Методика решения задач по оптике для студентов инженерных специальностей

Задача179

Точечный предмет расположен на биссектрисе угла, образованного двумя плоскими зеркалами, поставленными под

углом α = 30o . Предмет находится на расстоянии ребра двугранного угла. На каком расстоянии S расположены первые мнимые изображения зеркалах?

L = 10 см от друг от друга предмета в

1*. Дано:

α = 30o,

L = 10 см = 10-1м.

S – ?

Решение.

					2*.	и
						а
						с
						р
						d .
						т
						к
						е
						с
						с	β
			.			Xи		.X2
						б
					.		. C
						L
		X1			K
						α.B S
					а
					л
					г
					у
					о
					г
		о			о
					н
	р			н
б			а
е			р
р		г
		у
	в
д

4*. Составим	полную систему уравнений для нахождения
искомой величины S :
	S2 = (2d )2 + (2d )2 − 2(2d )(2d )cos β,
(1)
	β +α +π 2 +π 2 + = 2π,
(2)
	α
	d = Lsin 2 .
(3)
Система	трех уравнений (1) – (3) замкнута, так как
содержит три неизвестные величины: S, β, d .
9*. Ответ:	S ≈ 1,0 10−1м = 10 см.
	***************
	Задача180	L1 = 20 см,
При прохождении света через трубку длиной
содержащую	раствор сахара концентрацией	С1 = 14%,
	- 260 -

плоскость поляризации света повернулась на угол ψ1 =13o. В другом растворе сахара, налитом в трубку длиной L2 = 70 мм,

плоскость поляризации света повернулась на угол

	Определить концентрацию С2 второго раствора.
	1*. Дано:		2*.	Решение.
	L1 = 20 см =
	= 2 10-1м,		0
	С1 = 14%,			L	1
	ψ1 =13o,				0
	L2 = 70 мм =	0	L2	C 1
										v
	= 7 10-2 м,
				C2
								E	ψ2
	ψ2 = 6o.			0
						v
	С2 – ?

ψ2 = 6o.

E

ψ1

4*.	Составим	полную	систему уравнений для нахождения
искомой величины С2 :			ψ1 = αρ C1L1,
		(1)
			ψ2 = αρ C 2L2 .
		(2)
Система		двух уравнений (1)		–	(2) замкнута, так как
содержит две неизвестные величины:				L2 ,	αρ .
9*. Ответ:			C2 = 1,3%.
		***************
			Задача181
При	аэрофотосъемке		местности		в масштабе 1:5000

( Г = 2 10−4 ) применена фотокамера с объективом, имеющим фокусное расстояние F = 60 см. На какой высоте H над землей летел самолет?

- 261 -

1*. Дано:

Решение.

фотопленка

Г = 2 10−4 (1:5000),

*

2 .

F = 60 см = 6 10-1м.

.B

.

A.

F .A'

.

0

.

F .

H – ?

2F

H

f

B'

4*.

Составим

полную

систему

уравнений

для

нахождения

искомой величины H :

1

1

1

+

=

,

(1)

H

f

F

f

Г =

.

(2)

H

Система

двух уравнений (1) – (2) замкнута, так как

содержит две неизвестные величины: H ,

f .

9*. Ответ:

H ≈ 3,0 103м = 3 км .

***************

Задача182

d = 3,5 мкм.

Постоянная

дифракционной

решетки

Найти

отношение θ

угловой дисперсии

решетки для

λ = 589 нм в

спектрах m1 = 3 (третьего) и m2 = 1 (первого) порядков.

1*. Дано:

2* ───

Решение.

d = 3,5 мкм = 3,5 10-6 м,

λ = 589 нм = 5,89 10-7 м,

4*.

Составим

полную систему

m1 = 3 ,

уравнений

для нахождения искомой

величины θ:

m2 = 1.

θ– ?

