- •Линейная алгебра и аналитическая геометрия
- •Математический анализ.
- •1. Матрицы и действия над ними
- •2. Определители 2 ого и 3го порядка
- •3. Миноры и алгебраические дополнения.
- •4. Обратная матрица. Методы нахождения обратной матрицы
- •1. Метод присоединенной матрицы
- •2. Метод элементарных преобразований
- •5. Системы линейных алгебраических уравнений. Теорема Крамера.
- •6. Mетод Гаусса-Жордана.
- •7. Ранг матрицы. Теорема Кронекера – Капелли. Однородные системы линейных алгебраических уравнений
- •8. Линейная балансовая модель
- •9. Прямоугольная система координат в пространстве. Понятие вектора. Проекция вектора на ось. Направляющие косинусы вектора.
- •10. Линейные операции над векторами. Теоремы о проекциях векторов. Линейная зависимость векторов.
- •11. Cкалярное произведение векторов. Выражение скалярного произведения через координаты векторов.
- •12. Векторное произведение. Выражение векторного произведения через координаты векторов.
- •13. Смешанное произведение трех векторов. Выражение смешанного произведения через координаты векторов.
- •14. Векторное параметрическое уравнение прямой. Задача о делении отрезка в заданном отношении.
- •15. Координатные уравнения прямой в пространстве.
- •16. Координатные уравнения прямой на плоскости.
- •17. Угол между двумя прямыми. Взаимное расположение прямых на плоскости.
- •18. Координатные уравнения плоскости.
- •19. Общие уравнения прямой в пространстве.
- •2 0. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
- •21. Линии второго порядка( эллипс, гипербола, парабола)
- •22. Поверхности второго порядка
- •1. Множества. Грани числовых множеств. Абсолютная величина числа. Понятие функции. Классификация функций.
- •2. Предел последовательности. Понятие сходящейся последовательности. Теоремы о сходящихся последовательностях (единственный предел, необходимое условие сходимости)
- •4. Первый замечательный предел.
- •5.Второй замечательный предел.
- •6. Бесконечно-большие и бесконечно‑ малые функции. Сравнение бесконечно‑малых функций. Асимптотические формулы.
- •7. Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва.
- •8. Основные теоремы о непрерывных функциях.
- •9. Понятия сложной и обратной функций.
- •10. Понятие производной. Геометрический и физический смыслы производной.
- •11. Понятие дифференцируемости функции. Связь между понятиями дифференцируемости и непрерывности.
- •12. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного.
- •13. Понятие дифференциала. Дифференциал суммы, разности, произведения и частного.
- •14. Производные постоянной, тригонометрических и логарифмической функций.
- •15. Производные обратной и сложной функций.
- •16. Производные показательной и обратных тригонометрических функций.
- •17. Логарифмическая производная. Производная степенной функции.
- •18. Таблица производных простейших элементарных функций.
- •19. Дифференцирование функции, заданной параметрически.
- •20. Теоремы Ферма и Ролля.
- •21. Теоремы Лагранжа и Коши.
- •22. Теорема Лопиталя.
- •23. Теорема Тейлора.
- •24. Признак монотонности. Необходимое условие локального экстремума. Достаточное условие локального экстремума.
- •25. Направление выпуклости и точки перегиба графика функции.
- •26. Необходимое условие наличия точки перегиба, достаточное условие наличия точки перегиба.
- •27. Асимптоты графика функции.
- •28. Комплексные числа и действия над ними.
- •29. Тригонометрическая форма комплексного числа.
- •30. Возведение комплексного числа в степень и извлечение корня. Формулы Эйлера.
- •Формулы
15. Координатные уравнения прямой в пространстве.
( 0, е1, е2, е3) – система координат точки А1(х1;у1;z1) А2(х2;у2;z2) Коорд. урав. прямой проходящей через А1А2: ОМ=ОА1+tА1А2; ОМ(х;у;z), ОА1(х1;у1;z1), А1А2(х2-х1;у2-у1;z2-z1) → А1А2(ax;ay;az) Спроецируем данное уравнение на оси координат: х= х1+tax, у= у1+taу, z= z1+taz ; параметрическое уравнение прямой в пространстве: каноническое ур-ие; ур-ие прямой в пространстве
t=
16. Координатные уравнения прямой на плоскости.
(0, е1, е2) – система координат точки А1(х1;у1) А2(х2;у2).
1. Коорд. параметр. уравнение прямой. Используя векторное параметр. уравнение прямой можно получить два скалярных, а именно: a(ax;ay) – направляющий вектор прямой |
4. Общее уравнение прямой. Ax+By+C=0 ay(x-x1)=ax(y-y1) → ayx-axy+axy1-ayx1=0 (A=ay; B=-ax; C= axy1-ayx1) n(A;B) – нормальный вектор прямой |
2. Канонические уравнения. (l;m) – направляющий косинусы прямой |
3. Уравнение прямой проходящей через 2 точки. А(х1;у1), В(х2;у2) |
5. Ур-ие прямой с угловым коэффиц. y=kx+b Ax+By+C=0→ k=tg b – точка перес. прямой и Оу до (0;0) |
6. Нормированное (нормальное) уравнение прямой. x cos +y sin -p=0; r(x;y) n(cos ;sin ); r•n=p → (x;y)( cos ;sin )=OP → x cos +y sin =OP |
7. Уравнение прямой в отрезках на осях. Ax+By+C=0 → →
|
8. Уравнение прямой проходящей через точку заданной угловым коэфф. y-y1=k(x-x1) M1(x1;y1) k=tg при || +k1=k2 при k1= |
17. Угол между двумя прямыми. Взаимное расположение прямых на плоскости.
В заимное расположение прямых на плоскости: условие || : y=k1x+b1 ; y=k2x+b2 ; k1=k2 ; a1=(l1;m1), a2=( l2;m2) – формула угла между прямыми
Если L1 || L2, то =0 и tg =0; k1=k2→ условием паралел. двух прямых явл. равенство коэф. k1=k2 |
Если L1 L2, то = ; сtg = = 0; получ. 1+ k1k2 =0→ k1k2=-1 → условием перпенд. прямых явл. равенство k1k2=-1 или k1= |
|
|
18. Координатные уравнения плоскости.
Пусть в пространстве задана плоскость и точка соответствующая координатам М1(х1; у1; z1) А(х-х1)+В(у-у1)+С(z-z1)=0 A2+B2+C2 0(одновременно не обращаются) Расммотрим 2 точки, принадлежащие плоскости М2(x2;у2;z2) и М3(х3;у3; z3) и векторы соответственно М1М, М1М2, М1М3 М(х; у; z) – произвольная точка на плоскости М тогда и только тогда принадлежт плоскости, когда эти векторы – коллинеарны
М 1М•М1М2•М1М3= A(х-х1)+B(у-у1)+C(z-z1)=0 уравнение плоскости, проходящей через 3 точки Ax+By+Cz+D=0 – общее уравнение плоскости (А; В;С) – нормальный вектор плоскости (вектор нормали) Нормальное уравнение плоскости. ОК (Q); OK=p; M(x;y;z); α,β,γ – углы, обр. единым вектором е с осями Ох, Оу, Oz. Тогда е=(cos α;cos β; cos γ), r = OM=(x;y;z) При любом положении точки М на плоск. Q проекция радиус- вектора r на направление вектора e всегда равно p: преr=p r•e-p=0 - нормальное уравнение плоскости в векторном виде x•cosα + y•cosβ + z•cosγ – p = 0 нормальное уравнение плоскости в координатном виде