Тензоры
Тензоры возникли
как естественное развитие представлений
об объектах линейной алгебры: если
скаляр в 
-мерном
представляется нульмерным объектом
(состоящим только из одного элемента поля),
вектор — одномерным массивом (матрицей
размера 
),
линейное преобразование — двумерной
матрицей,
то тензор может быть представлен как
многомерный массив элементов поля
размера 
(количество
измерений массива называют валентностью
тензора),
а скаляры, векторы, линейные операторы
оказываются частными случаями тензора
(с валентностями 0, 1 и 2 соответственно).
Следующее обобщение, использованное в
понятии тензора взято из возможности
представления линейного
функционала как ковектора и
идея двойственности между пространством
и егосопряжением —
пространством его линейных функционалов;
используя эту возможность, тензор
валентности 
рассматривается
как 
раз контравариантный,
то есть, рассматриваемый соответствующими
компонентами в «обычном» базисе,
и 
раз ковариантный,
то есть, с компонентами в сопряжённом
пространстве (
,
«тензор ранга 
»).
В тензорной
алгебре вводятся
и изучаются линейные операции над
тензорами, такие, как умножение на
скаляр, сложение, свёртка.
Особую роль играет операциятензорного
произведения (
),
обобщение которой на линейные пространства
позволило обобщить и определение
тензора: рассматривать тензор ранга 
в
линейном пространстве 
как
элемент тензорного
произведения 
экземпляров 
и 
экземпляров сопряжённого ему 
:
.
Квадратичные и билинейные формы[править | править вики-текст]
Основные статьи: Квадратичная форма, Билинейная форма
Алгебраические
формы (однородные
многочлены на
векторных пространствах, задаваемые
однородными многочленами от координат
вектора) относятся кполилинейной
алгебре,
но квадратичные, билинейные формы, и
некоторые специальные виды форм
(полуторалинейные, эрмитовы)
важны также в чисто линейной алгебре.
Значение билинейных и квадратичных
форм заключается в том, что они выражаются
матрицами, как и линейные операторы.
Наиболее детально изучены свойства
симметричных 
и
кососимметричных 
билинейных
форм.
Векторные пространства
Все
математические структуры, изучаемые в
линейной алгебре — векторы, тензоры,
матрицы, алгебраические формы, а также
операции над ними, универсализированы
в общеалгебраическом понятии
векторного (линейного) пространства. Векторное
пространство 
определяется
как алгебра над
произвольным множеством элементов 
,
называемых векторами,
и произвольным полем 
,
элементы которого называются скалярами,
притом векторы с операцией сложения
векторов 
образуют абелеву
группу,
и определена операция умножения векторов
на скаляр: 
такая,
что выполнены следующие свойства (
):
,
,
,
.
В качестве поля иногда специально рассматриваются поле вещественных чисел (тогда говорят о вещественном векторном пространстве) или поле комплексных чисел (комплексное векторное пространство) с обычными операциями сложения и умножения, в частности, в теории выпуклых множеств многие результаты формулируются именно для вещественных или комплексных векторных пространств[31]. Но значительная часть утверждений и большинство конструкций действенны для произвольных полей, более того, многие результаты линейной алгебры, полученные для векторных пространств, в XX веке обобщены доунитарных модулей над некоммутативными телами и даже для произвольных модулей над кольцами или модулей с определёнными ограничениями.
Линейные
комбинации векторов — конечные суммы
вида 
,
для совокупности векторов вводится
линейной независимости (если существует
нетривиальная линейная комбинация,
обращающаяся в нуль абелевой группы
пространства), вводится понятие базиса как
максимальной линейно-независимой
совокупности, показывается, что мощность
базиса (называемая размерностью
векторного пространства)
не зависит от его выбора.
Дальнейшие обобщения векторных пространств, такие, как наделение их полунормами, нормами, метриками, топологиями, изучаются в функциональном анализе.