3.2.2. Критерий устойчивости Найквиста.

Критерий устойчивости Найквиста позволяет оценить устойчивость замкнутой системы по характеру изменения амплитудно-фазовой частотной характеристике разомкнутой системы.

Определим устойчивость заданной САУ по критерию устойчивости Найквиста.

1. Определим устойчивость разомкнутой САУ по критерию Гурвица:

,

Коэффициенты характеристического уравнения:

Так как все коэффициенты положительны, то выполняется необходимое условие устойчивости системы.

Находим определитель Гурвица:

По критерию устойчивости Гурвица данная разомкнутая САУ находится на границе устойчивости и имеет только левые корни:

2. Для построения годографа Найквиста запишем комплексный коэффициент передачи разомкнутой системы:

- действительная часть

- мнимая часть

Вывод: если разомкнутая система, находясь на границе устойчивости, не имеет правых корней, то замкнутая система будет устойчивой, когда годограф Найквиста, дополненный дугой бесконечно большого радиуса, не будет охватывать точку (-1;j0). В нашем случае годограф охватывает точку (-1;j0), следовательно, система неустойчивая.

4. Расчет и построение асимптотических частотных характеристик и обоснование неустойчивости системы.

- интегрирующее звено с наклоном (-20 дБ/дек)

- инерционное звено с наклоном (-20 дБ/дек)

- инерционное звено с наклоном (-20 дБ/дек)

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика:

Фазовая частотная характеристика:

Фазовая частотная характеристика, записанная в соответствии с принципом аргумента:

График ЛАЧХ и ЛФЧХ исследуемой системы:

Система неустойчива, так как .

5. Коррекция (структурная) системы управления по требуемым показателям качества, определение передаточной функции корректирующей системы.

Для построения желаемой характеристики воспользуемся номограммами. При σ_max = 20% наибольшее значение вещественной частотной характеристики будет P_max = 1.12. По P_max находим время регулирования t_р = , где ω_π - частота положительной желаемой вещественной частотной характеристики Р(ω).

Подставляя сюда заданное t_р = 6, находим ω_π =1,83 рад/с. Для нахождения частоты среза ω_с необходимо задаться основным наклоном вещественной характеристики χ₁ =0.25.

По формуле ω_с = ω_π [1-(1- χ₁)] находим ω_с :

ω_с = 1,217 рад/с

Найдем коэффициент пропорциональности корректирующего звена:

Введем полученный коэффициент коррекции в систему и проверим алгебраическими и частотными критериями устойчивости насколько правильно подобрано корректирующее звено.

6. Определение передаточной функции скорректированной системы управления.

7. Оценка запасов устойчивости скорректированной системы управления по лачх и лфчх.

_{- интегрирующее звено с наклоном (-20 дБ/дек)}

_{- инерционное звено с наклоном (-20 дБ/дек)}

_{- инерционное звено с наклоном (-20 дБ/дек)}

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика:

Фазовая частотная характеристика:

Фазовая частотная характеристика, записанная в соответствии с принципом аргумента:

_{График ЛАЧХ и ЛФЧХ скорректированной системы:}

Система устойчива, так как .

Оценка запасов устойчивости: