гидромеханика нефти

, фор-

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

135

Заметим, что формула (7.73) чисто кинематическая, то есть справед- лива при любых движениях любой жидкости.

Если АВ – замкнутый контур, то второй член в формуле (7.73) пропа- дает.

Подставив в формулу (7.73) уравнение Эйлера (7.3), получаем

dΓ				1		1	2		2
	=	∫ F dr −	∫		p dr +		(vB	−	vA) .	(7.74)
dt				ρ		2
		AB	AB

При наличии потенциала напряжения массовых сил, когда = Π

F

мула (7.74) приобретает вид

dΓ				1		1	2		2
	=	∫ dΠ	− ∫		dp +		(vB	−	vA) ,	(7.75)
dt				ρ		2
		AB	AB

где dΠ , dp – дифференциалы, взятые вдоль дуги кривой АВ.

Если кривая АВ замкнутая, а потенциал Π											– однозначная функция, то
из равенства (7.75) получается
			dΓ	= −			○	1		dp .	(7.76)
								ρ
			dt				∫
В случае баротропного процесса
	1	dp = dΡ , ○dΡ =									0 ,
	ρ						∫
и из формулы (7.76) имеем					dΓ
						= 0 .					(7.77)
					dt

Равенство (7.77) выражает собой теорему Томсона*: если жидкость идеальная, напряжение массовых сил обладает однозначным потенциалом и процесс баротропный, то циркуляция по любому замкнутому жидкому контуру не зависит от времени.

Натянем на замкнутый контур С произвольную поверхность S. По теореме Стокса (3.35) будем иметь

Γ =	∫		2	∫	ω ndS .	(7.78)
	○v dr=
	C			S

Из формул (7.77) и (7.78) следует, что при выполнении условий тео- ремы Томсона поток вихря не зависит от времени, или

2∫ω ndS = ∫ (rot v) n dS = const ,	(7.79)

SS

*Уильям Томсон, лорд Кельвин (1824–1907), английский физик. Иностранный почетный член Петер- бургской Академии Наук.

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

136 ГЛАВА VII

причем равенства (7.78) и (7.79) справедливы для любого контура С, кото- рый может быть непрерывным образом стянут в точку, и любой поверхно- сти S, натянутой на этот контур.

Пусть в начальный момент времени t = 0 во всей области, занятой жидкостью, нет вихрей – ω = 0 . Тогда в соответствии с равенством (7.79)

∫ (rot v)n dS = 0 ,

S

а так как поверхность S произвольная, то во всей области, занятой жидко-

стью
	(rot v)n =		0 .	(7.80)
Произвольность выбора поверхности S означает также произвольность
				получаем
выбора направления нормали n . Поэтому из формулы (7.80)
			= 0 .	(7.81)
	rot v =	2ω

Из равенства (7.81) следует теорема Лагранжа: если жидкость идеаль- ная, процесс баротропный, напряжение массовых сил обладает потенциа- лом и в некоторый момент времени вихрь скорости во всей области тече- ния был равен нулю, то движение останется безвихревым и в любой по- следующий момент времени.

Условие (7.81) является условием потенциальности течения (гл. III, §5). Поэтому в жидкости, отвечающей условиям теоремы Томсона, потен- циальное движение остается таковым всегда, если оно было потенциаль- ным в какой-либо момент времени. Совершенно аналогичным образом мож- но показать, что если движение было вихревым, то оно останется вихревым и в дальнейшем.

Из теоремы Лагранжа следует, что движение, возникшее непрерыв- ным образом из состояния покоя, будет потенциальным. Подчеркнем еще раз, что этот вывод справедлив лишь при выполнении условий теоремы Томсона. В частности, это справедливо для однородной идеальной несжи- маемой жидкости в поле сил тяжести. В вязкой жидкости, а также при на- рушении баротропности, вихри могут возникать и исчезать.

§7. Уравнение Гельмгольца

Уравнение движения идеальной жидкости в форме Громеко–Ламба (7.13) в предположении, что напряжение массовых сил обладает потен- циалом, а процесс баротропный, имеет вид

∂ v

v2

+

− Π

+ Ρ +

−

2v ×

ω = 0 ,

(7.82)

∂ t

2

где Π =

∫

dp

F , а P – функция давления: Ρ

=

.

ρ

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

137

Применяя к уравнению (7.82) операцию

rot и имея в виду, что

rot(

ϕ ) =

0,

,

получаем

rot v =

2ω

∂ ω

+

rot(ω ×

v) =

0 .

