12- 1_Теория вероятностей

Л.И. Магазинников

Высшая математика IV

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Контрольные работы №12

Вариант 1

Задача 1

Дана матрица распределения вероятностей системы (X, Y)

	X
Y	2	3	5
1	0,3400	0,1600	0,1000
2	0,1200	0,1800	0,1000

Найти: а) ряды распределения X и Y; б) m_x; в) m_y; г) D_x; д) D_y; е) COV (X, Y); ж) r_xy округлить до 0,01; з) ряд распределения Х, если Y = 1; и) M[X/Y = 1].

Решение:

а) Найдем ряды распределения X и Y.

Суммируя по столбцам, а затем по строкам элементы матриц распределения, находим искомые ряды распределения:

X	2	3	5	,	Y	1	2
P	0,46	0,34	0,20		P	0,60	0,40

б, в) Найдем m_x, m_y.

Используя ряды распределения X и Y найдем m_x, m_y:

m_x = M[X] = 2  0,46 + 3  0,34 + 5  0,20 = 2,94;

m_y = M[Y] = 1  0,60 + 2  0,40 = 1,40.

г, д) Найдем D_x, D_y.

Используя ряды распределения X и Y найдем M[X²], M[Y²]:

M[X²] = 4  0,46 + 9  0,34 + 25  0,20 = 9,90;

M[Y²] = 1  0,60 + 4  0,40 = 2,20.

Тогда

D_x = M[X²] – m_x² = 9,9 – 8,6436 = 1,2564;

D_y = M[Y²] – m_y² = 2,2 – 1,96 = 0,24.

е) Найдем COV (X, Y):

COV (X, Y) =

СOV (X,Y) = 2×0,34 + 3×0,16 + 5×0,10 + 4×0,12 + 6×0,18 + 10×0,1 – 2,94×1,4 = 0,104.

ж) Найдем r_xy:

.

з) Найдем ряд распределения Х, если Y = 1.

P(X = 2/Y = 1) = 0,34 ÷ 0,60 = ,

P(X = 3/Y = 1) = 0,16 ÷ 0,60 = ,

P(X = 5/Y = 1) = 0,10 ÷ 0,60 = .

и) Найдем M[X/Y = 1].

M[X/Y = 1] = .

Ответ:

X	2	3	5	,	Y	1	2
P	0,46	0,34	0,20		P	0,60	0,40

m_x = 2,94; m_y = 1,40; D_x = 1,2564; D_y = 0,24; СOV (X,Y) = 0,104; r_xy = 0,19;

P(X = 2/Y = 1) = , P(X = 3/Y = 1) = , P(X = 5/Y = 1) = ; M[X/Y = 1] =.

Задача 2

Дана плотность распределения вероятностей системы (X, Y)

Найти: а) константу С; б) ₁(х), ₂(y); в) m_x; г) m_y; д) D_x; е) D_y; ж) COV (X, Y); з) r_xy; и) ; к) .

Решение:

а) Найдем константу С:

По условию нормировки , где S – площадь треугольника ОАВ, Поэтому С = 1.

б) Найдем ₁(х), ₂(y).

;

.

в, г) Найдем m_x, m_y.

m_x =;

m_y =.

д, е) Найдем D_x, D_y.

D_x = ;

D_y = .

ж) Найдем COV (X, Y):

COV (X, Y) =

СOV (X,Y) =

з) Найдем r_xy:

.

и) Найдем .

.

и) Найдем .

.

При Y = , величина Х меняется равномерно в интервале от (0; 1,5), следовательно

.

Ответ:

С = 1; ; ; m_x = ; m_y =; D_x = ; D_y = ;

СOV (X,Y) = ; з) ; ; .

Задача 3

Среднее квадратичное отклонение нормальной случайной величины Х равно 20. Объем выборки равен 16. Выборочное математическое ожидание ã равно 3. Построить доверительный интервал для оценки математического ожидания а величины Х с надежностью  =0,95. В ответ ввести координату правого конца интервала.

Решение:

(х) = 20, n = 16, ã = 3,  =0,95.

В нашем случае Ф(t) = 0,95 ÷ 2 = 0,475. По таблице значений функции Лапласа найдем t = 1,96. Следовательно  = 1,96  20 ÷ 4 = 9,8.

Доверительный интервал математического ожидания а величины Х с надежностью  =0,95.

ã –  < a < ã + . Т.е. справедливо неравенство: –6,8 < а < 12,8.

Ответ: –6,8.