5.Метод касательных (Ньютона).

y-y0=f ^‘ (X)(X-X0) пусть f ^‘ (X), f ^{‘ ‘} (X) –непрер. и сохр. опред. знаки на отрезке [a,b] пусть f ^{‘ ‘} (X)>0 и f(b)>0 (рис.) Ур-ие касат. y-f(Xn)= f ^‘ (Xn)(X-Xn) y=0, X=Xn+1; X(n+1)=Xn-(f(Xn)/ f ^‘ (Xn)) Исходя из геом. соображен. , вывед. тоже самое аналитич. X*=Xn+h_n Прим. ф-лу Тэйлора 0=f(Xn+ h_n)=f(Xn)+ h_nf ^‘ (Xn); h_n =-f(Xn)/f ^‘ (Xn) Выбор начал. точки f(X0)*f ^{‘ ‘} (X0)>0. Теорема: если f(a)*f(b)<0 причем втор. произв. сохр. знак на [a,b] , то исходя из любого начал. приближен. X0c[a,b] удовл. условию f(X0)* f ^{‘ ‘} (X0)>0 можно вычисл. корень ур-ия с любой степенью точности. Д-во: пусть f(a)<0 , f(b)>0 f ^‘ (x)>0; f ^{‘ ‘} (x)>0(вогнута) т.е. f(b)* f ^{‘ ‘} (b)>0 ; X0=b-max точка.

X(n+1)=Xn-(f(Xn)/ f ^‘ (Xn))>X*.

Теорема о сходимости метода Ньютона.

При примен. метода Ньютона за нач. (.) прин. тот конец интервала АВ, которому отвечает ордината того же знака , что и знак 2-ой производ. f(a)*f’’(x)>0.Теорема: если ф-ция вблизи корня имеет большую кривизну, то метод Ньютона очень быстро сходится к решению; если же это не так , т.е. ф-ция прямая, то примен. этого метода не рационально. Критерий остановки |Xn-X(n-1)|<E.

Видоизмененный метод Ньютона.

X(n+1)=Xn-f(Xn)/ f ^‘ (Xn). Если произв. исход. ф-ции меняется мало на [a,b] то можно предпол. f(Xn)(примерно =)f(X0) X(n+1)=Xn-f(Xn)/ f ^‘ (X0) это дает воз-ть не вычисл. зн-е произв. в каждой (.). Т.е. здесь касат. замен. на прямую || 1-ой касательн.МЕТОД ХОРД И КАСАТ. (комбиниров. метод). f(x) опред. на [a,b] f(a)*f(b)<0 , произв. сохр. знаки на [a,b] .Получ. метод, на кажд. шаге котор. получ. приближение по недостатку и избытку, точного корня X* ур-ия f(x)=0. Возм. 4 сл. 1)(рис.) f ‘ (x)>0 f ‘ ‘ (x)>0 X0-d начал. условие. 2) f ‘ ‘ (x)<0, f ‘ (x)<0 (рис.) f(a)* f ‘ (x)>0 3)(рис.) f ‘ ‘ (x)>0,

f ‘ (x)<0 f(a)>0 4) f ‘ ‘ (x)<0, f ‘ (x)<0- ф-ция убыв. будучи выпуклой (рис.) Все эти сл. легко свести к 1-ому f(x)=0 ; -f(x)=0 Или же можно запис. все ф-лы аналогич. 1-ому сл. 1) f ‘ (x)>0 (X0=a), f ‘ ‘ (x)>0(X0(с чертой)=b), X(n+1)= Xn-(f(Xn)/(f(Xn(С чер.))-f(Xn)))*(Xn(с чер.)-Xn)(для сл. хорд); X(n+1)(c чертой)=Xn(c чер.)-f(Xn(c чер.))/f ‘ (Xn(c чер.)) Критер. остановки Xn(с чер.)-Xn<E за рез-т берем среднее арифметич. X*(c чер.)=1/2*(Xn(с чер.)-Xn).

Комбинированный метод.

f(x)=0 [a,b] f(a)*f(b)<0 значит в есть корень Имеем 4 случая:

1) f ’(x)>0 (возр-т, вогн вниз) f ’’(x)>0

2) f ’(x)>0 f’’(x)<0 3) f ’(x)<0 f ’’(x)>0

4) f ’(x)<0 f’’(x)<0

Рассмотрим только первый случай т.к. остальные случаи, либо свод-ся к нему либо аналогичны.

x*(a,b) x0=a, x0=b

xn+1/хорды/=xn-f(xn)*(xn-xn) /(f(xn)-f(xn))

xn+1/ньютона/=xn-f(xn)/f’ (xn) // x*(xn,xn)

Если допустимая погрешность задана и =, то как толькоxn-xn< то процесс закан-ся, за решение ур-я удобно взять среднее ариф-е: x*=(xn+xn)/2

6. Метод итерации(последов. приближений)

f(x)=0, заменим x=φ(x) зададим начал. приближ. Х0, Х1=φ(х0), Хn=φ(Xn-1). X*=limXn(n→∞) X*=φ(x)Геометр. интерприт.(рис.). Если φ(х) возр. то послед. приближен. строится лесницой, убыв.-то строится по спирали.Приближен. к точн. корню происх. при |φ ^‘ (x)|<1. Если |φ ^‘ (x)|>1 то мы уходим от корня(рис.) Итерац. процесс нельзя строить исходя из начал. условий.

Теорема о сходим. метода итерации.

Пусть φ(х) опред. и диф. на [a,b] тогда, если сущ. дробь q такая |φ ^‘ (x)|<=q<1 Тогда 1) процесс итерации А(n+1)=φ(Xn) сход. независ. от Х0.2) Предельн. знач-е явл. единств. корнем ур-ия LimXn=X*(n→бескон).Д-во: рассмотр. Хn=φ(X(n-1)); X(n+1)=φ(Xn); вычтем, по теорем. Лагранжа будем иметь a(n+1)-Xn=(Xn-X(n-1))*φ’(Xn( с чер.));|X(n+1)-Xn|<=

q |Xn-X(n-1)|. Пусть n=1,2… Тогда.|X(n+1)-Xn|<=qⁿ|Xn-X0|. Рассмотр. ряд Х0+(Х1-Х0)+(Х2-Х1)+… для этого ряда посл-ти приближен. явл. (n+1)-ми частными суммами Т.е. Xn=S(n+1) В силу неравенств все члены ряда < соотв. членов геом. прогрессии .У котор. знаменат. <1 поэт. ряд сход. абсолютно. LimSn+1=LimXn=X*(n-бескон.)-единств. решение.X(n+1)=φ(Xn), X*. Итер. процесс сход. тем быстрее, чем |φ ^‘ (x)|<1.

Оценка итер. процесса:

|X*-Xn|<=q ⁿ /(1-q)*|X1-X0|. Рассм. как свести ур-ие к виду, удобн. для итерации. f(x)=0; x=x-λf(x)-ур-ие равносил. исходному. x-λf(x)=φ(x); [x=φ(x)];Пусть f ’(x) удовл. неравенству 0<m<f ‘(x)<M. Нужно подобр. такое λ чтоб |φ’(x)|=|1-λf ‘’(x)|<1;Т.к.рассматр. положит. знач-я, то модули можно снять. φ’(x)=1-λf ‘(x); 1-λM₁<1-λm₁<=q<1;Т.о. можно положить λ=1/M₁ . Исходя из этого вычисл. q; q=1-m/M; Этот спос. удобен если извест. интервал, в котор. нах. точное знач-е корня. Если задан. Х0, то λ наход. из ур-ия 1-λf ^‘ (X0)=0.