(7.83)

∂ t

Проектируя равенство (7.83) на ось 0x1 , имеем

∂ ω 1 +

∂

(ω × v)

3 −

∂

(ω ×

v) 2 =

∂ t

∂ x2

∂ x3

=

∂ ω 1

+

∂

(ω 1v2 − ω 2v1) −

∂

(ω 3v1 − ω 1v3) =

∂ x3

∂ t

∂ x2

=

∂ ω 1

+ ω

1

∂ v2

+ v2

∂ ω 1

− ω 2

∂ v1

− v1

∂ ω 2

− ω 3

∂ v1

− v1

∂ ω 3

+

∂ x2

∂ t

∂ x2

∂ x2

∂ x2

∂ x3

∂ x3

+

ω 1

∂ v3

+

v3

∂ ω 1

+

ω 1

∂ v1

−

ω 1

∂ v1

+

v1

∂ ω 1

−

v1

∂ ω 1

=

(7.84)

∂ ∂ x3

∂ x3

∂ x1

∂ x1

∂ x1

∂ x1

=

∂ ω

1

+

∂ ω 1

+

∂ ω 1

+

∂ ω 1

∂ v1

∂ v2

∂ v3

1

v

2

v

3

+ ω 1

+

+

−

∂ t

v

∂ x1

∂

∂ x3

∂ x1

∂ x2

x2

∂ x3

∂ ω 1

∂ ω 2

∂ ω 3

∂ v1

∂ v1

∂ v1

−

1

+

+

−

ω

1

− ω 2

− ω 3

=

v

∂ x1

∂ x2

∂ x1

∂ x2

∂ x3

∂ x3

d

=

ω 1

+

ω

1 div v

− v1 div ω −

ω

v1

=

0 .

dt

что div ω =

Легко проверить прямой подстановкой,

0 . Кроме того, из

1

d

уравнения неразрывности (7.1) следует, что div v

=

−

ρ

.

Поэтому урав-

ρ

dt

нение (7.84) можно представить в виде

dω 1

ω 1 dρ

−

ρ

=

ω

v1 ,

dt

dt

или

dω 1

ω 1

dρ

ω

1

−

=

v1 ,

ρ

ρ

dt

ρ 2

dt

откуда

d

ω 1

=

ω

v .

(7.85)

ρ

ρ

dt

1

Соотношение (7.85) представляет собой уравнение Гельмгольца в проек-

ции на ось Ox1 . Очевидно, что в векторной форме оно имеет вид

d

ω

ω

=

v .

(7.86)

dt

ρ

ρ

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

138 ГЛАВА VII

Уравнение Гельмгольца (7.85) или (7.86) позволяет найти изменение поля вихрей во времени.

Заметим, что уравнения (7.83) и (7.86) представляют собой чисто ки- нематические соотношения. Для уравнения (7.83) это очевидно. Уравнение же (7.86) является прямым следствием уравнения (7.84), которое, с учетом

равенства div ω = 0 , в векторной форме принимает вид

dω + ω div v = (ω ) v . dt

Возьмем в жидкости какую-либо вихревую линию. Рассмотрим ее эле-

мент ds = ε ω (по определению вихревой линии, ds || ω ), где ε – малая

ρ

константа. Концы вектора ds обозначим через А и В (рис. 7.5). Частицы жидкости (материальные точки), образовавшие в момент t элемент ds , образуют в момент t + dt элемент ds′.

Очевидно, что

ds′ =

ds +

vBdt −

vAdt.

(7.87)

Заметим, что формула (7.87) по своему смыслу совпадает с равенст-

вом (7.71).

В соответствии с формулой (3.3) и определением вектора ds

−

=

ω

vB

vA =

(ds

) v

ε

v ,

ρ

и формула (7.87) принимает вид

ω

+

ω

(7.88)

ds′ = ε

v dt .

ρ

ρ

ε

ω

. В момент времени t + ∆ t

Рассмотрим теперь вектор вихря ds =

ρ

он равен

ω ′

ω

ω

ds

d

ds′′ =

ε

= ds +

dt =

ε

+

ε

dt .

(7.89)

ρ ′

ρ

dt

dt ρ

Так как в формуле (7.89) берется полная производная, то второй член в этой формуле (с точностью до членов более высокого порядка малости)

	= ε	ω	за
представляет собой приращение жидкого вихревого элемента ds
		ρ

время dt .

