Методика решения задач по оптике для студентов инженерных специальностей

4*. Составим полную систему уравнений для нахождения искомой величины θ:

		EA =		I	cos β,
	(1)			R2
				A
				I
	(2)	EK =		R2 cos(π 2 −α),
				K
		cosβ = a 2 ,
	(3)
				R
					A
		cos(π 2 −α)= aR 2 ,
	(4)
					K
	(5)	R	= a		2(1 + cosπ 6),
		A
	(6)	R	= a		(1,25 + cosπ 6),
		K
		θ =	EA .
	(7)
			E	K
Система	семи уравнений (1) – (7) не замкнута, так как
содержит	восемь				неизвестных	величин:

EA , EK , β, α, I, RA , RK , θ . Однако уравнения (1) – (7) линейно зависимы относительно всех величин, кроме θ . Относительно нее

система однозначно разрешима последовательной подстановкой уравнений (1) – (6) в (7).

9*. Ответ:	θ ≈ 4,5 10−1 = 0,45.
	***************
	Задача224
Круглый зал	диаметром d = 30 м освещается лампой,

укрепленной в центре потолка. Найти высоту H зала, если известно, что наименьшая освещенность стены зала в θ = 2 раза больше наименьшей освещенности пола.

- 300 -

1*. Дано: d = 30 м,

θ = 2.

H – ?

	Решение.
2*.	точечный источник
	света I

A .

H

R

	.			.	.N
E	K α	β	O
в
Eг				d

4*. Составим полную систему уравнений для нахождения искомой величины H :

	Eг =		I
(1)					cosα,
		R2
			I
	Eв =
(2)						cos β,
			R	2
								d 2
(3)	cosα		=						,
						H 2 + d 2
									4
								H
	cos β		=
(4)						H 2 + d 2			4
(5)	θ = E		в	E			г	.

Система пяти уравнений (1) – (5) не замкнута, так как

содержит		шесть	неизвестных	величин:
Eг, Eв, α,	β,	H , (I R2 ).	Однако рассматриваемая	система
однозначно	разрешима относительно H , так как			величины
Eг, Eв, α,	β,	(I R2 )линейно зависимы в уравнениях (1) – (5).
9*. Ответ:		H = 3,0 101м = 30 м.

***************

- 301 -

Задача225

h = 0,6 м лежит

На горизонтальном дне водоема глубиной

плоское зеркало. На каком расстоянии

L от места вхождения

луча в воду, показатель преломления которой n = 1,3 , этот луч

снова выйдет на поверхность воды после отражения от зеркала?

Угол падения луча α = 30o.

1*. Дано:

2*.

Решение.

h = 0,6 м,

L

nв

α

d

n = 1,3 ,

. .

.

n

Z

K

M

α = 30o.

β

.S

h

L– ?

зеркало

4*.

Составим полную систему уравнений для нахождения

искомой величины L:

sinα

n

=

,

(1)

sin β

nв

nв = 1,

(2)

(3)

L = 2d,

d = htgβ.

(4)

Система

четырех уравнений (1)

–

(4)

замкнута, так как

содержит четыре неизвестные величины: β,

nв,

L, d .

9*. Ответ:

L ≈ 5,0 10−1м = 50 cм.

***************

Задача226

На пути параллельного пучка света, угол падения лучей

которого

α = 30o,

поставлены

две

пластинки

одинаковой

толщины

d =1 мм с показателями преломления

n1 =1,4

и

- 302 -

n2 = 1,7.

Найти

разность

ξ

оптических

длин

путей

света

в

пластинках.

1*. Дано:

2*.

Решение.

α = 30

o

,

α

d = 1 мм = 10-3м,

K

n1

γ

L

d

n1 =1,4,

S

n2 = 1,7.

α

M

n2

d

ε H

ξ– ?

N

4*.

Составим полную систему уравнений для нахождения

искомой величины ξ:

	(1)	sinα = n		,
		sinγ	1
		sinα = n
	(2)			,
		sinε	2
		L = d cosγ ,
	(3)
			d
		H = cosε ,
	(4)
	(5)	ξ = Hn − Ln .
			2		1
Система	пяти уравнений (1) – (5) замкнута, так как
содержит пять неизвестных величин: γ , ε,					L, H , ξ .
9*. Ответ:	ξ ≈ 2,7 10−4м = 0,27 мм.
	***************
	Задача227
Над площадкой, на высоте			H = 3		м, подвешены две
электрические	лампы силой		света		I = 300 кд каждая.

Расстояние между лампами L = 5 м. Вычислить освещенность

Eна земле в точке, равноотстоящей от обеих ламп.

-303 -

1*. Дано:	2*.			Решение.
H = 3 м,					L
							S
I = 300 кд,		S
		.				.
L = 5 м.		I		R			I
	H				R
					α.
E– ?					B

4*. Составим полную систему уравнений для нахождения искомой величины E:

	E = 2	I
(1)		R	2 cosα,
			H
	cosα	=			,
(2)				R
	R =	H		2	2
(3)					+ L 4.

Система трех уравнений (1) – (3) замкнута, так как содержит три неизвестные величины: E, R, α .

9*. Ответ: E ≈ 3,0 101 лк = 30 лк.

***************

Задача228

Определить расстояние S от тонкой двояковыпуклой линзы до предмета, при котором расстояние от предмета до действительного изображения будет минимальным, если фокусное расстояние такой линзы F = 40 мм.

