5.6.1 Сравнение двух зависимых выборок с использованием теста знаков

Одним из наиболее простых критериев различия является критерий знаков G. Он дает возможность установить, насколько однонаправленно изменяются значения признака при повторном измерении связанной однородной выборки. Критерий знаков применяется к данным, полученным в ранговой, интервальной шкале и шкале отношений. В случаях, когда сдвиги могут быть определены количественно, но варьируются в достаточно широком диапазоне, лучше применять критерий Вилкоксона.

Нулевая гипотеза: H0={преобладание типичного направления сдвига является случайным}.

Альтернативная гипотеза – H1={преобладание типичного направления сдвига не является случайным}.

Алгоритм проверки:

1. Определяется сдвиг для каждого элемента совокупности. Для каждого сдвига фиксируется его знак.

2. Определяется типичный (преобладающий) знак сдвига ("+" или "-").

3. Определяется количество типичных и нетипичных сдвигов.

4. Эмпирическое значение критерия определяется как число нетипичных сдвигов.

5. Критическое значение критерия , где – общее число сдвигов, т.е. объем выборки, определяют по специальной таблице.

6. Нулевая гипотеза не отвергается, если . В этом случае типичный сдвиг считается случайным на выбранном уровне значимости.

Количество измерений должно быть не меньше 5 и не больше 300. При равенстве типичных и нетипичных сдвигов критерий знаков неприменим.

Схематично алгоритм применения критерия знаков можно представить следующим образом:

Пример сравнения двух зависимых выборок с использованием теста знаков

Результаты измерения уровня тревожности до и после проведения тренинга в группе испытуемых отображены в таблице.

№ испытуемого	Уровень тревожности «до» тренинга	Уровень тревожности «после» тренинга	Сдвиг
1	30	34	+4
2	39	39	0
3	35	26	-9
4	34	33	-1
5	40	34	-6
6	35	40	+5
7	22	25	+3
8	22	23	+1
9	32	33	+1
10	23	24	+1
11	16	15	-1
12	34	27	-7
13	33	35	+2
14	34	37	+3

Определить, является ли изменение уровня тревожности статистически значимым.

Число положительных сдвигов превосходит количество сдвигов в отрицательном направлении, следовательно, типичным является положительный сдвиг.

Эмпирическое значение критерия определяется, как число нетипичных сдвигов и равно 5. Критическое значение критерия (приложение 5). Так как, то нулевая гипотеза не отвергается. Типичный сдвиг считается случайным на выбранном уровне значимости.

5.6.2 Сравнение двух зависимых выборок с использованием теста Уилкоксона (Вилкоксона)

Тест известен также как знаковый ранговый критерий Уилкоксона, критерий знаковых рангов Уилкоксона, одновыборочный критерий Вилкоксона.

Критерий применяется для сопоставления двух зависимых выборках. С его помощью можно определить, является ли сдвиг показателя в каком-то одном направлении более существенным, чем в другом.

Нулевая гипотеза H0={существенность сдвигов в типичном направлении не превосходит существенности сдвигов в нетипичном направлении}. На объём выборки накладывается условие: 5≤n≤50.

Алгоритм проверки:

1. Вычисляются разности между индивидуальными значениями показателя после проведения эксперимента и до него.

2. Модули разностей ранжируются в порядке возрастания.

3. Отмечаются ранги, соответствующие сдвигам в нетипичном направлении. Например, если в большинстве случаев после проведения эксперимента наблюдалось увеличение измеряемого параметра, то его уменьшение следует считать нетипичным сдвигом.

4. Эмпирическое значение критерия определяется как сумма рангов, соответствующих нетипичным сдвигам.

5. Если критическое значение не превосходит эмпирического, то на данном уровне значимости отсутствуют основания для отклонения нулевой гипотезы о несущественности различий. В противном случае нулевая гипотеза отвергается.

Таким образом, схема применения критерия Вилкоксона будет иметь следующий вид:

Критерий Вилкоксона позволяет установить не только направленность изменений, но и их выраженность. Следующий рассматриваемый нами критерий служит только для определения направления изменения в двух связанных выборках.

Этот тест предъявляет к исследуемой выборке следующие требования:

• шкала измерений должна быть порядковой, интервальной или относительной (т.е. тест нельзя применять к номинальным переменным).

• исследуемое распределение должно быть непрерывно и симметрично относительно своей медианы

• число различных значений в массиве X должно быть не менее 5

Предположение о симметричности распределения является критичным для работы теста. В случае, если оно не выполняется, тест неприменим и возвращаемые им уровни достоверности некорректны. В этом случае можно использовать менее мощный, но более общий критерий знаков.

Пример сравнения двух зависимых выборок с использованием теста Уилкоксона (Вилкоксона)

Для демонстрации применения критерия определим значимость различий изменений вербальной памяти до и после иппотерапии (в баллах), используя следующие данные:

Измерение до эксперимента	6	5	4	3	7	6	4	4	5	6
Измерение после эксперимента	8	5	6	4	7	7	5	3	8	7
Разность показателей	2	0	2	1	0	1	1	-1	3	1
Модуль разности	2	0	2	1	0	1	1	1	3	1
Ранг модуля разности	8.5	1.5	8.5	5	1.5	5	5	5	10	5

В рассмотренном примере имеется только один такой сдвиг (см. таблицу), которому соответствует ранг, равный 5. Поэтому эмпирическое значение критерия будет численно равно этому рангу: . Критическое значение на уровне значимости 5%(приложение 6).

Так как , то нулевую гипотезу следует отвергнуть и считать различия существенными.