14

Проверка законов распределения ПСВ; критерий Колмогорова Отличается от критерия Пирсона тем, что мера расхождения определяется гораздо проще: определяется max величина расхождения между теор. и фактическим значением ф-ции распределения. Т.о., сравниваются ф-ции распределения, а не плотности. D = max |F*(x) – F(x)| При n  ∞ 1) находим D 2) 3) по таблице определяем P(λ) – вероятность того, что возможные отклонения от Dmax будут не меньше установленного по случайным причинам. Критерий Колмогорова также не гарантирует факт полного совпадения, а позволяет определять степень уверенности. Он пригоден только тогда, когда заранее известен з-н распределения. Если известен только вид ф-ции без параметров, крит. Колмогорова дает завышенную оценку.	Универсальный способ формирования непрерывной случайной величины. Основан на кусочной аппроксимации ф-ции плотности. Пусть требуется получить послед-ть случайных чисел {yi} с ф-цией плотности fη(y) на интервале (a,b). Представим fη(y) в виде кусочно-постоянной ф-ции, т.е. разобьем интервал (a,b) на m интервалов, и будем считать fη(y) на каждом интервале постоянной, тогда с.в. можно представить в виде η=ak+ηk^*, где ak – абсцисса левой границы k-го интервала, ηk^*- с.в., возможные значения которой располагаются равномерно внутри k-го интервала, т.е. на каждом участке ak÷ak+1 величина ηk^* считается распределенной равномерно. Чтобы аппроксимировать fη(y) наиболее удобным способом, целесообразно разбить (a,b) на интервалы так, чтобы вероятность попадания с.в. η в любой интервал (ak,ak+1) была постоянной, т.е. не зависела от номера интервала. Таким образом, для вычисления аk воспользуемся следующим соотношением Достоинства: при реализации на ЭВМ требуется небольшое кол-во операций Алгоритм машинной реализации: генерируется БСВ с помощью БСВ выбирается случайный интервал (ak,ak+1) генерируется число xi+1 и масштабируется с целью приведения его к интервалу (ak,ak+1) т.е. домножается на коэффициент (ak+1-ak) xi+1 выявляется случ. число yj=ak+(ak+1-ak) xi+1 с требуемым з-ном распред-я	Проверка законов распределения ПСВ; критерий Пирсона. Пусть имеется теор. закон распределения с.в. Имеется некоторое мн-во статистических данных, которые подчиняются некоторому собственному закону распред-я. Фактические данные могут отличаться от теории в связи с тем, что: а) теор. кривая не соотв. фактическому распределению, т.е. гипотеза не верна; б) случайные факторы. При условии, что гипотеза выбрана правильно, мы должны убедиться, что отклонения полученной кривой от теор. связаны со случ. факторами. Для этого определяем вероятность того, что зафиксированное случайное расхождение не больше допустимого и объясняется случ. факторами. Для опред-я расхождения теор. кривой с практической разбиваем весь диапазон на интервалы, при этом чем больше выборка тем точнее. Подсчитываем число попаданий в каждый интервал Ni, и статистическую вероятность Ni/N. Сама мера или степень расхождения является с.в. и подчинена своему з-ну распред-я, зависящему от вида теор. кривой и случайных факторов. Для проверки закона распределения используют критерий Пирсона. Идея м-да сост. в контроле отклонения гистограммы эксперим. данных от теор. Распред-е χ^2 зависит не только от кол-ва интервалов, но и от числа степеней свободы r, которые определяются во-первых числом интервалов, а во-вторых числом независимых условий и связей: r=k-s, s определяется кол-вом ограничений, накладываемых на фактич. распред-е. По спец. таблицам определяем вер-ть того, что факт. расхождение будет не меньше полученного в связи с чисто случайными факторами.
