- •Линейная алгебра и аналитическая геометрия
- •Математический анализ.
- •1. Матрицы и действия над ними
- •2. Определители 2 ого и 3го порядка
- •3. Миноры и алгебраические дополнения.
- •4. Обратная матрица. Методы нахождения обратной матрицы
- •1. Метод присоединенной матрицы
- •2. Метод элементарных преобразований
- •5. Системы линейных алгебраических уравнений. Теорема Крамера.
- •6. Mетод Гаусса-Жордана.
- •7. Ранг матрицы. Теорема Кронекера – Капелли. Однородные системы линейных алгебраических уравнений
- •8. Линейная балансовая модель
- •9. Прямоугольная система координат в пространстве. Понятие вектора. Проекция вектора на ось. Направляющие косинусы вектора.
- •10. Линейные операции над векторами. Теоремы о проекциях векторов. Линейная зависимость векторов.
- •11. Cкалярное произведение векторов. Выражение скалярного произведения через координаты векторов.
- •12. Векторное произведение. Выражение векторного произведения через координаты векторов.
- •13. Смешанное произведение трех векторов. Выражение смешанного произведения через координаты векторов.
- •14. Векторное параметрическое уравнение прямой. Задача о делении отрезка в заданном отношении.
- •15. Координатные уравнения прямой в пространстве.
- •16. Координатные уравнения прямой на плоскости.
- •17. Угол между двумя прямыми. Взаимное расположение прямых на плоскости.
- •18. Координатные уравнения плоскости.
- •19. Общие уравнения прямой в пространстве.
- •2 0. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
- •21. Линии второго порядка( эллипс, гипербола, парабола)
- •22. Поверхности второго порядка
- •1. Множества. Грани числовых множеств. Абсолютная величина числа. Понятие функции. Классификация функций.
- •2. Предел последовательности. Понятие сходящейся последовательности. Теоремы о сходящихся последовательностях (единственный предел, необходимое условие сходимости)
- •4. Первый замечательный предел.
- •5.Второй замечательный предел.
- •6. Бесконечно-большие и бесконечно‑ малые функции. Сравнение бесконечно‑малых функций. Асимптотические формулы.
- •7. Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва.
- •8. Основные теоремы о непрерывных функциях.
- •9. Понятия сложной и обратной функций.
- •10. Понятие производной. Геометрический и физический смыслы производной.
- •11. Понятие дифференцируемости функции. Связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности.
- •12. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного.
- •13. Понятие дифференциала. Дифференциал суммы, разности, произведения и частного.
- •14. Производные постоянной, тригонометрических и логарифмической функций.
- •15. Производные обратной и сложной функций.
- •16. Производные показательной и обратных тригонометрических функций.
- •17. Логарифмическая производная. Производная степенной функции.
- •18. Таблица производных простейших элементарных функций.
- •19. Дифференцирование функции, заданной параметрически.
- •20. Теоремы Ферма и Ролля.
- •21. Теоремы Лагранжа и Коши.
- •22. Теорема Лопиталя.
- •23. Теорема Тейлора.
- •24. Признак монотонности. Необходимое условие локального экстремума. Достаточное условие локального экстремума.
- •25. Направление выпуклости и точки перегиба графика функции.
- •26. Необходимое условие наличия точки перегиба, достаточное условие наличия точки перегиба.
- •27. Асимптоты графика функции.
- •28. Комплексные числа и действия над ними.
- •29. Тригонометрическая форма комплексного числа.
- •30. Возведение комплексного числа в степень и извлечение корня. Формулы Эйлера.
- •Формулы
2. Предел последовательности. Понятие сходящейся последовательности. Теоремы о сходящихся последовательностях (единственный предел, необходимое условие сходимости)
- если для любого E>0, существует такой N(номер последовательности), что любое n>N, выполняется |xn-a|<E
.
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, при этом все арифметические действия производятся только со сходящимися последовательностями
Теорема1: сходящиеся последовательности имеют единственный предел)
Док-во: Пусть имеет предел b≠a,
выберем эпсилон окрестность а и дельта окрестность в, чтобы окрестности не имели общих точек, тогда по определению предела в эпсилон окрестности точки А содержится бесконечно много членов последовательности , а вне этой окрестности конечное число членов, тогда точка В не может быть пределом последовательности.
Теорема 2: сходящаяся последовательность ограничена.
Док-во: Из определения последовательности, можно записать ,
. Так как модуль суммы не превосходит суммы модулей, то
, тогда
Положим , , т.е. последов-ность ограничена.
3. Бесконечно-большие и бесконечно-малые последовательности. Теоремы о сумме (разности), произведении и частном двух сходящихся последовательностях. Предельный переход в неравенствах. Монотонные последовательности. Число ℮. Предел функции. Теоремы о пределах функции.
Последовательность наз. бесконечно большой, если справедливо .
|
Последовательность называется бесконечно малой, если справедливо .
|
Теорема 1: Если бесконечно большая, то является бесконечно малой и наоборот, если бесконечно малая, то бесконечно большая.
Док-во: Пусть бесконечно большая, т.е. и . , тогда , , , .
- бесконечно большая; - бесконечно малая.
Теорема 2: Если последовательность и бесконечно малые, то
, бесконечно малая ( ).
Док-во:
; , ;
- бесконечно малая.
Теорема 3: Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть последовательность бесконечно малая. ( ) Док-во:
;
, ,
– бесконечно малая последовательность.
Теорема 4: Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть последовательность бесконечно малая. (
Док-во: – ограниченная; ,
– бесконечно малая;
; , – бесконечно малая послед-ость.
Следствие: Если имеет предел равный А, то это означает, что -бесконечно малая последовательность.
Справедливо и обратное: Если -бесконечно малая последовательность, то имеет предел равный А.
Теорема о сумме (разности): Сумма (разность) двух сходящихся последовательностей есть последовательность сходящаяся, предел которой равен сумме (разносте) пределов этих последовательностей. ( )
Док-во: - бесконечно малая ; - бесконечно малая
; , тогда и
.
Теорема о произведении: Произведение двух сходящихся последовательностей есть последовательность сходящаяся, предел которой равен произведению пределов этих последовательностей. 0 Док-во: и
– бесконечно малая, тогда .
Теорема о частном: частное двух сходящихся последовательностей есть последовательность сходящаяся, предел которой равен частному пределов этих последовательностей. Док-во: аналогично двум предыдущим!
Предельный переход к неравенствам:
Теорема 1: Если все члены последовательности удолетворяют неравенству , то предел последовательности a ≥b.
Теорема 2 (теорема о двух полицейских – о сжатой переменной): Если последовательности , и , и удовлетворяют .
Монотонные последовательности:
1. послед-ость возврстающая 2. послед-ость неубывающая |
3. послед-ость убывающая 4. послед-ость невозврста-ая |
!Монотонная ограниченная последовательность сходится.
Число e: (неперовое число)
, ; ; …; ;…. .
Предел f(x) определена в некоторой окрестности точки, за исключением только если самой точки.
1.По Гейне: Число А называется пределом функции f(x) при , если для любой последовательности сходящийся к , последовательность значений функции сходится к А. (
2.По Каши: Число А называется пределом функции .
Односторонним предел: Число А называется пределом функции f(x) справа при , если , такое что , то .( : Число А называется пределом функции f(x) слева при , если , такое что , то . ( )
Предел функции при :
Число А называется пределом функции (x) при , если .
Теоремы о пределах функции:
Теорема 1: Если f(x), g(х) при имеют предел А и В, то соответственно имеют пределы А±В, .
Теорема 2 (о сжатой переменной): Если функции f(x) и , и удовлетворяют .