- 262 -

		(1)	D1= m1			(d cosϕ1 ),
			D2= m2			d cosϕ2 ,
		(2)
			θ = D1			D2 ,
		(3)
		(4)	d sinϕ		1	= m λ,
							1
			d sinϕ2 = m2λ.
		(5)
Система		пяти уравнений (1) – (5) замкнута, так как
содержит пять неизвестных величин:						D1,		D2 , θ, ϕ1,			ϕ2 .
9*. Ответ:			θ ≈ 3,4 .
		***************
			Задача183
С какого расстояния d был сделан фотоснимок автобуса, если
его высота		на снимке	h1 = 9	мм,			а	в действительности –
h2 = 3 м.		Фотоснимок	отпечатан				контактным				способом.
Фокусное расстояние объектива фотоаппарата F = 11 см.
1*. Дано:					Решение.
h1 = 9 мм =		2*.							фотопленка
= 9 10−3м,
		.B
h2 = 3 м,								F
		h2							A'
		A. .		.			0.	.
									.h
F = 11 см	=		2F	F					.	1
= 1,1 10−1	.		d					f	B'
	м.
d – ?

4*. Составим полную систему уравнений для нахождения искомой величины d :

	1			1					1
(1)		+					=			,
	d			f					F
	h2				d
(2)			=					.
	h1					f

- 263 -

Система

двух уравнений (1) – (2) замкнута, так как

содержит две неизвестные величины: d,

f .

9*. Ответ:

d ≈ 3,7 101м = 37 м.

***************

Задача184

Три

николя

расположены

так,

что

угол

между

главными

плоскостями первого и второго равен ψ1 = π 4, а

второго и

третьего

−

ψ2 = π 6 .

Определить, во сколько раз θ

интенсивность естественного света на входе в первый кристалл

больше

интенсивности выходящего

из третьего николя луча,

если потерями на отражение и поглощение можно пренебречь.

1*. Дано:

2* .

Решение.

ψ1 = π 4,

B1

I1e

I3e

ψ2 = π 6 .

I B

o

I2e

B2

0

e

e

e

o

A1

o

A

B

ψ1

B1 B2

A2

A A1 ψ2

A2

θ – ?

оптические

оси

4*.

Составим полную систему уравнений для нахождения

искомой величины θ :

1

I1e =

I0 ,

(1)

2

I2e = I1e cos2ψ1,

(2)

I3e = I2e cos2ψ2 ,

(3)

θ = I0

I3e .

(4)

Система четырех уравнений (1) – (4) не замкнута, так как

содержит пять неизвестных величин:

I0 , I1e ,

I2e , I3e , η .

Однако уравнения (1) – (4) линейно зависимы относительно

переменных

I0 , I1e , I2e , I3e .

Решение

системы

получается

последовательной подстановкой (1) в (2), далее в (3) и т.д., что

приводит к единственному уравнению с одним неизвестным.

- 264 -

9*. Ответ:

θ ≈ 5,3.

***************

Задача185

( nс = 1,6)

Через плоскопараллельную стеклянную

пластинку

толщиной d = 4 см,

погруженную в воду ( nв = 1,3)

, проходит

световой луч. Луч падает

под

углом

α = 30o к

поверхности

воды, слой которой имеет величину

H = 10

см.

Определить

оптическую длину пути луча

L в невоздушной среде (вода +

пластинка).

1*. Дано:

2*.

Решение.

nс = 1,6,

α D

воздух, n

d = 4 см = 4 10-2м,

s

ε

вода, nв

nв = 1,3,

B

Q

α = 30o,

.

.

γ

стекло, nc

H = 10 см = 10-1м.

d

H

l

L– ?

.

γ.

O

C

4*.

Составим полную систему

уравнений

для

нахождения

искомой величины L:

sinα

nв

(1)

sin(π 2 − ε ) =

n ,

sinε

n

=

(2)

с ,

sinγ

nв

s =

H − d

,

(3)

cos(π 2

− ε )

l =

d

,

(4)

cosγ

(5)

L = nвs + nсl

n = 1.

(6)

- 265 -

Система шести уравнений (1) – (6) замкнута, так как

содержит шесть неизвестных величин: n, ε, γ ,

s,

l,

L.

9*. Ответ:

L ≈ 1,8 10−1м = 18 см.

***************

Задача186

На

дифракционную

решетку

падает

нормально

монохроматический свет с длиной волны

λ = 0,5 мкм.

На

экран, находящийся от решетки на расстоянии

L = 10 м, с

помощью

линзы,

расположенной

вблизи

решетки,

проецируется дифракционная картина, причем первый главный

максимум

наблюдается

на

расстоянии

x = 15 см

от

центрального.

Определите

число

штрихов

N

на

длине

S =1 см решетки.

1*. Дано:

Решение.

