ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

(ТУСУР)

Заочный факультет (дистанционная форма обучения)

Кафедра автоматизированных систем управления (АСУ)

Математическая экономика

Контрольная работа № 1

Студент Авдеева Екатерина Сергеевна

Дата выполнения работы _ _

Дата проверки _ _

Оценка _ _

И. О. Фамилия преподователя _ _

Подпись преподователя _ _

Мирный

2008 г.

1. Коэффициент наращения годовой ренты по ставке сложных и простых процентах.

Коэффициент наращения ренты — показывает, во сколько раз наращенная сумма ренты больше первого члена ренты.

С экономической точки зрения процент представляет собой плату за использование денежных средств одного лица (кредитора) другим лицом (заемщиком, дебитором), выраженную в сотых долях от исходной суммы.

Проценты различаются по базе их начисления. Применяется постоянная или последовательно изменяющаяся база для расчета. В последнем случае за базу применяется сумма, полученная на предыдущем этапе наращения или дисконтирования, т.е. проценты начисляются на проценты. При постоянной базе используют простые, при измененной -сложные процентные ставки.

Пусть в течение n лет в банк в конце каждого года вносится по R рублей. На взносы начисляются сложные проценты по ставке i % годовых. Таким образом, имеется рента, член которой равен R , а срок — n. Все члены ренты, кроме последнего, приносят проценты — на первый член проценты начисляются n — 1 год, на второй n — 2 и т.д. На последний взнос проценты не начисляются (рента постнумерандо). Наращенная к концу срока каждого взноса сумма составит:

Перепишем этот ряд в обратном порядке. Нетрудно убедиться в том, что он представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем и первым членом R. Число членов прогрессии равно n. Искомая величина очевидно равна сумме членов этой прогрессии.

Откуда

Обозначим множитель, на который умножается R, через , нижний индекс n;i указывает на продолжительность ренты и величину процентной ставки. В дальнейшем этот множитель будем называть коэффициентом наращения ренты.

Пример:

Владелец малого предприятия создает страховой фонд. С этой целью в течении 5 лет в конце каждого года в банк вносились 10000 руб. под 20% годовых с последующей капитализацией. Определить наращенную сумму.

Таким образом,

Как видим, коэффициент наращения ренты зависит только от срока (числа членов ренты) и процентной ставки. С увеличением значения каждого из этих параметров его величина растет. При i = 0 имеем S = Rn. Значения коэффициента легко табулировать.

Полезно проследить взаимосвязь коэффициентов наращения, относящихся к последовательным интервалам времени. Для случая, когда общий срок определяется как n = n₁ + n₂ получим

Годовая рента с начислением процентов m раз в году.

Пусть как и выше, анализируется годовая рента постнумерандо. Однако проценты теперь начисляются m раз в году. Число члена ренты равно nm. Члены ренты с начисленными к концу срока процентами образуют ряд (перепишем его в обратном порядке):

где j — номинальная ставка процентов.

Нетрудно убедиться, что и в этом случае мы имеем дело с возрастающей геометрической прогрессией. Первый член прогрессии равен R, знаменатель — (1 + j/m)^m. Сумма членов этой прогрессии составляет

Пример:

Страховая компания заключает договор производственной фирмой на 3 года. Поступающие взносы в размере 500 тыс. руб.помещают в банк под 15% годовых с полугодовой капитализацией. Определить получившею страховой компанией сумму.