- 304 -

1*. Дано:		-2		2*.		Решение.
F = 40 мм = 4 10			м,
S + f = Lmin .				B				экран
				.	F.	F .
				2F			F	2F
				A. .			.	A'. .
								B'
						L		.
					S		f
S – ?					S + f = Lmin
4*.	Составим полную систему уравнений для нахождения
искомой величины S :

	1		1			1
(1)		+			=		,
	S			f		F
	L = S + f ,
(2)
	dL						S = корень (3).
			= 0,
(3)	dS

Система трех уравнений (1) – (3) замкнута, так как содержит три неизвестные величины: S, f , L.

9*. Ответ: S = 8,0 10−2м = 80 мм.

***************

Задача229

Расстояние между двумя лучами, падающими перпендикулярно на боковую поверхность равнобедренной призмы, равно L1 = 2 см. Стеклянная призма имеет преломляющий угол

α = 25°. Найти расстояние L2 между лучами, вышедшими из

призмы после преломления, если показатель преломления стекла призмы n =1,5.

1*. Дано:

Решение.

L1 = 2 см = 2 10−2м,

- 305 -

α = 25°,

2*.

.N

n =1,5.

.

α

L1

.Dγ

π/2−γ

α

L2

C.

L2 – ?

DK = x

K.

.A

CD =L1

π/2−α

γ

.

KA =L2

.

n

Q

M

4*.

Составим полную систему уравнений для нахождения

искомой величины L2 :

sinα

= n,

(1)

sinγ

L1

x =

,

(2)

sin(π

2 −

α)

(3)

L

= xsin(π

2 − γ ).

2

Система

трех уравнений (1) – (3)

замкнута, так как

содержит три неизвестные величины: γ , L2 ,

x .

9*. Ответ:

L2 ≈ 1,9 10−2м = 19 мм.

***************

Задача230

Собирающая линза дает действительное увеличенное

изображение

предмета

в

θ1 = 4

раза. Если этот предмет

передвинуть на

L = 5

см, то увеличение уменьшится и станет

равным

θ2 = 2.

Найти

фокусное

расстояние F линзы, если

изображение остается действительным.

- 306 -

1*. Дано:

θ1 = 4,

L = 5 см = = 5 10−2м,

θ2 = 2.

F – ?

2*. . .			Решение.
					f
					1
	. F.d		.C	f2
2F				F	2F	.
..				.	..
	L	1
		d2
					.
						.

4*. Составим полную систему уравнений для нахождения искомой величины F :

Система содержит пять

9*. Ответ:

(1)	θ1 = f1			d1 ,
			f2
(2)	θ2 =			,
			d2
	1		1		1
		+		=		,
(3)	d1		f1		F
	1 +		1	=	1	,
(4)
	d2		f2		F
	d1 +		L = d2 .
(5)

пяти уравнений (1) – (5) замкнута, так как неизвестных величин: d1, d2 , f1, f2 , F .

F = 2,0 10−1м = 20 cм.

***************

Задача231

Из плоскопараллельной стеклянной пластинки изготовили три линзы: две плосковыпуклые (№№ 1 и 3 − краевые) и одну двояковогнутую (№ 2 − центральную). Оказалось, что линзы 1 и 2, сложенные вместе, являются рассеивающей системой с

- 307 -

фокусным расстоянием, равным F12 = −10 см, а фокусное

расстояние линз 2 и 3, также приложенных плотно одна к другой, равно F23 = −15 см. Предполагая, что линзы тонкие,

найти фокусные расстояния каждой из трех линз F1 , F2 , F3 . Ответ записать в виде системы.

1*. Дано:

F12 = −10 см= −10−1м,

F23 = −15 см= −1,5 10−1м.

F1 , F2 , F3 – ?

Решение.

2*.

1

2

3

4*. Составим полную систему уравнений для нахождения искомых величин F1 , F2 , F3 :

			1						1						1
	(1)						+					=						,
			F1						F2						F12
		1						1						1
	(2)						+					=					,
		F2						F3						F23
				1						1					1
	(3)						+						+				= 0.
				F1						F2					F3

Система трех уравнений (1) – (3) замкнута, так как содержит три неизвестные величины: F1, F2 , F3 .

F1 = 1,5 10−1м = 15 см, 9*. Ответ: F2 = −6,0 10−2м = −6 см,

F = 1,0 10−1м = 10 см.

3

***************

Задача232

Расстояние между предметом и его изображением в выпуклом зеркале L = 30 см. Уменьшение, даваемое таким зеркалом,

Г= 0,4. Определить расстояние d от предмета до зеркала.

-308 -

1*. Дано:					Решение.
L = 30 см = 3 10-1м,			2*.		T		.B
					.M
Г = 0,4.
				P.B.1	.D		H
		.
				F..h	.C		.A
		O		A1	. K
			R
d – ?						N
					f		d
						L
4*.	Составим полную систему уравнений для нахождения
искомой величины d :			f
				= Г,
		(1)	d
			d + f = L.
		(2)
Система		двух уравнений (1) – (2) замкнута, так как
содержит две неизвестные величины: f , d .
9*. Ответ:		d ≈ 2,1 10−1м= 21 см .
		***************
		Задача233
На бумагу падает пучок света под углом α = 30o , давая светлое
пятно. Каково будет смещение					L	этого	пятна	(вдоль
поверхности бумаги), если на бумагу положить стеклянную
пластинку, показатель преломления которой n = 1,6 , а толщина
d = 5 см?
1*. Дано:			Решение.
α = 30o ,

- 309 -