26-39

27. Проверка законов распределения ПСВ; критерий Колмогорова

Отличается от критерия Пирсона тем, что мера расхождения определяется гораздо проще: определяется max величина расхождения между теор. и фактическим значением ф-ции распределения. Т.о., сравниваются ф-ции распределения, а не плотности.

D = max |F*(x) – F(x)|

При n  ∞

1) находим D

2)

3) по таблице определяем P(λ) – вероятность того, что возможные отклонения от D_max будут не меньше установленного по случайным причинам.

Критерий Колмогорова также не гарантирует факт полного совпадения, а позволяет определять степень уверенности. Он пригоден только тогда, когда заранее известен з-н распределения. Если известен только вид ф-ции без параметров, крит. Колмогорова дает завышенную оценку.

27. Технические средства моделирования

Электронные тех. средства моделирования представлены, включая специализированные модели, большим числом типов вычислительных средств. Наиболее часто применявшиеся — обычные ЦВМ, АВМ и комбинированные вычислительные комплексы (гибридные и ГВК).

До конца 50-х электронные выч. средства применялись только для математич. (аналитич.) моделирования, т.е. в осн. как средства расчетов для численного решения ур-ний. Модели в осн. использовались для военных целей, прежде всего для моделирования ядреного взрыва.

С нач. 60-х стали моделировать все более сложные системы и исследовать проектируемые системы. Модели таких объектов описываются не только ур-ниями, приходится использовать имитационные модели.

В наст. время комп. моделирование используется прежде всего для исследования и проектирования систем с помощью имитационной модели, которая в своем составе может содержать аналитическую часть.

38. Классификация средств ВТ и их возможности для моделирования

Средства ВТ классифицируются:

1) по типу машинной переменной;

2) по способу реализации алгоритма в машине.

По типу (форме представления) переменной:

1) в аналоговой форме. Отдельное мгновенное значение исходной переменной представлено также отдельным мгновенным значением машинной переменной;

2) в кодовой форме (числом). Отдельное мгновенное значение исходной переменной представлено группой машинных переменных, которая представляет кодовое слово;

3) когда переменная представлена в гибридной форме. Условно: старшие разряды – в кодовой, младшие – в аналоговой.

По способу реализации алгоритма:

1) программный – предполагает преобр-е алгоритма в послед-ть команд (программу). Параллельные действия в этом случае исключены;

2) структурный – реализация алгоритма в виде жесткой схемы, т.е. мн-ва цифровых или аналоговых вычислит. элементов, связанных электрически. Обеспечиваются параллельные действия;

3) комбинированный (структурно-программный) – предполагает возможность изменения структуры или схемы в соотв. с заданной программой. Действия осущ. параллельно-последовательным способом.

Итого получаем 9 чистых типов выч. средств.

29. АВМ и электронные аналоговые модели; их возможности

Аналоговая форма представления переменных имеет след. недостатки:

• относительно невысокая точность представления переменных в виде величин;

• затруднено надежное и длительное запоминание аналоговых величин.

+: Однако такая форма представления в сочетании со структ. типом алгоритма обесп. выс. быстродействие и || обработку мн-в данных. Возможно также изменение масштаба времени.

АВМ имеют малую алгоритмич. гибкость. Они предназначены для решения систем ДУ выс. порядков. Тем не менее, диф. ур-ниями описывается очень большой класс динамических систем, среди кот. эл. схемы, магнитные поля и т.п.

В составе АВМ есть наборное поле, на кот. выведены входы и выходы соотв. пассивных эл-тов. Коммутация этих эл-тов позволяет собирать необходимую для решения ур-ний электрическую схему, которая явл. электронной моделью представляемого объекта. Результаты фиксируются измерит. приборами в разных точках схемы или преобразуются с пом. АЦП. Процесс подготовки задачи включает след. этапы:

1) выясняется вид ур-ний;

2) составляются ур-ния эл. модели, аналогичные этим;

3) сборка эл. модели (коммутация в соотв. со схемой);

4) установка параметров эл. модели;

5) «решение» (вычислений нет, производится преобразование).