. Символические модели; их возможности. Эти модели являются более продвинутыми в плане формализации по сравнению с наглядными моделями. Символические модели делятся на: Естественно-языковые: на начальных этапах исследований используются обычные записи св-в, процессов и ситуаций, которые отображают реальный объект в виде текста. Недостатком явл. недостаточный формализм описания (т.е. неоднозначное отображение понятий). Построенные на основе искусственных или формальных языков (тезауруса). Искусственный язык - язык с точными определенными понятиями. Тезаурус – это словарь однозначных понятий. Знаковые. Конструируются как высказывания, построенные с помощью знаков, иероглифов, символов. В таких моделях между знаками устанавливаются определенные отношения, которые позволяют конструировать допустимые высказывания. Нарушение этих правил заведомо приводит к созданию неадекватных реальному объекту моделей. Знаковые модели позволяют более точно фиксировать выявленные на ранних этапах ошибки, чем это позволяют языковые. Такие модели могут быть предпоследним этапом в процессе моделирования перед мат. моделями, но иногда на этом этапе удается завершить процесс моделирования. На практике применяются комбинированные модели, например знаково-языковые.	. Реальные модели; их возможности. Реальные модели применяются для исследования объектов в 3 случаях: В нормальных режимах работы В приграничных (экстремальных) условиях В нестандартных (нештатных) Реальные модели делятся на: Натурные. Обычно представляют реальный объект в натуральном масштабе времени. Это сам исследуемый объект или его точная копия. Натурное моделир-е осуществляется на экспериментальных образцах разработанных объектов. Иногда системы разрабатываются в малых количествах или в единственном экземпляре, здесь необходимы все виды моделирования. Однако при запуске таких систем на этапе отладки применяются только натурные модели. Виды натурных моделей: производственный эксперимент (отладка отдельных частей); комплексное испытание (для системы в целом, для выяснения взаимодействия различных частей) научный эксперимент (цель – открытие явлений природы) исследование путем обобщения опыта. Физические. Позволяют исследовать в реальном и измененном масштабе времени.	Наглядные модели; их возможности. Наглядные модели характеризуются тем, что позволяют получить наглядные образы реального объекта. Эти модели могут использоваться совместно с другими моделями, когда нужно иметь наглядный образ. Наглядные модели делятся на 3 вида: Гипотетические. Строятся, когда нет мат. описания, нет наглядных образов, но есть некоторая гипотеза о структуре данного объекта. Модель атома H. Аналоговые. Иногда наглядные гипотезы оказываются удачными и позволяют строить мат. модель. Даже получается построить достаточно точное наглядное отображение реального объекта. (пр. белки, ДНК) Макеты. На практике полезно использовать модели, которые способны отображать пространственные хар-ки объекта. Физ. природа макета отличается от природы реального объекта (пр. широко используется в архитектуре).
Классич. и системн. подходы в сравнении их познавательных установок Классический (а) Системный (б) 1 Первичность элементов Первичность целого 2 Очевидность элементов Неочевидность элементов наблюдаемого объекта 3 Принцип неразборчивости Принцип естественной системы 4 Принцип внешней организации Принцип внутренней организации 5 Принцип вероятностей Принцип ранговых распределений 1.а) При описании сложного объекта, полагается, что в его основе заложены некие простые эл-ты, в этом смысле эл-ты первичны (т.е. сист. не сущ. без этих эл-тов). Пр.: студ-ты группы; б) За первичную основу берется сам наблюдаемый объект. На первом этапе компоненты объекта не ясны (пр.: живой орг., музыка). 2.а) Эл-ты объекта очевидны и их не требуется выделять; б) Нужно использовать спец. процедуры для выявления компонентов объекта (пр. неграмотному нужно изучить язык, чтобы понять текст). 3.а) Предполагается, что в состав исследуемого объекта, могут быть введены произвольные эл-ты. Сложные объекты могут быть сконструированы искусственно. (пр. задачник включает все задачи вперемешку); б) Предполагается, что компоненты в целом волей наблюдателя не могут составлять сложную систему. Их набор не случаен и они представляют естественную компоновку (пр. организм – внутренние органы, электросхема). 4. а) Некая внеш. система организуется в целое другой внеш. системой/ организацией (пр. командир-> подразделение). В качестве внеш. системы может выступать внеш. среда или случай (пр. естеств. отбор) б) Главное – внутр. организация системы, которая в малой степени определяется внеш. факторами	Моделирование дискретных случайных величин методом обратной функции; способы их описания. Дискретная с.