ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

(ТУСУР)

Заочный факультет (дистанционная форма обучения)

Кафедра автоматизированных систем управления (АСУ)

Математическая экономика

Контрольная работа № 3

Вариант 20

Студент Авдеева Екатерина Сергеевна

Дата выполнения работы _ _

Дата проверки _ _

Оценка _ _

И. О. Фамилия преподователя _ _

Подпись преподователя _ _

Мирный

2008 Г.

1. Определите доходность портфеля облигаций

Существуют, консервативные, умеренные и рискованные инвесторы. Каждый из них при покупке или продаже ценных бумаг придерживается определенных целей, учитывающих объем инвестируемых средств и время. Если же руководствоваться целями инвестирования, доходностью и риском вложенных средств, то возникает необходимость в приобретении не какого-либо количества одинаковых или разных видов ценных бумаг, а некой совокупности активов, сформированных в сознательно определенной пропорции для достижения конкретной цели инвестора. Такая совокупность ценных бумаг называется инвестиционным портфелем.

При наличии определенной суммы денег и желания приобрести на них ценные бумаги на определенный промежуток времени инвестор каждый раз сталкивается с проблемой выбора инвестиционного портфеля. Сложность проблемы заключается в том, что, принимая решение в момент времени t = 0, инвестор не располагает необходимой и достаточной информацией о доходности сформированного таким образом портфеля. Все его предположения об ожидаемой или средней доходности различных ценных бумаг строятся на том, что в прошлом периоде времени доходность этих бумаг была достаточно приемлемой для их владельцев. С другой стороны, большинство инвесторов руководствуются соображениями, что недооцененные бумаги рынком будут «исправлены». Но это верно лишь в том случае, если и все другие инвесторы пользуются таким же подходом. При этом не следует забывать, что рынок «исправляет» лишь стоимость недооценных и переоценных активов. Причем если анализируется один вид ценной бумаги, то соответственно все предположения инвестора касаются только этой бумаги.

В 1952 г. американский экономист (в будущем, в 1990 г., лауреат Нобелевской премии в области экономики) Гарри Марковиц опубликовал фундаментальную работу, которая является до настоящего момента основой подхода к инвестициям с точки зрения современной теории формирования портфеля.

Согласно теории Г. Марковица, для принятия решения о вложении средств инвестору не нужно проводить оценку всех портфелей, а достаточно рассмотреть лишь так называемое эффективное множество портфелей и выбрать оптимальный.

Инвесторы, стремясь максимизировать ожидаемую доходность, одновременно желают минимизировать риск. Наличие этих противоречивых друг другу целей затрудняем принятие решения о приобретении ценных бумаг на начальном этапе, т.е. в момент времени t = 0.

Уменьшить влияние противоречивых друг другу целей рекомендуется с помощью покупки не одной, а нескольких бумаг, каждая из которых может отличаться не только доходностью, но и риском.

Согласно уравнению доходность ценной бумаги может быть вычислена по формуле:

где С — будущая стоимость ценной бумаги; PV — текущая стоимость ценной бумаги или цена покупки.

Если же учесть, что портфель состоит из N числа разных по стоимости ценных бумаг, то уравнение доходности можно записать в виде

где р — среднеожидаемая доходность портфеля; х i — количество ценных бумаг i вида; r i — ожидаемая доходность ценной бумаги i вида; N — количество ценных бумаг в портфеле ( i = 1, 2, 3,... N ).

Представленное выше уравнение доходности отражает детерминированный подход к оценке доходности, когда о приобретаемых ценных бумагах известно все на момент времени t = 0 и через определенный промежуток времени владения ценными бумагами, т.е. на момент времени t = 1 инвестор получил вполне определенный доход. Однако, как уже отмечалось ранее, доходность ценной бумаги зависит от влияния множества факторов, которые в ряде случаев носят непредсказуемый характер поведения. Особенно большому влиянию множества факторов подвержены корпоративные ценные бумаги, меньшему — государственные.