30. ГВК и особенности его подготовки («программирования») для решения задач и моделирования

ГВК сост. из двух машин разного типа, обмен информацией между кот. осуществляется с пом. АЦП и ЦАП (используется буферное ЗУ и электронные коммутаторы). Поскольку АВМ обрабатывает переменные ||, и внешнее воздействие должно подаваться одновременно на все ее входы, то необходимо поштучно обработанные в ЦВМ величины в течение малого интервала времени накапливать в БЗУ. По этим же причинам несколько одновременно меняющихся величин в эл. модели АВМ невозможно подавать одновременно на входы ЦВМ. Поэтому выходы эл. модели поочередно опрашиваются с пом. электронного коммутатора, и информация с них подается поочередно на АЦП.

ГВК использ. в 2 режимах:

1) решение ДУ, описывающих динамические системы. При этом необх. разбить систему ДУ на 2 подмн-ва: с быстро и медленно меняющимися параметрами, для АВМ и ЦВМ соответственно. В целом достигается увеличение быстродействия;

2) для решения вариационных задач, в т.ч. задач на оптимизацию параметров системы (чаще). Эл. модель представляет оптимизируемый объект. Подбираются такие параметры системы, кот. обесп. реакцию на выходе, соотв. заданным критериям. Эти параметры фиксируются и наз. оптимальными.

М-ды оптимизации: 1) простой перебор; 2) градиентные; 3) случайный поиск; 4) 2+3.

31. Математическое моделирование; понятие математической схемы; описание св-в моделируемой системы; з-н и алгоритм функц-я системы; выходная траектория объекта

Для моделир-я объекта необх. иметь нек. исходную информацию:

1) цель работы системы;

2) условия взаимодействия системы с внешней средой.

Эти факторы определяют, что моделир-е будет использовано для проектирования системы или исследования объектов.

При моделир-и важна полнота описания системы. Она задается границей между системой и внеш. средой. При этом важно выделить осн. и второстеп. св-ва системы. Если это удается, то второстеп. св-ва игнорируются, и описание объекта упрощается.

Матем. схема: различаются обобщенная и типовая. При моделир-и объекта матем. схема выступает в кач. промежуточного формализма между содержательным описанием и полной мат. моделью. Обобщ. и типовая мат. схема отличаются от ур-ний, однако указывают на классы моделей. Пр.: типовые мат. схемы – ДУ; СМО. На первом этапе моделир-я обобщ. мат. схема показывает осн. связи между величинами, а типовые мат. схемы указывают на класс мат. абстракций, которые будут использоваться.

Выделяют след. группы величин, представляющих св-ва системы:

1) мн-во входных воздействий - вектор X(t);

2) мн-во воздействий из внеш. среды – V(t);

3) мн-во внутренних, или собственных параметров системы – H(t);

4) мн-во выходных величин – Y(t).

Y(t) = F_s(X,V,H,t), где F_s – з-н функционирования системы. Метод реализации з-на функционир-я наз. алгоритмом функционирования системы.

Вых. траектория объекта – выходная реакция объекта во времени.

32. Понятие «состояния системы». Описание поведения системы через изменение ее сост-й; фазовое пространство и фазовая траектория объекта

Бывает удобно описывать поведение системы через ее состояние. Для этого необх. знать либо текущее состояние в данный момент, либо начальное состояние, и все изменения др. величин.

При таком способе описания величин используется понятие «пространство состояний», или «фазовое пространство». Во время функционирования система переходит из одного состояния в другое. Вся цепочка составляет т.н. фазовую траекторию.

В нек. случаях выходные величины определяются только входными. Все др. факторы удается считать неизменными в течение функционирования системы.

33. Виды типовых математических схем

Виды типовых мат. схем различаются в завис. от хар-ра исследуемого процесса:

а) система м.б. представлена как детерминированный или вероятностный объект. В последнем случае в качестве СВ моделируется прежде всего внешнее воздействие (помехи). Кроме того, это часть внутренних параметров системы и нек. входные величины.

б) время м.б. представлено как непрерывная или дискретная величина.

Учитывая вышесказанное, различают след. виды схем:

1. Детерминированно-непрерывные схемы (D-схемы).

