ле

\ АО+а1хn+а2хn2++аnхnn=y n Крамера

| 1 xo xo2 xon |

Δ= | 1 x1 x12 x1n | =произведение (xq-xp)

| xn xn2 xnn |

0<=p<q<=n Исходя из этого М выписать интерполяционный мн-член Лагранжа

18. Ф-ла Ньютона для разностных узлов.

Δкуо=ук-кук-1+к(к-1)ук-2/2!-к(к-1)(к-2)ук-3/3!++(-1)ку1

Запишем эту ф-лу для значения разности в узле Хi :

Δкyi=yk+i-kyk+i-1+k(k-1)yk+i-2/2!++(-1)ky1

Yk=yo+kΔyo+k(k-1)Δ2yo/2!+ +Δkyo

Построим интерп-ый мн-член Ньютона N(x)=ao+a1(x-xo)+a2(x-xo)(x-x1)+a3(x-xo)(x-x1)(x-x2)++an(x-xo)(x-x1)..(x-xn-1)

Этот мн-член Д проходить ч/з заданные узлы след-но

N(xo)=ao=yo;

N(x1)=ao+a1(x-xo)=ao+a1h=y1; N(x2)=ao+2x1h+2a2h2=y2

Найдем коэф-ты ао=уо; а1=(у1-ао)/h=(y1-yo)/h=Δy/h; a2=Δ2yo/2h2

Cлед-но кажд коэф-т имеет вид ak=Δkyo/k!hk

N(x)=yo+Δyo(x-xo)/h+Δ2yo(x-xo)(x-x1)/2!h2+ +Δnyo(x-xo)(x-x1)..(x-xn-1)/n!hn или (х-хо)/h=q =>

N(x)=yo+qΔyo+Δ2yoq(q-1)/2!++ Δnyoq(q-1)..(q-n+1)/n!

Этот мн-член явл-ся Интерпол мн-членом Ньютона при n=1 будем иметь формулу линейного интерполирования y≈yo+y1-yo(x-xo)/h в случае 2х узлов имеем квадратичное интерполирование y≈yo+y1-yo(x-xo)/h+yo-2y1+y2(x-xo)(x-x1)/2h2

Мн-ен ньютона use в случаях равностоящих узлов h=xi+1-xi /шаг/ при определении зн-ий ф-ии в неизвестной точке удобно в качестве Хо ближайший узел интерполирования тогда соответствующее слагаемое задаст основное значение, а остальные поправку.

Ньютон1

Ньютон2

Приближенное дифф-ние. Постановка краевых задач. Имеем ф-ию в у(х) заданную в раноотстоящих т-ах. Запишем м-член Ньютона 4 этой ф-ии:

y(x)=yo+qΔyo+(q(q-1)Δ2yo)/2!+q(q-1)(q-2)Δ3yo/ /3!++ для нахождения производ Ф-ии будем искать производ этого мн-члена q=(x-xo)/h; h=xi+1-xi y(x)=yo+qΔyo+(q2-q)Δ2yo/2!+ (q3-3q2+2q)Δ3yo/3! +(q4-6q3+11q2-6q)Δ4yo/4!+...

нужно вычислить dy/dx; dy/dx=dy/dq*dq/dx=1/h*dy/dq

y’(x)=1/h(Δyo+(2q-1)Δ2yo/2+(3q2-6q+2)Δ3yo/3! +(4q3-18q2+22q-6)Δ4yo/4!)

аналогично вычисляется производ любого порядка. Иногда надо найти производ ф-ии в основных табличных т-ах Хi,тогда производ-я выглядит след-щим образом: y’(xo)=(Δyo-Δ2 yo/2+Δ3yo/3-Δ4yo/4+) ошибка вычислений ищется по ф-ле Лагранжа, аналогичной ф-ле остаточн члена в р-де Тейлора

Разностные схемы. Y’’=f(x,y,y’) при y(a)=A y(b)=B Краевые усл-ия МБ заданы иначе. Геом-ки это означает,что интеграл. Кривую прох-ую ч/з 2е зад.т. В нек.случаях краевые усл-ия сводятся к заданию значений произв-х на концах отрезка,т.е. Н найти такую интеграл. Кривую,кот в зад. точках проходит под известным углом.