Поскольку деятельность всех участников фондового рынка осуществляется в условиях неполной определенности, то соответственно и исход практически любых операций купли-продажи ценных бумаг не может быть точно предсказан, т.е. остается случайным. Если это так, то инвестор вправе лишь только делать предположения относительно того, какие ценные бумаги должны входить в портфель в момент времени t = 0, считая при этом уровень доходности случайной переменной. Как известно, все переменные имеют свои характеристики, одна из них — ожидаемое (или среднее) значение доходности, а другая — стандартное отклонение случайной переменной, которая является мерой разброса ее возможных значений доходности. Иногда вместо стандартного отклонения используют дисперсию случайной переменной.

Согласно теории Г. Марковица, при обосновании портфеля инвестор должен руководствоваться ожидаемой доходностью и стандартным отклонением. Интуиция при этом играет определяющую роль. Ожидаемая доходность рассматривается как мера потенциального вознаграждения, связанная с конкретным портфелем, а стандартное отклонение — как мера риска, связанная с данным портфелем. При этом делается важное предположение, что инвестор при всех прочих условиях предпочтет высокую доходность, если будут заданы два портфеля с одинаковыми стандартными отклонениями. Если же инвестору предстоит выбор между портфелями, имеющими одинаковый уровень ожидаемой доходности, то предпочтение отдается портфелю с минимальным риском, т.е., по сути, получению большего дохода при минимуме возможного отклонения.

Пример. Предположим, что мы сформировали инвестиционный портфель из трех ценных бумаг, каждая из которых за прошедший год составила: 42,8% (50-35)/35; 29,7% (42-37)/37; 35,3% (46-34)/34. Определим доходность портфеля и стандартное отклонение, считая, что число акций каждого типа равно соответственно 100, 100, 200. Тогда, подставив в формулу 12.1, получим ожидаемую доходность портфеля

где 400 — общее число акций в портфеле.

Поскольку ожидаемая доходность представляет собой средневзвешенные ожидаемые доходности, то вклад каждой ценной бумаги в ожидаемую доходность портфеля зависит от ее ожидаемой доходности, а также ее доли в начальной и конечной рыночной стоимости портфеля. Следовательно, в нашем примере наибольшую ожидаемую доходность получил бы инвестор, вложивший все имеющиеся у него средства в одну акцию с наибольшей ожидаемой доходностью. Однако большая часть инвесторов и их консультантов придерживается «золотых» правил инвестирования, одно из которых гласит: «нельзя вкладывать все средства в ценные бумаги. Необходимо всегда иметь резерв свободной денежной наличности для решения тех задач, которые могут возникнуть неожиданно». Другое общеизвестное правило — «нельзя складывать все яйца в одну корзину». Поэтому в практике портфельного инвестирования чаще всего используется диверсифицированный портфель, т.е. портфель с разнообразными ценными бумагами.

Ожидаемая доходность, как следует из формулы, представляет собой средневзвешенную величину. Однако в реальной действительности она имеет определенный разброс значений вокруг средней ее величины, что связано с рыночным характером поведения многих факторов. Это обстоятельство послужило основой для применения теории вероятностей и математической статистики при обосновании кривой распределения, имеющей форму колокола и названной нормальным распределением. Использование полученного нормального распределения при аппроксимации данных, описывающих доходность диверсифицированных портфелей, позволяет анализировать все отклонения, имеющие место и лежащие за пределами средней величины ожидаемой доходности. Полученное при этом отклонение от средней величины ожидаемого дохода дает основание инвестору для ожидания как положительных эмоций, так и, возможно, отрицательных. К положительным свойствам предсказанного прогноза о доходности диверсифицированного портфеля следует отнести то, что средняя доходность портфеля может возрасти на некоторую величину, равную названному ранее стандартному отклонению. К отрицательным результатам интерпретации полученного прогноза с одинаковой доверительной вероятностью следует отнести то, что средняя полученная доходность портфеля может уменьшиться точно на такую же величину, что и при положительном прогнозе, равную стандартному отклонению.

Понятно, что, руководствуясь интерпретацией полученного прогноза о возможной доходности сформированного инвестиционного портфеля, рисковый инвестор будет рассчитывать на получение максимальной доходности, равной средней доходности плюс стандартное отклонение, в то время как инвестор, не желающий рисковать, будет оценивать ожидаемую доходность из расчета: среднее значение доходности минус ее стандартное отклонение.

Таким образом, ожидаемая доходность служит своего рода мерой потенциального вознаграждения, связанного с риском. Стандартное отклонение при этом может рассматриваться как мера риска.

Чем больше его значение, тем больше риск.