13. .М-д Конечных разностей.

y’=(yi+1-yi)/h

y’’=(y’i+1- y’i)/h=((yi+2-yi+1)/h-(yi+1-yi)/h)/h=(yi+2 -2yi+1+yi)/h2

для нахождения произв 1го пор-ка Н знать значения в 2х узлах. 2го пор-ка в 3х узлах. Разностная схема:1) разбиваем [a,b] точками а=хо,х1,х2,х3,,хн=b 2)y’i=yi+1-yi-1/2h 3)y’’i=yi+1-2yi+yi-1/h2 4)y’o=y1-yo/h; y’n=yn-1-yn/-h

ДУ 2го пор-ка. y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x) при зад-ных условиях:άоy(a)+ά1y’(a)=A; βoy(b)+ +ά1y’(b)=B; |άo|+|ά1|≠0 |βo|+|β1|≠0 иначе сис-ма решений не имеет. Вычислить значения Х в узловых точках: исходная сис-ма:

(Yi+1-2yi+yi-1)/2h+pi(yi+1-yi-1)/2h+qiyi=fi (1)

p,q,f-знач коэф-ов в т.Хi. άоyо+ ά1(у1-уо)/h=A (2)

βoyn+β1(yn-1-yn)/-h=B (3) Будем решать это разностное Ур. ме-дом ПРОГОНКИ.

Из ур-ния (1): yi+1+miyi+niyi-1=F”ih2 (4) где коэф-ты имеют вид: mi=-(2-qih2)/(1+pih/2); ni=(1-pih/2)/(1+pih/2); F”i=Fi/(1+pih/2) сис-ма (4)(2)(3) явл-ся лин-ой М сос-ит из (n+1)го Ур-ния относит неизвест. yо,у1,уn. Из ур-ия (4) выразим yi: yi=F”ih2/mi-1*yi+1/mi-n*yi-1/mi положим что с help сис-мы 2-3-4 из Ур-ния 5 исключена неизвестная yi-1 тогда это ур-ние примет вид: Yi=Ci(Di-yi+1) (6) где сиd некот-е коэф-ты. Из этого Ур-ния М записать:

Yi-1=Ci-1(Di-1-yi) подставляя это выражение в (4) yi=(F”ih2-niCi-1Di-1)/(mi-niCi-1) исходя из сравнения этих ф-л: Ci=1/mi-niCi-1 Di=F”h2- -niCi-1Di-1 чтобы выразить нулевые значения из ф-л 2и3 с учетом ф-ии из 6; yo=Co(Do-y1) Co=ά1/(άoh-ά1); Do=Ah/ά1 по этим ф-лам опред-ся Ci и Di при i=1 до (n-1) включит-но.

Обратный ход начинается с вычисления Yn затем все остальные У. В случае простейших краевых условий y(a)=A; y(b)=B, ф-ла упрощается: άo=1 βo=1 ά1=0 β1=0 Co=0 Do=∞ CoDo=A; C1=1/m1; D1=F”1h2-n1A; Yn=B; Yo=A

14. Ур-ие Лапласа в конечных разностях.

∂2у/∂х2+∂2u/∂y2=0 ур-ие Лапласа с help этого ур-ия М поставить 3 задачи зависимости от нач. /краевых/ условий. Будем решать задачу Дерихле т.е. найти реш-ия ур-ия Лапласа в заданной области, ограниченной контуром Г причем U(p)=φ(p) p€Г для всех точек Р принад-их границе,т.е. на границе обл-ти задана непрерыв. ф-ия. Перейдем от ДУ к разностному аналогу.∂2u/∂x2=(u(x+h,y)-2u(x,y) +u(x-h,y))/h2 ; ∂2u/∂y2=(u(x,y+h)-2u(x,y)+u(x,y- -h))/h2 <-разностное ур-ие для частичных произв-ых 2го пор-ка, подставим его в исходное u(x,y)=1/4(u(x+h,y)+u(x-h,y)+ u(x,y+h)+u(x,y-h)) <-разностный аналог-это ур-ие соот-ет 1ой разностной схеме

b(x,y+h) т.е. значение в кажд т.

E(x-h,y) h c(x+h,y) среднее арифмет по 4

D(x,y-h) соседн точкам

2я разностная схема

E(x-h y+h) B(x+h y+h)

D(x-h,y-h) C(x+h,y-h)

U(xy)=1/4(u(x+h,y+h)+u(x+h,y-h)+u(x-h,y-h)+ u(x-h,y+h)) 1и2ая схемы явл-ся точными до h2

м-д Сеток построение шаблонов. Пусть в пл-ти ХоУ области G с границей Г Построим на пл-ти 2 семейства || прямых x=xo+ih y=yo+kh где i,k:0±1±2..

т пересечен-Узлы; 2 узла соседние если они удалены по осям Х и У на расстояние h

Выделим узлы принадлежащие области G+Г и узлы не принадлеж обл-ти, но располож на расстоянии меньшем h от границы. Узлы у кот 4 сосед узла € внутреннему выделенному мн-ву-Внутренние, остальные-Граничные. В кажд внутр т. Заменяем исходное ур-ие разностным по 1ой или 2ой схеме. В гранич т. u(Bh)=u(B)=φ(B) B-ближайшая к границе т. Для реш-ия сис-мы Ур-ий use итерацион-й м-д. для внутр узлов Ui,j(k)=1/4(ui-1,j(k-1)+ui+1,j(k-1)+ui,j-1(k-1)+ui,j+1(k-1)) в гранич т. значение МБ исправлено по ф-лам линейной итерации. Uo(Ah)=u(A)=φ(A); uk(Ah)=u(A)+((uk-1(B)-u(A))/h+δ)*δ

т. А ближайшая к

узловой т. Ah из Г

В-ближайшая к Ah

Внутренний узел. δ-удаление узла Ah от т. А //МБ δ>0 и <0// если узел находится на гран-е Uk(Ah)=U(A)=φ(A) на практике значения гран-х т. считают, на калькуляторе, постоянными после того как 1или2 раза их уточнили по ф-лам лин-ой интерполяции. При решении 4 выбора Ui,j(0) use линейную интерполяцию, иногода use крупную сетку а потом решают ее на мелкой сетке.

ПОСТРОЕНИЕ шаблонов

для построения шаблонов

строим 2ую сетку,линии кот

проходят посередине м/у

лин 1ой сетки,узлы 1ой по-

падают в центр клеток 2ой

для решения надо 1ый шаблон и много 2ых

ф-лы м-да сеток. hx=(b-a)/M hy=(d-c)/N

Ui,1(0)=f01+(fM1-f01)*i/M; Ui,j(0)=u11(0)+(f1N-u11(0))*(j-1)/N-1

Ui,j(0)=ui-1,j(0)+(fM j-ui-1, j(0))*(i-j+1)/m-j+1