Воспользовавшись уравнением Гельмгольца (7.86), формулу (7.89) мож- но представить в виде

	ε	ω	+		ω					(7.90)
ds′′ =							v dt .
		ρ			ρ

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

139

Вектор ds′ – элемент жидкой линии, в который перейдет элемент ds за время dt . Вектор ds′′ – элемент вихревой линии в момент времени t + dt . Из формул (7.88) и (7.90) видно, что ds′ = ds′′ . Следовательно, элементы вихревой линии все время совпадают с элементами жидкой линии, из ко- торых эта вихревая линия составлена. Таким образом, если напряжение массовых сил обладает потенциалом, жидкость идеальная и процесс баро- тропный (условия справедливости уравнения Гельмгольца), то вихри дви- жутся вместе с частицами жидкости (вторая теорема Гельмгольца).

Возьмем элементарную вихревую трубку сечением dσ . Ее напряже- ние равно ω dσ . За время dt она перейдет в вихревую трубку сечением dσ ′. Так как, по доказанному, она состоит все время из одних и тех же частиц, то из закона сохранения массы имеем

ρ dσ ds = ρ ′dσ ′ ds′ .

Заменяя ds на ε	ω	и ds′ на ε	ω		′	, получим
	ρ			ρ ′
			ω		dσ = ω ′ dσ ′ ,

или, что напряжение вихревой трубки сохраняется во времени.

Из уравнения Гельмгольца (7.86) следует, что если в какой-либо мо-

	= 0 , то	d		ω		= 0 , то есть если вихрей не было, то они
мент времени ω
				ρ
		dt

не могут возникнуть.

Для вязкой жидкости это утверждение неверно.

Уравнение движения вязкой несжимаемой жидкости при = const имеет вид (4.42). При наличии потенциала массовых сил это уравнение мож- но представить в виде

dv =

∂ v

+

v

2

−

2v ×

ω =

Π − p +

µ ∆ v .

(7.91)

dt

∂ t

2

ρ

Проделывая с уравнением (7.91) те же операции, что с уравнением

(7.82), и учитывая, что rot(∆

=

a)

∆ rot a , получаем

d

µ

ω

=

(ω

) v +

∆ ω .

(7.92)

dt

ρ

Благодаря наличию добавочного члена µρ ∆ ω вихревые линии не бу-

дут жидкими линиями и вихри могут распространяться от частицы к час- тице.

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

	140		ГЛАВА VII
		∂ ω
	При малых возмущениях нелинейные члены vi		и (ω ) v	в урав-
		∂ xi

нении (7.92) будут величинами второго порядка малости, и это уравнение можно переписать в виде

∂ ω		µ
	=		∆ ω ,
∂ t		ρ

которое в точности имеет вид уравнения теплопроводности. Следователь- но, при малых возмущениях завихреность в вязкой жидкости ведет себя, также как температура неравномерно нагретого тела. Она имеет тенденцию распределяться по всему нагретому телу. Происходит диффузия вихря.

§8. Потенциальное течение несжимаемой жидкости

При потенциальном течении однородной несжимаемой жидкости ин-

теграл Коши–Лагранжа (7.66) может быть представлен в виде
	∂ ϕ	− Π +	+p		1	( =ϕ ) 2 0 ,	(7.93)
	∂ t		ρ	2

а из уравнения неразрывности и условия потенциальности течения имеем

div v = div( ϕ )	= ∆ ϕ = 0 ,	(7.94)

где ∆ – оператор Лапласа.

Из уравнения (7.94) следует, что ϕ – гармоническая функция, а уравне- ние (7.93) при известном ϕ позволяет найти распределение давления. Огра- ничений на решение уравнения Лапласа уравнение (7.93) не накладывает. Поэтому всякому потенциальному течению несжимаемой жидкости соответ- ствует своя гармоническая функция ϕ , а всякой гармонической функции со- ответствует свое потенциальное течение несжимаемой жидкости.

Таким образом, изучение потенциальных движений однородной не- сжимаемой жидкости сводится к изучению решений уравнения Лапласа, то есть к поиску его решений при заданных краевых условиях.

Рассмотрим область пространства, в которой задана любая гармони- ческая функция. На основании теоремы Гаусса–Остроградского и форму- лы (7.94) имеем

∫ div v dV =	∫ div( ϕ ) dV =	∫ n ϕ dS =	∫ ∂∂ ϕn dS = 0 . (7.95)
V	V	S	S

Пусть гармоническая функция ϕ достигает максимума во внутренней точке М области D. Окружим точку М бесконечно малой поверхностью S.