λ

λ = 0,5 мкм =

2 *.

P

= 5 10-7 м,

D

решетка

C

S

N

M

L = 10 м,

линза

.

x = 15 см =

ϕ

L

1,5 10-1м,

S = 1 см=

экран

O

A

B

-2

= 10

м.

k=0

x

k=1

k=2

N – ?

4*.

Составим

полную систему уравнений для нахождения

искомой величины N :

(1)

N = S d ,

d sinϕ = mλ,

(2)

m = 1,

(3)

(4)

sin

ϕ = x ,

sinϕ ≈ tgϕ

≈ ϕ.

L

- 266 -

Система четырех уравнений (1) – (4) замкнута, так как содержит четыре неизвестные величины: N , d, ϕ, m .

9*. Ответ:	N = 3 102 = 300 .
	***************
	Задача187
Высота Солнца	над горизонтом α = 56o. Во сколько раз θ

освещенность вертикальной стены дома, обращенной к Солнцу,

отличается от

освещенности

горизонтальной поверхности

такой же площади?

Решение.

1*. Дано:

2

*.

α = 56

o

.

.

солнце.S

B

Eв

R

θ– ?

K.β

Eг

.A

α

4*. Составим

полную

систему

уравнений

для

нахождения

искомой величины θ:

I

Eг =

(1)

R2 cos β,

I

Eв

=

cosα

,

(2)

R2

(3)

β = π 2 −α,

Eв

(4)

θ =

.

Eг

Система

четырех уравнений (1) –

(4)

замкнута, так как

содержит четыре неизвестные величины:

Eг,

Eв, β,

I

.

9*. Ответ:

θ ≈ 6,7 10−1 = 0,67.

R2

***************

- 267 -

Задача188

Дифракционная

решетка имеет

N =1000

штрихов

на длине

S = 5 мм

и рабочую длину

L = 5 см. Найти

разрешающую

способность A дифракционной решетки,

если она отчетливо

воспроизводит спектр пятого порядка ( m = 5).

1*. Дано:

Решение.

N = 1000 = 103 ,

2* ───

S = 5 мм = 5 10-3 м,

4*.

Составим

полную

систему

L = 5 см = 5 10-2 м,

уравнений

для

нахождения

искомой

величины A:

m = 5.

(1)

A = mN общ,

L

d =

,

A– ?

(2)

N

общ

d = S N .

(3)

Система

трех уравнений (1) – (3) замкнута, так как

содержит три неизвестные величины: A, Nобщ,

d .

9*. Ответ:

A = 5 104 .

***************

Задача189

Две тонкие одинаковые собирающие линзы, сложенные

вплотную, дают на экране изображение лампочки, увеличенное

в

θ = 3

раза.

Расстояние

между

лампочкой

и

экраном

L = 80 см. Определить оптическую силу Dлз

каждой линзы.

1*. Дано:

Решение.

θ = 3,

2*.

две линзы, сложенные вплотную

.B

экран

L = 80 см= 8 10-1м.

2F

F

F

2F

.

. . . . . .

Dлз – ?

A

A'

d

f

.B'

L

- 268 -

4*.

Составим

полную

систему

уравнений

для

нахождения

искомой величины Dлз :

1

1

1

+

=

,

(1)

f

d

F

1

D =

,

(2)

F

f

(3)

= θ

,

d

d + f = L,

(4)

D = 2Dлз.

(5)

Система

пяти уравнений (1) – (5) замкнута, так как

содержит пять неизвестных величин:

f , d, F , D, Dлз.

9*. Ответ:

Dлз ≈ 3,3 дп.

***************

Задача190

узкой щели S

Расстояние

от

бипризмы Френеля

до

равно

a = 0,3 м,

а

до

экрана

–

b = 1,5 м.

Бипризма

имеет

преломляющий угол

θ = 0,3o

и

коэффициент преломления

n = 1,5 . Определить

длину

λ

волны падающего

света, если

ширина полос интерференционной картины на экране равна

x = 0,6 мм.

1*. Дано:

Решение.

a = 0,3 м,

2*.

b = 1,5 м,

S.1

θ

θ = 0,3o ≈ 5,2 10−3рад,

n = 1,5 ,

d

SS..

ϕ

x

x = 0,6 мм = 6 10-4м.

экран

λ – ?

2

a

b

- 269 -