- •Линейная алгебра и аналитическая геометрия
- •Математический анализ.
- •1. Матрицы и действия над ними
- •2. Определители 2 ого и 3го порядка
- •3. Миноры и алгебраические дополнения.
- •4. Обратная матрица. Методы нахождения обратной матрицы
- •1. Метод присоединенной матрицы
- •2. Метод элементарных преобразований
- •5. Системы линейных алгебраических уравнений. Теорема Крамера.
- •6. Mетод Гаусса-Жордана.
- •7. Ранг матрицы. Теорема Кронекера – Капелли. Однородные системы линейных алгебраических уравнений
- •8. Линейная балансовая модель
- •9. Прямоугольная система координат в пространстве. Понятие вектора. Проекция вектора на ось. Направляющие косинусы вектора.
- •10. Линейные операции над векторами. Теоремы о проекциях векторов. Линейная зависимость векторов.
- •11. Cкалярное произведение векторов. Выражение скалярного произведения через координаты векторов.
- •12. Векторное произведение. Выражение векторного произведения через координаты векторов.
- •13. Смешанное произведение трех векторов. Выражение смешанного произведения через координаты векторов.
- •14. Векторное параметрическое уравнение прямой. Задача о делении отрезка в заданном отношении.
- •15. Координатные уравнения прямой в пространстве.
- •16. Координатные уравнения прямой на плоскости.
- •17. Угол между двумя прямыми. Взаимное расположение прямых на плоскости.
- •18. Координатные уравнения плоскости.
- •19. Общие уравнения прямой в пространстве.
- •2 0. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
- •21. Линии второго порядка( эллипс, гипербола, парабола)
- •22. Поверхности второго порядка
- •1. Множества. Грани числовых множеств. Абсолютная величина числа. Понятие функции. Классификация функций.
- •2. Предел последовательности. Понятие сходящейся последовательности. Теоремы о сходящихся последовательностях (единственный предел, необходимое условие сходимости)
- •4. Первый замечательный предел.
- •5.Второй замечательный предел.
- •6. Бесконечно-большие и бесконечно‑ малые функции. Сравнение бесконечно‑малых функций. Асимптотические формулы.
- •7. Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва.
- •8. Основные теоремы о непрерывных функциях.
- •9. Понятия сложной и обратной функций.
- •10. Понятие производной. Геометрический и физический смыслы производной.
- •11. Понятие дифференцируемости функции. Связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности.
- •12. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного.
- •13. Понятие дифференциала. Дифференциал суммы, разности, произведения и частного.
- •14. Производные постоянной, тригонометрических и логарифмической функций.
- •15. Производные обратной и сложной функций.
- •16. Производные показательной и обратных тригонометрических функций.
- •17. Логарифмическая производная. Производная степенной функции.
- •18. Таблица производных простейших элементарных функций.
- •19. Дифференцирование функции, заданной параметрически.
- •20. Теоремы Ферма и Ролля.
- •21. Теоремы Лагранжа и Коши.
- •22. Теорема Лопиталя.
- •23. Теорема Тейлора.
- •24. Признак монотонности. Необходимое условие локального экстремума. Достаточное условие локального экстремума.
- •25. Направление выпуклости и точки перегиба графика функции.
- •26. Необходимое условие наличия точки перегиба, достаточное условие наличия точки перегиба.
- •27. Асимптоты графика функции.
- •28. Комплексные числа и действия над ними.
- •29. Тригонометрическая форма комплексного числа.
- •30. Возведение комплексного числа в степень и извлечение корня. Формулы Эйлера.