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

141

Так как ϕ достигает максимума в точке М, то в точках поверхности S

должно быть ∂ ϕ < 0 , а равенство (7.95) не может иметь места. Следова-

∂ n

тельно, функция ϕ не может иметь максимума во внутренней точке облас- ти D. Аналогичным образом доказывается, что ϕ не может иметь миниму- ма во внутренней точке области. Таким образом, гармоническая функция может достигать максимума или минимума только на границе области D.

Пусть скорость течения достигает максимума во внутренней точке М области и равна vM . Выберем в этой точке оси координат так, чтобы

vM =	∂ ϕ	. Так как ϕ	– гармоническая функция, то	∂ ϕ	также гармониче-
	∂ x1			∂ x1

ская функция, а поэтому она не может иметь максимума в точке М. Тогда в малой окрестности точки М найдется такая точка N, в которой

	∂ ϕ				∂ ϕ
				>				,
		∂ x1				∂ x1
			N				å

откуда
		=		∂ ϕ	2
v
	N			∂ x1
					N

+		∂ ϕ	2
		∂ x2
			N

+		∂ ϕ	2
		∂ x3
			N

	∂ ϕ
>
		∂ x1
			N

	∂ ϕ				v
>				=		M . (7.96)
		∂ x1
			M

Из неравенства (7.96) видно, что скорость течения не может достигать максимума во внутренней точке области. Аналогично доказывается, что она не может достигать и минимума во внутренней точке области. Следо- вательно, скорость потенциального течения несжимаемой жидкости может достигать максимума или минимума только на границах области D.

Рассмотрим некоторые примеры потенциальных течений несжимае- мой жидкости.

1. Пусть

Q(t)

ϕ = −

,

r =

(x1 −

x10 ) 2 + ( x2 −

x20) 2 + ( x3 − x30)

2 . (7.97)

4π r

Тогда

Q(t)

Q(t)

r2 − 3(xi − xi0 ) 2

∂ ϕ

=

xi − xi0

,

∂ 2ϕ

=

,

4π

4π

∂ xi

r3

∂ xi2

r5

откуда сразу следует, что

∆ ϕ =

∂ 2ϕ

+

∂ 2ϕ

+

∂ 2ϕ

= 0 .

∂ x12

∂ x22

∂ x32

Следовательно, ϕ – гармоническая функция, которая описывает тече- ние несжимаемой жидкости.

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

142			ГЛАВА VII
Эквипотенциальные поверхности ϕ	= const представляют собой сфе-
ры с центром в точке (x10 , x20 , x30 ) . Скорость течения			= ϕ направлена
		v

по нормалям к этим сферам, то есть по радиусам, которые являются ли- ниями тока. При этом

		vr =	∂ ϕ	=	Q(t)	,	(7.98)
			∂ r		4π r2
и при r = const	vr = const .
При r → 0	vr →	∞ , то есть центр сферы является особой точкой,
в которой пересекается бесконечное множество линий тока.
Расход через поверхность S сферы произвольного радиуса равен
	∫ vrdσ = vr ∫ dS = 4π r2vr = Q(t) .
Если Q(t) >	S	S
	0 , то скорости течения направлены от центра сферы, в цент-
ре имеется источник жидкости с интенсивностью Q(t) ; если Q(t) <							0 , то там

имеется сток.

Из формулы (7.98) видно, что если интенсивность источника (стока) меняется во времени, то одновременно меняются скорости во всей облас- ти, занятой жидкостью, то есть возмущения в несжимаемой жидкости пе- редаются с бесконечно большой скоростью (мгновенно).

Итак, формула (7.97) определяет потенциал скорости от источника (сто- ка) в пространстве.

Благодаря линейности уравнения Лапласа функция

		1	n		Qk	(t)		(x1 − x1k) 2 + ( x2 − x2k) 2 + ( x3 − x3k) 2
	ϕ = −		∑				, rk =
		4π
			k=	1	rk

также является его решением и описывает течение, возникающее при на- личии n источников (стоков).