2. Детерминированно-дискретные схемы (F-схемы).

3. Вероятностно-непрерывные схемы (Q-схемы).

4. Вероятностно-дискретные схемы (P-схемы).

С пом. типовых мат. схем удается описывать относительно простые объекты.

34. D-схемы и их описание

D-схема (детерм.-непр.) — типовая мат. схема, кот. моделирует динамические системы, описываемые обыкн. ДУ или их системами. Частный случай дин. систем – САУ.

В общем виде сложная дин. система представима системой ДУ вида

т.е. мн-вом ДУ 1 порядка. Необх. найти реакцию системы при известном входном возд-и. При этом имеется в виду, что система ДУ известна, неизвестны только значения пар-ров, кот. обеспечивают требуемую реакцию на выходе. Для получения требуемой системы ее параметры оптимизируются.

35. F-схемы и их описание

F-схемы (детерм.-дискр.) – это конечные автоматы, поведение которых детерминировано и реализуется в конечные моменты времени.

Кроме того, F-схема используется для решения ДУ м-дом конечных разностей. В этом случае на каждом очередном шаге решения динамический объект заменяется его мгновенным состоянием (сечением).

Конечный автомат характериз-ся 6 факторами:

1) вх. алфавитом;

2) алфавитом состояний;

3) вых. алфавитом;

4) начальным состоянием z₀;

5) ф-цией переходов φ;

6) ф-цией выходов ψ.

Поведение автомата обычно исследуется для цепочки вх. сигналов, кот. наз. входным словом. Конечный автомат преобразует вх. слово в вых. абсолютно однозначно, а результат зависит также от текущего состояния.

36. P-схемы и их описание

P-схема (вероятностно-дискр.) – представима в математике т.н. вероятностными автоматами. В данном случае рассматривается такая система, которая представима как автомат в том смысле, что здесь различают ф-ции переходов и выходные сигналы. Однако будущее состояние такой системы определяется неоднозначно, вероятностями всех возможных состояний. Выходные сигналы также опред. неоднозначно.

Описание вероятностного автомата:

<xi, zs> G
<zj, yk> Q	<z1, y1>	…	<zj, yk>
	P11	…	Pjk

Такие распределения вероятностей по всем выходным парам д.б. заданы для каждой вх. пары. P_jk – вер-ть такого сложного события типа произведения событий, что одновременно реализуется состояние z_j и выход y_k при условии, что вх. пара была <x_i, z_s>.

С учетом мн-ва таблиц распределения B, вероятностный автомат представим:

P = <X, Z, Y, z, B>, где B заменяет φ и ψ

37. Z- и Y-детерминированно-вероятностные автоматы

Возможны объекты, которые удается моделировать таким образом, что либо состояние детерминировано входом, а вых. сигналы случайны, либо выходные сигналы детерминированы, а состояние случайно.

1) Z-детерминированно-вероятностные;

2) Y-детерминированно-вероятностные.

При статистическом моделир-и такие модели очень широко применяются.

38. Q-схемы и понятие СМО

Q-схема (вероятностно-непр.) – представима в математике т.н. системой массового обслуживания (СМО), изучаемой в теории массового обслуживания (очередей). В такой системе основным компонентом явл. блок обслуживания.

x_i – поток заявок

y_k – выходной поток

w_k – поток обслуживаний

Поток заявок м.б. однородным или неоднородным. Для потоков характерно Δt – СВ.

Обычно СМО позволяют описать функционирование системы лишь в стационарном режиме, а не в переходных процессах. Показатели качества работы – вероятность обслуживания заявок, число накопившихся заявок и т.д.

39. Вероятностные автоматы Мили и Мура

Если вер-ть формирования вых. пары определяется простым произведением

вер-тей состояний и выходов, что озн., что выходной сигнал не зависит статистически от состояния объекта, то это вероятностный автомат Мили.

Пусть выходной сигнал определяется только состоянием автомата.

<zj> Z
<yk> Y	<y1>	…	<yk>
	P(y1)	…	P(yk)

Если такого типа вероятностный автомат формирует вых. пару таким образом, что

то мы получаем вероятностный автомат Мура.