§ 4. Дифференциал функции, его вычисление

Рассмотрим дифференцируемую в точке функцию. Ее приращение в этой точке имеет вид (см. (2.1))

,

где и не зависит от, апри. Заметим, что если, то слагаемоеимеет тот же порядок, что и, и линейно относительно, а слагаемоеимеет порядок, высший по отношению к. Поэтому слагаемоеесть главная часть приращения.

Определение 1. Главная, линейная относительно, часть приращенияфункцииназываетсядифференциалом этой функции и обозначаетсяили.

Таким образом,

,

где и отне зависит.

Как было показано в теореме 1 § 2 , поэтому

. (4.1)

Формула (4.1) справедлива и для функции , поэтомуили. Учитывая это, равенство (4.1) можно записать в виде

. (4.2)

Из (4.2) имеем

,

т.е. производную можно рассматривать как частное от деления дифференциала функции на дифференциал аргумента.

Поскольку отличается отна величину, стремящуюся к нулю при, разностьможно сделать сколь угодно малой, взяв достаточно малое. Поэтому в приближенных вычислениях часто заменяютна, так каквычислять проще. При этом получается следующая формула для приближенного вычисления значений функции:

.

Из механического и геометрического смысла производной вытекает механический и геометрический смысл дифференциала.

Механический смысл дифференциала:дифференциал – это путь, пройденный телом за время, если его скорость постоянна и равна.

Геометрический смысл дифференциала выясним с помощью рисунка.

касательной, соответствующее приращению аргумента.

Заметим, что есть приращение ординаты самой кривой, соответствующее приращениюаргумента.

Дифференциалы конкретных функций вычисляются по формуле (4.2) с помощью таблицы производных. Например, и т.д. Аналогично выводятся правила вычисления дифференциалов. Например,,. Для сложной функцииимеем. С другой стороны,, поэтому. Таким образом,и тогда, когдах – независимая переменная (см. (4.2)), и тогда, когда– функция.

Определение 2. Свойство сохранения формулыпри замене независимой переменнойх функцией называетсяинвариантностью формы дифференциала.

Это свойство позволяет легко находить дифференциалы сложных функций. Например, .

§ 5. Производные и дифференциалы высших порядков

Поскольку производная функциив свою очередь есть функция отх, по отношению к ней можно ставить вопрос о существовании и вычислении производной.

Определение 1. Производная от производной функцииназываетсяпроизводной 2-го порядка иливторой производной функции. Производная от 2-ой производной называетсяпроизводной третьего порядкаилитретьей производнойи т.д., производная от производнойn-го порядка называетсяпроизводной - го порядка. Производные, начиная со второй, называютсяпроизводными высших порядкови обозначаются:

или.

Могут встречаться и другие обозначения производных высших порядков.

Производная называется также производной 1-го порядка.

Примеры производных порядка n:.

Выясним механический смысл 2-ой производной. , как известно, есть скорость изменения функцииотносительно аргументах. Поэтому 2-я производная, как производная от производной, есть скорость изменения скорости, т.е. ускорение изменения функцииотносительно аргументах.

Вычислим производную 2-го порядка функции, заданной параметрически уравнениями . Заметим, что. Поступая так же, как при вычислении первой производной, получим

=.

Таким образом,

.

Определим дифференциалы высших порядков. Заметим, что в формуле , т.е. отх не зависит,− функция отх, значит, иесть функция отх. Поэтому можно говорить о дифференциале от дифференциала.

Определение 2. Дифференциал от дифференциала функциив некоторой точке называетсядифференциалом 2-го порядка в этой точке и обозначается. Дифференциал от дифференциала 2-го порядка называетсядифференциалом 3-го порядка и обозначаетсяи т.д. Дифференциал от дифференциала (n-1)-го порядка называетсядифференциалом n-го порядка и обозначается.

Получим формулы для вычисления дифференциалов высших порядков функции , имеющей в точкех производные любого порядка. Имеем

,

,

.

Из последней формулы получаем, что , т.е. обозначениеможно рассматривать не только как символ, но и как дробь.

Сохраняется ли инвариантность формы дифференциалов высших порядков? Рассмотрим дифференциал 2-го порядка. Если х – функция, то

.

Если же х независимая переменная, то

.

Видим, что две последние формулы отличаются друг от друга слагаемым , т.е. уже для дифференциала 2-го порядка форма его изменяется при замене независимой переменной функцией.

Таким образом, дифференциалы высших порядков свойством инвариантности формы не обладают.