в. η принимает значения y1≤y2≤…≤yi≤… с вероятностями р1, р2, …, составляющими дифференциальное распред-е вероятностей y y1 y2 … yi … Р(η=y) р1 р2 … рi … При этом интегральная функция распределения ym≤y≤ ym+1, m=1,2,…, Fη(y<y1)=0. Для получения дискретных с.в. можно использовать м-д обр. ф-ции. Если ζ – равномерно распределенная на интервале (0,1) с.в., то искомая с.в. η получается с помощью преобр-я η=Fη^-1(ζ), где Fη^-1 – ф-ция, обратная Fη. Алгоритм вычисления сводится к выполнению следующих действий: если x1<p1 то η=y1, иначе, если x2<p1+p2 то η=y2, иначе … , если то η=ym, иначе …	Универсальный способ формирования непрерывной случайной величины. Основан на кусочной аппроксимации ф-ции плотности. Пусть требуется получить послед-ть случайных чисел {yi} с ф-цией плотности fη(y) на интервале (a,b). Представим fη(y) в виде кусочно-постоянной ф-ции, т.е. разобьем интервал (a,b) на m интервалов, и будем считать fη(y) на каждом интервале постоянной, тогда с.в. можно представить в виде η=ak+ηk^*, где ak – абсцисса левой границы k-го интервала, ηk^*- с.в., возможные значения которой располагаются равномерно внутри k-го интервала, т.е. на каждом участке ak÷ak+1 величина ηk^* считается распределенной равномерно. Чтобы аппроксимировать fη(y) наиболее удобным способом, целесообразно разбить (a,b) на интервалы так, чтобы вероятность попадания с.в. η в любой интервал (ak,ak+1) была постоянной, т.е. не зависела от номера интервала. Таким образом, для вычисления аk воспользуемся следующим соотношением Достоинства: при реализации на ЭВМ требуется небольшое кол-во операций Алгоритм машинной реализации: генерируется БСВ с помощью БСВ выбирается случайный интервал (ak,ak+1) генерируется число xi+1 и масштабируется с целью приведения его к интервалу (ak,ak+1) т.е. домножается на коэффициент (ak+1-ak) xi+1 выявляется случ. число yj=ak+(ak+1-ak) xi+1 с требуемым з-ном распред-я
. Имитационное моделирование и его возможности. Для исследования сложных объектов используется имитационное моделирование, когда вместо ур-ний используется моделирующий алгоритм. При этом обычно нек. перечень факторов имеет случайную природу. Поэтому имитационные модели очень часто явл. статистическими. Пр.: л/р по помехоустойчивому кодированию. При моделировании сложных объектов не удается построить аналитическую модель, однако исследователю удается моделируемый процесс разбить на элементарные процессы в пространстве и времени, которые связаны между собой и достаточно точно отображают реальные хар-ки объекта. Совокупность связей между элементарными процессами, отображающими реальный процесс, представляется с помощью моделирующего алгоритма, или имитационной модели. С помощью имит. моделей можно получить мн-во частных решений, что позволяет понять поведение объекта в целом, что присуще аналитическому моделированию, т.е. при большом числе испытаний имитационная модель приближается к аналитической модели.	Кибернетические модели; их возможности. Зачастую при исследовании объекта и проектировании системы не требуется познание внутренней структуры и ф-ций объекта, либо это в принципе невозможно. Бывает достаточным получить приближенное описание наблюдаемого объекта, в разных, по мнению исследователя, ситуациях. В таких случаях допускается произвольная структура и ф-ции модели. Обычно это некоторые моделирующие алгоритмы, которые обеспечивают правдоподобное поведение модели. Степень правдоподобности поведения модели определяется исследователем по известному поведению реального объекта. Если поведение модели совпадает с поведение объекта, то делается допущение о том, что искусственная структура обеспечивает похожие поведение модели в др. ситуациях. Внутр. структура и ф-ции в кибернетической модели наз. “чёрным ящиком”. При киберн. моделировании неважно, что в “чёрном ящике”. Требования к “чёрному ящику”: Если в диалоге «человек–машина» часто удается получать правдоподобные ответы и машина формирует правдоподобные предложения, то наблюдаемая система признается мыслящей.	. Математическое моделирование. Наиболее формальным явл. мат. моделирование, в кот. модели конструируются из знаков, записанных поочередно в форме мат. высказывания (уравнение, неравенство, лог. условие). Между знаками устанавливается очень точное отношение алгебраических операций. Сами знаки представляют переменные и величины, которые характеризуют определенные св-ва объекта, а операции отношения фиксируют точные связи между компонентами модели. Мат. моделирование наиболее удобно в инженерной работе и НИР, т.к. оно обеспечивает: наиболее полное соответствие; легкую управляемость; дешёвые (только в использовании) модели. Высокие затраты на построение. Это моделирование более эффективно, если возможно мат. описание процессов и когда это описание простое.
