§ 6. Основные теоремы о дифференцируемых функциях

Познакомившись в предыдущих параграфах с техникой дифференцирования функций, займемся теперь изучением связи между свойствами производной и свойствами функции. При этом будут существенно использоваться несколько теорем, называемых основными теоремами дифференциального исчисления или основными теоремами о дифференцируемых функциях. Поэтому сначала докажем их.

Теорема 1 (Ферма). Пусть функция определена на промежуткеХ и во внутренней точке этого промежутка принимает наибольшее или наименьшее значение. Тогда, если в точке существует конечная производная, то она равна нулю, то есть .

Доказательство. Рассмотрим случай, когда – наибольшее значение функциина промежуткеХ. Тогда для всех. По определению. Еслисправа, то. Еслислева, то. Таким образом, одновременно должно бытьи, что возможно только тогда, когда.

Случай, когда – наименьшее значение функциина промежуткеХ, рассматривается аналогично.

Т

Геометрический смысл теоремы Ферма состоит в том, что в точке с абсциссой касательная к кривой, если она существует, параллельна осиОх.

Заметим, что в доказательстве теоремы существенно использовался тот факт, что точка – внутренняя, поскольку рассматривались точких и правее, и левее точки.

еорема доказана.

у

О а b х

Пьер Ферма (1601-1665) занимался математикой на досуге, работая в Тулузе (Франция) юристом. Вместе с Паскалем является основателем математической теории вероятностей. Занимался также геометрией и теорией чисел. Наиболее известна «великая теорема Ферма», которая утверждает, что уравнение дляне имеет решений при натуральных значениях. Доказана эта теорема только в 1994 году.

Следующая теорема принадлежит Мишелю Роллю (1652-1719), французскому математику.

Теорема 2 (Ролля). Пусть функцияопределена на отрезке, причем:

1) непрерывна на;

2) в интервале существует конечная производная;

3) .

Тогда в интервале найдется точкас такая, что.

Доказательство. Посколькунепрерывна на отрезке, то по 2-ой теореме Вейерштрасса она принимает насвое наибольшее значениеМ и наименьшее значениеm. Возможны два случая:

1) М =m, т.е.для всех. Тогдадля всехи в качествес можно взять любую точку из.

2) . Поскольку, то хотя бы одно из значенийМ илиm функция принимает в интервале, т.е. в некоторой точке. Так как по условиюсуществует, то по теореме Ферма.

Теорема доказана.

у

Геометрически теорема Ролля означает, что если непрерывная кривая является графиком дифференцируемой функции, то между двумя точками кривой, имеющими одинаковую ординату, всегда найдется точка, в которой касательная параллельна оси Ох.

О а b х

Теорема3 (Лагранжа). Пусть функцияопределена на отрезке, причем:

1) непрерывна на;

2) в интервале существует конечная производная.

Тогда существует точка , такая, что

. (6.1)

Доказательство.Рассмотрим навспомогательную функцию

.

Каждая из функций в правой части непрерывна на , дифференцируема в, поэтому иудовлетворяет этим же условиям. Кроме того,, т.е.. Таким образом, функцияудовлетворяет условиям теоремы Роля, поэтому по этой теореме найдется точкатакая, что, т.е.

,

откуда

.

Теорема доказана.

Формула (6.1) называется формулой Лагранжа. Ее часто используют в виде

. (6.2)

Выясним геометрический смысл формулы Лагранжа.

у

Рассмотрим дугу АВ кривойи секущуюАВ. Ясно, что, где− угол между секущейАВ и осьюОх. Из геометрического смысла производной следует, что, где− угол между касательной к кривой в точкеи осьюОх. Из формулы Лагранжа следует, что, т.е. на дугеАВ есть точка, в которой касательная параллельна секущейАВ.

В

f(b)-f(a)

A

О а b x

Жозеф Луи Лагранж (1736-1813) родился в Турине в итало-французской семье. В 19 лет стал профессором математики артиллерийской школы в Турине. В 1766 году был приглашен Фридрихом II в Берлин, написавшим в приглашении, что «необходимо, чтобы величайший геометр Европы проживал вблизи величайшего из королей». В 1786 году после смерти Фридриха II переехал в Париж. Занимался вариационным исчислением, алгеброй, теорией чисел, математическим анализом, небесной механикой.

Замечание.Теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа., когда(секущая параллельна осиОх).

Рассмотрим теперь не весь отрезок , а его часть, где. Применим к отрезкуформулу Лагранжа:, где. Можно записать, где. (достаточно положить). Тогда получим формулу, называемуюформулой конечных приращений.Эта формула устанавливает точное выражение для приращения функции при любом конечном значении приращения, в отличие от приближенной формулы, в этих формулах в разных точках вычисляются значения производной.

Так как мы не знаем, чему равно с, то и значение, как правило, нам неизвестно. Тем не менее, полученная формула находит большое применение в теоретических исследованиях.

Теорема 4 (Коши). Пусть на отрезкезаданы функциии, причем:

1) инепрерывны на;

2) в интервале существуют производныеи,.

Тогда существует точка такая, что

.

Эта формула называется формулой Коши.

Доказательство. Заметим сначала, что формула имеет смысл. Действительно,по условию. Кроме того,, так как в противном случае было быи по теореме Роля нашлась бы точка в интервале, в которойобратилась бы в нуль, а это невозможно по условию.

Рассмотрим вспомогательную функцию . Эта функция удовлетворяет условиям теоремы Роля: непрерывна на, дифференцируема в,. Поэтому найдется точкатакая, что, т.е., откуда.

Теорема доказана.

Замечания. 1) Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши при.

2) Теоремы Роля, Лагранжа и Коши называют теоремами о средних значениях, поскольку в них идет речь о значениях производных при средних значениях аргумента (а иb – крайние,с – среднее значения). При этом теорему Коши часто называют обобщенной теоремой о среднем значении.