Возьмем некоторый объем V0 вне области D,

занятой движущейся

жидкостью. Пусть xi0 соответствуют точкам объема V0 . Тогда функция

ϕ

1

∫

q(xi0

, t)

r = (x1 − x10 )

2

+ ( x2 −

x20)

2

+ ( x3 − x30)

2

= −

dV0 ,

,

4π

r

V0

как легко видеть, является гармонической и описывает течение в области D от непрерывно распределенных в объеме V0 источников с плотностью q. Аналогично можно определить для поверхности S0 , линии l0 , не принад- лежащих D, потенциалы

ϕ

= −

1

∫

m(xi0 , t)

dS0 , ϕ

= −

1

∫

n(xi0

, t)

,

dl0

4π

r

4π

r

S0

l0

где m, n – плотности распределения поверхностных и линейных источников.

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ	143
2. Рассмотрим в точке N(xi0) сток, а в точке N1(xi0 +	dxi ) источник.

При этом будем считать, что интенсивности источника и стока Q по ве- личине одинаковы. Потенциал в точке M(xj ), которую считаем неподвиж-

ной (рис. 7.6), от совокупности источника и стока равен

Q

Q

Q∆ s

1

(x − x

) 2 +

( x

) 2

+ ( x − x ) 2 .

ϕ = −

+

= −

1

−

,

r =

− x

4π r1

4π r

4π ∆ s

1 10

2

20

3

30

r1

r

Пусть теперь точка N1

неограниченно приближается к точке N ,

изведение Q∆ s =

m остается постоянным. Тогда из формулы (7.99)

чим

m

1 1

1

m ∂

1

m

o

1

ϕ

= −

lim

−

=

−

= −

s

,

4π

∆ s → 0

∆ s r1

r

4π ∂ s r

4π

r

где

–

единичный вектор прямой,

so

соединяющей точки N и N1. Величи-

на

1

N(xi0) ,

вычисляется в точке

r

(7.99)

а про- полу-

причем, так как точка M неподвижна, то дифференцирование производится по ко- ординатам xi0 , и

1

∂ 1

xk − xk0

r

=

ek

=

ek

=

.

r3

r

∂ xk0 r

r

3

Тогда

Рис. 7.6

= − m cosθ .

ϕ = −

m r

so

(7.100)

4π

r3

4π r2

Такая комбинация источника и стока называется диполем, величина m – моментом диполя, а ось, проходящая через точки N и N1 – осью диполя.

Совместив ось диполя с одной из координатных осей, легко показать, что и функция ϕ , определяемая равенством (7.100), является гармоничес- кой.

§9. Обтекание сферы

Рассмотрим движение сферы в бесконечной несжимаемой идеальной жидкости. Предположим, что в бесконечности жидкость покоится. Вблизи сферы будет существовать некоторая возмущенная область. Если движе-

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts

СПБГУАП| Институт 4 группа 4736

144 ГЛАВА VII

ния сферы и жидкости возникли непрерывным образом из состояния по- коя, то, как это следует из теоремы Томсона, движение жидкости будет по- тенциальным.

Составим условия для определения потенциала этого движения. В со- ответствии с равенством (7.94) внутри жидкости ∆ ϕ = 0 . Так как жидкость на бесконечности покоится, там ϕ = 0 . На поверхности сферы из усло- вия непротекания жидкости (4.20) имеем vn = un , где un – нормальная со-

			= ϕ ,
ставляющая скорости сферы u в точках ее поверхности. Так как v
то это условие приобретает вид	∂ ϕ	= un .

∂ u

Таким образом, задача об отыскании по- тенциала скоростей при обтекании сферы свелась к решению уравнения Лапласа, ко- гда на границе задана нормальная произ- водная. Эта задача представляет собой клас- сическую задачу Неймана.

Пусть сфера радиуса а движется по- ступательно со скоростью U. Введем сис- тему координат Ox1y1z1 , жестко связанную со сферой, и направим ось Ox 1 параллель-

но скорости U (рис. 7.7).

Рис. 7.7

Возьмем диполь с осью, параллельной

оси Ox1 , и поместим его в начало координат.

Из формулы (7.100) имеем*

ϕ =

−

m cosθ

.

(7.101)

4π

r2

В любой точке пространства M

∂ ϕ

=

m cos θ

,

∂ r

2π

r3

и при θ = 0 (рис. 7.7) в точке А сферы

∂ ϕ

=

U =

m

,

∂ r

2π a3

* Формула (7.101) имеет место и в неподвижной системе координат в момент времени, когда центр сфе-

ры находится в ее начале. В любой другой момент времени t 0 в неподвижной системе координат

ϕ = − m cosθ

4π (r − r0 ) 2 ,

где r0 – координата центра сферы при t = t 0 .

Контакты | https://new.guap.ru/i03/contacts