Суть и роль общепринятых методологических подходов в познавательной деятельности и моделировании. Во все времена существования человечества в качестве инструмента познавательной деятельности использовались методологические подходы (стереотипы мышления), в т.ч. в научной деят-ти. Роль этих подходов двояка. С одной стороны, стереотипы мышления создают алгоритмы деят-ти, которые при последующих применениях уже не требуют творческих усилий. С пом. систем образования эти стереотипы тиражируются, что экономит время. Однако недостатком установившихся методологических подходов (догматов) явл. невозможность взглянуть по-новому на прежние объекты и полная невозможность вкл. в поле зрения новые объекты => стереотипное мышление явл. тормозом в познавательной деятельности. Различают следующие методологические подходы: классический и системный. Их суть и роль удобно выявлять в сравнении их познавательных установок. В основе классического подхода заложена мат. традиция, которая явно выражена в теории множеств => это теоретико-множественный подход. В основе этого подхода лежит то, что сложное можно описать с помощью простого. Системный подход более новый, чем классический: в качестве основы он представляет наблюдение сложного объекта в целом.	. Цель, суть и сферы применения моделирования. Существует внешняя среда, которая представлена исследователю в виде объекта-оригинала или процесса (явления). Также сущ. информационная система – наблюдатель. Предполагается, что есть более сложная система, сост. из внешней среды и информационной системы. Внеш. среда представлена нек. свойствами, не отн. к инф. системе, но она оказывает действие на инф. систему. С другой стороны, инф. система (наблюдатель) оказывает влияние на внеш. среду с пом. исполнительных устройств. Т.о. внеш. среда и инф. система взаимодействуют. Свойства объекта-оригинала не представлены непосредственно на входе инф. системы Опосредованные характеристики оригинальных св-в объекта, которые имеются на входе инф. системы, формируются инф. системой в виде образа объекта – этот образ является моделью оригинала. Т.о. инф. система (субъект) формирует или создает для себя модель, которая ~ аналогична объекту-оригиналу. При этом предпол., что реальный объект труднодоступен для наблюдателя. Если удалось установить аналогию между моделью и оригиналом, то исследование объекта заменяется исследованием модели. Сферы применения: В настоящее время моделир-е на сознательном уровне используется почти во всех сферах человеческой деятельности: медицине, биологии и т.д. В последние десятилетия широко применяется цифровое/компьютерное мат. моделир-е. Но кроме мат. моделир-я, широко используются др. виды. Сфер применения много, но основных направлений 2: научные исследования; проектирование систем.	. Определения модели и моделирования; этапы моделирования. Модель — естественно существующие или искусственно созданные объект, явление, процесс, ситуация, которые ~ аналогичны труднодоступному или вообще недоступному для прямого исследования явлению, процессу… . В качестве модели может выступать лишь доступный исследователю объект. Моделирование — процесс опосредованного опознания труднодоступного объекта-оригинала с помощью модели. Если удалось установить аналогию между моделью и оригиналом, то исследование объекта заменяется исследованием модели. 2 этапа моделир-я: построение модели, адекватной оригиналу (этот этап самый важный и трудный); исследование объекта-оригинала с помощью модели (используем модель, чтобы познать труднодоступный объект). Исследование возможно, если ранее удалось построить адекватную модель. На практике бывает полезно знать не просто описание объекта с пом. модели, но и то, как поведет себя объект в разных ситуациях. В этом смысле полезно исследование модели.