- •Формулы
22. Поверхности второго порядка
- это поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат задается уравнением: Ax2+By2+Cz2+Dxy+Eyz+Fxz+Gx+Hy+Iz+J=0 Эллипсоид – поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат имеет вид: + = 1 Р ассечём поверхность || xOy сечением z = h (h > 0): + = 1 = 1 - * →
+ = 1 + = 1 - эллипс a1 b1
в сечении получаются эллипсы, если: 1) |h| < |c| - эллипс 2) |h| > |c| - мнимые эллипсы (на поверх. не сущ.) 3) |h| = |c| - две точки (0; 0; -С) и (0; 0; С) ! аналогично для сечений x = h; y = h . В сечении получ. точки, эллипсы и мнимые эллипсы: Однополостный гипербалоид -наз. поверхность в некоторой ДСК, имеющая вид: - = 1 рассечём поверхность || xOy сечением z = h > 0: a1 = a ; b1 = b h →∞ (h стремится к бесконечности) a1 →∞ ; b1 → эллипсы при z = h при x = h > 0 - = 1 + = 1→ - = 1 b1 c1 в сечении получается гиперб. 1) Если |h| < |a| - гипербола 2) Если |h| > |a| - мнимые гиперболы 3) Если |h| = 0 - две прямые y = я ! аналогично, для сечения y = h > 0, в сечении получаются гиперболы Двухполостный гиперболоид -наз. поверхность, которая в некоторой ДСК имеет вид: - = -1 при z = h > 0, если 1) |h| < |с| - мнимые эллипсы 2) |h| > |с| - эллипсы 3) |h| = |с| - две точки (0; 0; -С) и (0; 0; С) при x = h и x = h (h>0) гиперболы Эллиптический параболоид -наз. поверхность, которая в некоторой ДСК имеет вид: = z при z = h > 0 = 1 - эллипс 1) Если |h| > 0 - эллипс 2) Если |h| < 0 - мнимый эллипс 3) Если |h| = 0 - точка (0; 0; 0) п y = h > 0 y2 = 2pz - парабола при x = h > 0 x2 = 2pz - парабола Гиперболический параболоид -наз. поверхность, которая в некоторой ДСК имеет вид: = z при z = h > 0 получ. гиперболы при x = h > 0 получ. параболы при y = h > 0 получ. параболы Конус второго порядка -наз. поверхность, которая в некоторой ДСК имеет вид: - = 0 при z = h z = h > 0 - эллипсы z = h = 0 - точка (0; 0; 0) z = h < 0 - эллипсы при x = h = 0 - = 0 и + = 0 - 2 прямые при y аналогич. как x
Математический анализ.
1. Множества. Грани числовых множеств. Абсолютная величина числа. Понятие функции. Классификация функций.
Множество – неопределенное понятие в математике, совокупность, набор, семейство некоторых объектов Операции над множествами:
1.Объединением (или суммой) множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из этих множеств.
2. Пересечением (или произведением) множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит множеству А и множеству В.
3.Разностью множеств А и В называется множество С, состоящее из всех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В.
4.
Множество X называется ограниченным сверху(снизу), если существует такое число С, что для любого выполняется неравенство x ≤ C (x ≥ C).
Множество, ограниченное и сверху, и снизу называется ограниченным. Ограниенное множество имеет бесконечно много верхних(нижних) граней.
Наименьшее из чисел, ограничивающих множество X сверху, называется точной верхней гранью данного множества. (sup X)
Наибольшее из чисел, ограничивающих множество X снизу, называется точной нижней гранью данного множества. (inf X)
Абсолютная величина числа–величина, определяемая след. обр.:
Свойства: 2. 3. |
|
4. Док-во: +
|
5. Док-во:
6. , , |
Функция – если каждому элементу х сопоставлен только 1 элемент из множества у, то в этом случае задано отображение х от множества у или определена функция на множестве х со множеством значений во множестве у. Способы задания: 1. табличный 2. графический 3. аналитический 4. вербальный (словесный) Функция задана явно, если она имеет вид y=f(x) y=x2 неявно, если она имеет вид F(x;y)=0 x2 +y2 =R2 Классификация функций: 1. простейшие функции С-const - постоянная, ax+b - линейная, xn- степенная, ax - показательная ,(1 a>0) y= – логарифмическая, y= ; y= ; y= ; y=ctg x – тригонометрическая y= ; y= y= ; y=arcctg x – обратная тригонометрическая
2. Элементарная функция – функция полученная с помощью четырех арифметических действий, а так же операций взятия функции от функции. ( )
3. Целые алгебраические функции: 4. Дробно-рациональные функции:
5. Иррациональные функции.
( ) 6. Функция не являющееся дробно-рациональной или рациональной называются трансцендентной.