2. Теоретические упражнения
1. Найти производную (если она существует) функции
в точках х1 = 0.5, х2 = —0.5, х3 = 0.
Решение:
2. Показать, что функция изменяется монотонно в любом интервале из области ее существования.
Решение:
Т. К. Корни получились чётной кратности, следовательно знак производной не изменяется, следовательно функция изменяется монотонно в любом интервале из области ее существования.
3. При каких значениях параметра а функция
непрерывна? Постройте ее график.
Решение:
4. Выяснить вид графика функции у = f(x), если известно, что в интервале (а; b) :
(1) у>0, y' >0, у"<0; (2) у>0, у' <0, у">0.
Решение:
x
5. Найти асимптоты линии
6. Какое положительное число, будучи сложенным с обратным ему числом, дает наименьшую сумму?
Решение:
7. Доказать, что всякий четный многочлен с положительными коэффициентами является выпуклым вниз и имеет только одну точку минимума.
Решение:
─
min
+
x
1
8. Доказать, что уравнение x5 + 3x—6 = 0 имеет единственный действительный корень.
Решение:
x5 = — 3x + 6
y1= x5 —возрастающая функция;
y2= — 3x + 6 — убывающая функция.
y1 и y2= могут пересечься один раз.
Уравнение x5 + 3x—6 = 0 имеет единственный действительный корень.
9. Доказать, что если дифференцируемая функция четна (нечетна), то ее производная нечетна (соответственно четна).
Решение:
y=x2k — чётная функция.
y=2kx2k-1 — нечётная функфия.
y=x2k-1 — нечётная функфия.
y=(2k-1)x2(k-1) — чётная функция
10. Выполняется ли на отрезке [—1, 2] теорема Ролля для функции у = х3 + 4х2 — 7х — 10?
Решение:
При x= —1, y=0; при x= 2, y=0;
y’=3x2+8x — 7
y’=0
3x2+8x — 7=0
x10.69 или x1 — 3.36
Теорема Ролля для функции у = х3 + 4х2 — 7х — 10 на отрезке [—1, 2] не выполняется.
3 Задачи
Исследовать функции y=y(x) и построить их графики:
-
Исследование:
-
D(y): (-;2)υ(-2;2)υ(2;+ );
-
E(y): (-;+);
-
Функция общего вида;
-
Функция не периодическая;
-
Функция имеет разрывы:
-
x=0 у=3;
-
y=0 x — таких точек нет.
-
x→+; y→0;
-
-
x→-; y→0;
-
x=2 и x= — 2 точки разрыва второго рода.
x→ -2+0; y→ +;
x→ -2+0; y→ -;
x→2+0; y→ -;
x→2-0; y→ +;
-
-
Асимтоты:
x = —2; x = 2 —вертикальные асимптоты;
y = 0 —горизонтальные асимтоты.
-
Функция дифференцируема на (-;2)υ(-2;2)υ(2;+ );
Уmin=3 при x=0.
-
Функция дважды дифференцируема на (-;2)υ(-2;2)υ(2;+ );
-
П
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
остроение графика функции:
-
Исследование:
-
D(y): [1;+ );
-
E(y): (0;1];
-
Функция нечётная;
-
Функция не периодическая;
-
Функция непрерывная:
-
x=0 у — таких точек нет;
-
y=0 x — таких точек нет.
-
x→+; y→0;
-
-
x→-; y→0;
-
Т
x
1
очки разрыва нет. -
-
Асимтот нет.
-
Функция дифференцируема на (1;+ );
Уmax=1 при x=2.
-
Построение графика функции:
y
2
1
-1 x -1
0 1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12 13 14
15