Организация цифрового статистического моделирования; метод статистических испытаний (Монте-Карло). Метод статистических испытаний (Монте-Карло) базируется на иссл-ии случайных чисел, т.е. возможных значений нек. с.в. с заданным распределением вероятностей. Статистическое моделирование представляет собой метод получения с помощью ЭВМ статистических данных о процессах, происходящих в моделируемой системе. Статистические данные обрабатываются и классифицируются с использованием методов мат. статистики. Сущность метода: построение для процесса функционирования системы S некоторого моделирующего алгоритма, имитирующего поведение и взаимодействие элементов системы с учетом случайных входных воздействий и воздействий внешней среды E, и реализация этого алгоритма с использованием программно-технических средств ЭВМ. Области применения: для изучения стохастических систем; для решения детерминированных задач. В результате статистического моделирования системы S получается серия частных значений искомых величин и функций, статистическая обработка которых позволяет получить сведения о реальном поведении системы в произвольные моменты времени. Если количество реализаций N достаточно велико, то полученные результаты моделирования системы приобретают статистическую устойчивость и с достаточной точностью могут быть приняты в качестве оценок искомых характеристик процесса функционирования системы S. Метод статистических испытаний (МСИ) — это специфич. инструмент для получения с.в., процессов и функций. Если этот метод включен в состав имитационной модели то она получает название имитационно-статистич. модели. В МСИ для реализации множества с.в. используются некоторые БСВ. В качестве БСВ можно взять любую, однако на практике принято использовать БСВ с равномерным распределением.	Способы формирования базовых случайных величин (БСВ); их возможности. Есть три способа получения с.в.: - аппаратный способ основан на использовании физических процессов, которые представлены как случайные (пр.: шумы в п/п приборах). Используется электронная приставка, на выходе которой формируется случайная функция. Недостаток метода: необходимость периодической настройки и невозможность повторного воспроизведения той же самой цепочки с.в. - табличный способ удобен когда требуется небольшое число с.в., которые предварительно д.б. получены и зафиксированы в ОЗУ. - алгоритмический способ используется чаще всего, т.к. не требует периодической настройки и специальных устройств для получения чисел, легко воспроизводится та же послед-ть, размер выборки задается разработчиком. В основе лежит специальный алгоритм, который при очередном обращении формирует только одну реализацию с.в., многократное обращение формирует заданное число реализаций. Все перечисленные способы позволяют реализовать только псевдослучайные величины (ПСВ). Такие алгоритмы строятся обычно с помощью рекуррентных процедур. xi+1=Ф(xi) – рекуррентное соотношение первого порядка. В качестве функции-генератора следует использовать функцию, плотно заполняющую квадрат (1,1). Необходимые требования для генерации БСВ: ПСВ д.б. независимы, неповторяющимися достаточно длительное время, воспроизводимыми, время генерации д.б. минимальным	. Метод серединных квадратов для генерации БСВ. Один из первых м-дов получения последовательностей ПСВ. Пусть имеется 2n-разрядное число, меньшее 1: xi=0, a1 a2 … a2n. Возведем его в квадрат: xi^2=0, b1 b2 … b4n, а затем отберем средние 2n разрядов xi+1=0, bn+1 bn+2 … b3n, которые и будут являться очередным числом псевдослучайной последовательности. Недостаток этого метода – наличие корреляции между числами последовательности, а в некоторых случаях случайность вообще может отсутствовать (x0=0,4500, x0^2=0,20250000, x1=0,2500, x1^2=0,06250000, x2=0,2500 и т.д.) Кроме того, при некоторых i^* вообще может наблюдаться вырождение последовательности, т.е. xi=0 при i≥i^*. Это существенно ограничивает возможности использования метода серединных квадратов.